【数学】2018届一轮复习北师大版 坐标系与参数方程 学案 6页

坐标系与参数方程[学生用书 P244] 年份 卷别 具体考查内容及命题位置 2016 甲卷 极坐标方程与直角坐标方程互化及应用、直线与圆的位置关 系·T23 乙卷 参数方程与普通方程的互化、极坐标方程与直角坐标方程的互化 及应用·T23 丙卷 参数方程、极坐标方程及点到直线的距离、三角函数的最值·T23 2015 Ⅰ卷 极坐标与直角坐标的互化以及极坐标方程的应用·T23 Ⅱ卷 参数方程和普通方程的互化、三角函数的性质·T23 2014 Ⅰ卷 参数方程与普通方程的互化、极坐标方程与直角坐标方程的互化、 三角恒等变换·T23 Ⅱ卷 极坐标方程与参数方程的互化、参数方程的几何意义·T23 [命题分析] 1．坐标系与参数方程是高考的选考内容之一，高考考查的重点主要有两个方面：一是 简单曲线的极坐标方程；二是参数方程、极坐标方程与曲线的综合应用． 2．全国课标卷对此部分内容的考查以解答题形式出现，难度中等，备考此部分内容时 应注意转化思想的应用． 题示 参数 真题呈现 考题溯源 题示对比 (2016·高考全国卷丙，T23)在直角坐 标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为 1.(选修 44 P15 习题 1.3 T5)已知直线的 极坐标方程为ρsin θ＋π 4 ＝ 2 2 ，求点 x＝ 3cos α y＝sin α (α为参数)．以坐标原点 为极点，以 x 轴的正半轴为极轴，建 立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程 为ρsin θ＋π 4 ＝2 2. (1)写出 C1 的普通方程和 C2 的直角坐 标方程； (2)设点 P 在 C1 上，点 Q 在 C2 上，求 |PQ|的最小值及此时 P 的直角坐标. A 2，7π 4 到这条直线的距离. 2.(选修 44 P26 习题 2.1 T4(4)) 把下列参数方程化为普通方程，并说明 它们表示什么曲线 (4) x＝5cos φ y＝3sin φ (φ为参数) 3.(选修 44 P28 例 1)在椭圆x2 9 ＋y2 4 ＝1 上 求一点 M，使点 M 到直线 x＋2y－10＝0 的距离最小，并求出最小距离. 题材评说 (1)考题源于教材，将教材中三个重点问题和谐相处，命制出精妙的高考试题， 堪称教材知识重组的典型，可谓佳配天成 (2)教材中三个典型的问题是坐标系与参数方程的三个典型代表，也是试题命制 的导向，以之为载体还可以命出很多优美和谐的数学试题 1．(选修 44 P8 习题 1.1 T5，P15 习题 T5 改编)圆 C：x2＋y2＝1 经过变换 x′＝2x y′＝ 2y 得到 曲线 C1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标为 ρcos θ＋π 3 ＝1 2. (1)写出 C1 的参数方程和 l 的普通方程． (2)设点 M(1，0)，直线 l 与曲线 C1 交于 A、B 两点，求|MA|·|MB|与|AB|. [解] (1)由已知得 x′ 2 2 ＋ y′ 2 2 ＝1.即x′2 4 ＋y′2 2 ＝1， 即 C1：x2 4 ＋y2 2 ＝1. 即 C1 的参数方程为 x＝2cos α y＝ 2sin α(α为参数)． 由ρcos θ＋π 3 ＝1 2 得 1 2 ρcos θ － 3 2 ρsin θ＝1 2. 则 l 的普通方程为 x－ 3y－1＝0. (2)点 M(1，0)在直线 l：x－ 3y－1＝0 上，直线 l 的倾斜角为π 6 . 所以 l 的参数方程为 x＝1＋ 3 2 t y＝1 2t (t 为参数)． 代入 C1：x2 4 ＋y2 2 ＝1 得 5t2＋4 3t－12＝0， 所以 t1t2＝－12 5 ，t1＋t2＝－4 3 5 ， 所以|MA|·|MB|＝|t1|·|t2|＝|t1t2|＝12 5 . |AB|＝|t1－t2|＝ （t1＋t2）2－4t1t2 ＝ －4 3 5 2 －4× －12 5 ＝12 2 5 ， 所以|MA|·|MB|＝12 5 ，|AB|＝12 2 5 . 2．(选修 44 P36 例 1 改编)已知直线 l 的参数方程为 x＝1＋tcos α y＝tsin α (t 为参数，α为 l 的 倾斜角)，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为ρ＝ 4cos θ sin2θ . (1)写出 l 的普通方程与 C 的直角坐标方程； (2)设点 M 的极坐标为(1，0)，直线 l 与 C 相交于 A、B，求 1 |MA| ＋ 1 |MB| 的值． [解] (1)l 的普通方程为 xsin α－ycos α－sin α＝0，C 的直角坐标方程为 y2＝4x. (2)点 M 的极坐标为(1，0)，即 M 的直角坐标为(1cos 0，1sin 0)＝(1，0)，显然 M 在 l 上． 将 x＝1＋tcos α y＝tsin α (t 为参数)，代入 y2＝4x 得， (sin2α)t2－(4cos α)t－4＝0. Δ＝16>0. 所以 t1＋t2＝4cos α sin2α ，t1t2＝－ 4 sin2α， 所以 1 |MA| ＋ 1 |MB| ＝|t1|＋|t2| |t1|·|t2| ＝ （t1＋t2）2＋2|t1t2|－2t1t2 |t1t2| ＝ 4cos α sin2α 2 ＋ 16 sin2α 4 sin2α ＝1. 所以 1 |MA| ＋ 1 |MB| ＝1. 3．(选修 44 P15 习题 1.3 T4(4)，P37 例 3 改编)曲线 C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ－4sin θ，过点 M(1，0)的直线 l 的参数方程为 x＝1＋tcos α y＝tsin α (t 为参数，α为直线 l 的倾斜角)，直 线 l 与曲线 C 相交于 A、B 两点． (1)求证：|MA|·|MB|为定值； (2)D 是曲线 C 上一点，当α＝45°时，求△DAB 面积的最大值． [解] (1)证明：C 的直角坐标方程为 x2＋y2－2x＋4y＝0.① 将直线 l： x＝1＋tcos α y＝tsin α (t 为参数)代入①得 t2＋(4sin α)t－1＝0.② 所以|MA|·|MB|＝|t1t2|＝|－1|＝1. 即|MA|·|MB|为定值 1. (2)当α＝45°时，②式即为 t2＋2 2t－1＝0， t1＋t2＝－2 2，t1t2＝－1， 所以|AB|＝|t1－t2|＝ （t1＋t2）2－4t1t2 ＝ （－2 2）2－4×（－1）＝2 3. 由①得(x－1)2＋(y＋2)2＝5， 所以曲线 C 的参数方程为 x＝1＋ 5cos r y＝－2＋ 5sin r (r 为参数)． 可设 D 点的坐标为(1＋ 5cos r，－2＋ 5sin r)，直线 l 的普通方程为 x－y－1＝0，D 到 l 的距离 d＝|1＋ 5cos r＋2－ 5sin r－1| 2 ＝| 10cos（r＋φ）＋2| 2 ， 所以 dmax＝ 5＋ 2， 所以△DAB 面积的最大值为 Smax＝1 2|AB|·dmax＝1 2 ×2 3( 5＋ 2) ＝ 15＋ 6. 4．(选修 44 P37 例 2 改编)过点 M(2，1)的直线 l 与曲线 C：ρ2(5－3cos 2θ)＝32 相交于 A、B 两点． (1)若直线 l 的倾斜角为α，写出 l 的参数方程，并将曲线 C 的方程化直角坐标方程，并 说明曲线类型； (2)若 M 是 AB 的中点，求直线 l 的方程与|AB|. [解] (1)l 的参数方程为 x＝2＋tcos α y＝1＋tsin α (t 为参数)，① 由ρ2(5－3cos 2θ)＝32 得ρ2(2cos2θ＋8sin2θ)＝32. 则曲线 C 的直角坐标方程为 x2 16 ＋y2 4 ＝1.②曲线为椭圆． (2)将①代入②化简得， (3sin2α＋1)t2＋4(cos α＋2sin α)t－8＝0.③ 由于 M(2，1)在椭圆内，且 M 是 AB 的中点， 所以 t1＋t2＝－4（cos α＋2sin α） 3sin2α＋1 ＝0， 而 cos α＋2sin α＝0， 所以 tan α＝－1 2. 即直线 l 的方程为 y－1＝－1 2(x－2)，即 x＋2y－4＝0. 当 cos α＋2sin α＝0 时， sin2α＝1 5. 则③式为 t2－5＝0，所以 t1＝ 5，t2＝－ 5. 所以|AB|＝|t1－t2|＝2 5. 5．(选修 44 P28 例 1 改编)在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴 为极轴建立极坐标系．已知直线l与椭圆C的极坐标方程分别为ρcos θ＋2ρsin θ＋3 2＝0， ρ2＝ 4 cos2θ＋4sin2θ. (1)求直线 l 与椭圆 C 的直角坐标方程； (2)若 P 是直线 l 上的动点，Q 是椭圆 C 上的动点，求|PQ|的最小值．并求此时 Q 点的 坐标． [解] (1)ρcos θ＋2ρsin θ＋3 2＝0⇒x＋2y＋3 2＝0， 即直线 l 的直角坐标方程为 x＋2y＋3 2＝0. ρ2＝ 4 cos2θ＋4sin2θ ⇒ρ2cos2θ＋4ρ2sin2θ＝4⇒x2＋4y2＝4， 即椭圆 C 的直角坐标方程为x2 4 ＋y2＝1. (2)因为椭圆 C：x2 4 ＋y2＝1 的参数方程为 x＝2cos α y＝sin α (α为参数)， 所以可设 Q(2cos α，sin α)． 因此点 Q 到直线 l 的距离 d＝|2cos α＋2sin α＋3 2| 12＋22 ＝2 2|sin α＋π 4 ＋3 2| 5 ， 所以当α＝2kπ＋5π 4 ，k∈Z 时，d 取得最小值 10 5 ， 所以|PQ|的最小值为 10 5 . 此时点 Q 的坐标为 2cos 2kπ＋5π 4 ，sin 2kπ＋5π 4 ， 即 Q 的坐标为 － 2，－ 2 2 .