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- 2021-06-11 发布
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4.5.4.1
微积分基本定理
(
一)
1.
由定积分的定义可以计算
,
但比较麻烦
(
四步曲
),
有没有更加简便有效的方法求定积分呢
?
引入
引例小结:
在变速直线运动中
,
已知位置函数
与速度函数
之间有关系
:
物体在时间间隔
内经过的路程为
这种积分与原函数的关系在一定条件下具有普遍性
.
定理
(微积分基本定理)
二、牛顿
—
莱布尼茨公式
如果
f(x)
是区间
[a,b]
上的连续函数
,
并且
F
’
(x)=f(x),
则
注意
:
3.
牛顿-莱布尼茨公式沟通了导数与积分之间的关系.
例
1
计算下列定积分
解
(1)
∵
找出
f(x)
的一个原函数是关键
练习:
1
1/2
1/4
15/4
复习
:
定积分的基本性质
性质
1.
性质
2.
例 2.计算下列定积分
原式
解
:∵
练习:
=29/6
=1
=9
=e
2
-e+1
例 3.计算下列定积分
解
(
1
)
∵
思考
:
0
1
解
思考
:
0
0
微积分基本公式
三、小结
牛顿-莱布尼茨公式沟通了导数与定积分之间的关系.
F’(x)=f(x)
本讲到此结束,请同学们课后再做好复习
.
谢谢!
再见!
作业
P71
拓展:积分上限的函数及其导数
则变上限函数
证
:
则有
定理
1.
若
例
1.
证明
在
内为单调递增函数
.
证
:
只要证
拓展:牛顿
–
莱布尼茨公式
(高等数学推导方法)
(
牛顿
-
莱布尼茨公式
)
证
:
根据定理
1,
故
因此
得
记作
定理
2.
函数
,
则
或
例
2.
计算
解
:
例
3.
计算正弦曲线
的面积
.
解
:
例
4.
汽车以每小时
36
km
的速度行驶
,
速停车
,
解
:
设开始刹车时刻为
则此时刻汽车速度
刹车后汽车减速行驶
,
其速度为
当汽车停住时
,
即
得
故在这段时间内汽车所走的距离为
刹车
,
问从开始刹
到某处需要减
设汽车以等加速度
车到停车走了多少距离
?
备用题
解
:
1.
设
求
定积分为常数
,
设
,
则
故应用积分法定此常数
.
拓展部分内容小结
则有
1.
微积分基本公式
积分中值定理
微分中值定理
牛顿
–
莱布尼茨公式
2.
变限积分求导公式