湖南省怀化市溆浦县江维中学2020届高三下学期第一次模拟考试数学（文）试卷 9页

湖南省怀化市溆浦县江维中学2020届高三第一次模拟考试数学(文)试卷 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分. 时量：120分钟.‎ 第Ⅰ卷（选择题 共60分）‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在答题卡上.‎ ‎1. 若，，则 A． B． C． D．‎ ‎2．设，则“”是“”的 A. 充分不必要条件 B．必要不充分条件 ‎ C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎？‎ ‎3. 若，，则等于 A. 　 B. C. 　 D. ‎ ‎4. 执行下面的程序框图，如果输入的[－1,3]，则输出的属于 A. [－3,4] B．[－5,2] C．[－4,3] D．[－3,3]‎ ‎5. 若为数列的前n项和，且，则等于 A． B． C． D．30‎ ‎6. 已知向量，则等于 A． B． C．5 D．25‎ ‎7. 已知△的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c, 若, , 则角的值为 A. B. C. D. ‎ ‎8.“总把新桃换旧符”（王安石）、“灯前小草写桃符”（陆游），春节是中华民族的传统节日，在宋代，人们用写“桃符”的方式来祈福避祸，而现代的人们通过贴春联、挂灯笼等方式来表达对新年的美好祝愿．某商家在春节前开展商品促销活动，顾客凡购物金额满50元，则可以从春联和灯笼这两类礼品中任意免费领取一件，若有3名顾客都可领取其中一件礼品，则他们有且仅有2人领取的礼品种类相同的概率是 A． B． C． D．‎ ‎9. 将函数的图象向右平移个单位长度，纵坐标不变，再将横坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图象，则下列说法正确的是 A．函数的最小正周期为 B．当时，函数为奇函数 C．是函数的一条对称轴 D．函数在区间上的最小值为 ‎10. 关于函数，下列说法正确的是 A．在单调递增 B．有极小值为0，无极大值 C．的值域为 D．的图象关于直线对称 ‎ ‎11．已知圆：和两点，，若圆上存在点，使得，则实数的取值范围是 A. B. C. D. ‎ ‎12. 若函数在定义域上可导，且，则关于的不等式的解集为 A． B． C． D．‎ 第Ⅱ卷（非选择题）‎ 二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分. 把答案填在答题卡上的相应横线上.‎ ‎13.设实数，若是纯虚数（其中为虚数单位），则= ．‎ ‎14.若满足约束条件则的最小值为 .‎ ‎15. 若椭圆的左焦点为，点在椭圆上，点为坐标原点，且△为正三角形，则椭圆的离心率为_________．‎ ‎16.已知正方体的棱长为1，垂直于棱的截面分别与面对角线、、、相交于点、、、，则四边形面积的最大值为_____．‎ 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．‎ ‎（一）必考题：60分．‎ ‎17．（本题满分12分）‎ 为了解某地中小学生的近视形成原因，教育部门委托医疗机构对该地所有中小学生的视力做了一次普查. 现该地中小学生人数和普查得到的近视情况分别如图1和图2所示．‎ 图1‎ 图2‎ ‎(Ⅰ)求该地中小学生的平均近视率（保留两位有效数字）；‎ ‎(Ⅱ)为调查中学生用眼卫生习惯，该地用分层抽样的方法从所有初中生和高中生中确定5人进行问卷调查，再从这5人中随机选取2人继续访谈，则此2人全部来自高中年级的概率是多少？‎ ‎18．（本题满分12分）‎ 在等比数列中，，．‎ ‎(Ⅰ)求数列前8项的和；‎ ‎(Ⅱ)若等差数列满足，求数列的通项公式．‎ ‎19．（本题满分12分）‎ 已知四棱锥中，平面，底面是菱形，，点，分别为和的中点．‎ ‎(Ⅰ)求证：直线∥平面；‎ ‎(Ⅱ)求证：平面⊥平面．‎ ‎20．（本题满分12分）‎ 若抛物线：的焦点为，是坐标原点，为抛物线上的一点，向量与轴正方向的夹角为，且△的面积为．‎ ‎(Ⅰ)求抛物线的方程；‎ ‎(Ⅱ)若抛物线的准线与轴交于点，点在抛物线上，求当取得最大值时，直线的方程．‎ ‎21．（本题满分12分）‎ 已知函数，其中常数．‎ ‎(Ⅰ)当时，不等式恒成立，求实数的取值范围；‎ ‎(Ⅱ)若，且时，求证：．‎ ‎（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．‎ ‎22.（本题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程 已知曲线的参数方程为：（为参数），的参数方程为：‎ ‎（为参数）．‎ ‎(Ⅰ)化、的参数方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；‎ ‎(Ⅱ)若直线的极坐标方程为：，曲线上的点对应的参数，曲线上的点对应的参数，求的中点到直线的距离．‎ ‎23. (本题满分10分)选修4—5：不等式选讲 已知函数．‎ ‎(Ⅰ)若，且不等式的解集为，求的值；‎ ‎(Ⅱ)如果对任意，，求的取值范围．‎ ‎（文科数学）答案 一、选择题（每小题5分，共60分）‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 D A C A D C C D C B D B 二、填空题（每小题5分，共20分）‎ ‎13. 1 14．－1 15． 16. ‎ 三、解答题（必做题第17题至第21题每小题12分，选做题第22题、23题每小题10分，共70分）‎ ‎17解：（Ⅰ）该地近视的学生人数为3200×0.1+3000×0.3+2000×0.5=2220（人）………2分 该地中小学生总人数为3200+3000+2000=8200（人），………3分 故该地中小学生的平均近视率为2200÷8200≈0.27，即平均近视率约为27％………6分 ‎(Ⅱ)由题意得，参与问卷调查的5名中学生中有2名高中生，3名初中生. ………7分 设2名高中生为、，3名初中生为、、，则从这5人中随机选取2人的情况为：‎ ‎、、、、、、、、、，‎ ‎………9分 共计10种情况，………10分 其中全部来自高中年级的情况有1种，………11分 故2人全部来自高中年级的概率是..……………12分 ‎18解：（Ⅰ）由题意得公比，………1分 故，………2分 所以，………3分 故的前八项的和为……6分 ‎（Ⅱ）由（1）得，………7分 故由知，………8分. ‎ 又，所以.………9分 ‎ 故数列的公差，………10分 所以……………12分 ‎19解：（Ⅰ）取线段中点，连结线段和.…………1分 在△中， .………2分 点为中点，故 ，所以 ，………3分 所以四边形为平行四边形，………4分 所以//，又平面，………5分 所以直线∥平面.……………6分 ‎（Ⅱ）连，由底面是菱形，且，故为等边三角形.…7分 又点为中点，故.………8分 因为平面，所以.………9分 由知平面，………10分 因为平面，………11分 所以平面⊥平面.…………12分 ‎20解：（Ⅰ）法一、抛物线的焦点为，准线为，‎ 设，则，………1分 过点作轴的垂线，垂足为，则. ………2分 在△中,，故，即，‎ 即，………3分 所以，故.………4分 由，所以，………5分 所以抛物线的方程为.…………………6分 法二、抛物线的焦点为，准线为，设，则，‎ ‎………1分 又因与轴正向的夹角为，所以，……2分 所以，所以，………3分，………4分 代入得，解之得或，………5分 又当时，与轴正方向的夹角为，不符合题意，所以，‎ 所以抛物线的方程为.…………………6分 ‎（Ⅱ）过作与准线垂直，垂足为，………7分 则，………8分 则当取得最大值时，必须取最大值，此时与抛物线相切，…9分 设切线方程为与联立，消去得，…10分 所以，得．………11分 则直线方程为或．……………12分 ‎21解：（Ⅰ）由题意知当时，不等式恒成立，‎ 即恒成立……………1分 设，则. ……………2分 当时，，函数单调递减；……………3分 当时，，函数单调递增，……………4分 所以的最小值为，故实数的取值范围为.……………5分 ‎（Ⅱ）由题意得，要证成立，即证成立，‎ 即证成立．……………6分 设，其中，则.……………7分 设，则.令得；‎ 令得，所以函数在上单调递增；‎ 在上单调递减……………8分 设曲线与轴的交点为，因为，，‎ ‎，所以，且．…………9分 故当时，；当时，，……………10分 所以，……………11分 由于，所以，即.……………12分 ‎22解：（Ⅰ）曲线，……………1分 曲线，……………2分 其中曲线为圆心是，半径是1的圆；……………3分 曲线为中心是坐标原点，焦点在轴，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆.……5分 ‎（Ⅱ）曲线中，当时，点的坐标为，……………6分 同理点的坐标为，……………7分 故线段的中点的坐标为．……………8分 又直线的普通方程为，……………9分 故点直线的距离为.……………10分 ‎23解：（Ⅰ）因为，故……………2分 所以，……………4分 所以；……………5分 ‎（Ⅱ）对任意，当时，由（1）知，即；……………6分 当时，不恒成立；……………7分 当时，……………8分 要使恒成立，则，即.……………9分 综上可得或.……………10分