2019届二轮复习不等式选讲课件（34张）（全国通用） 34页

第 1 节　绝对值不等式 最新考纲　 1. 理解绝对值的几何意义 ， 并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件： | a ＋ b | ≤ | a | ＋ | b |( a ， b ∈ R ) ； | a － b | ≤ | a － c | ＋ | c － b |( a ， b ∈ R ) ； 2. 会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式： | ax ＋ b | ≤ c ； | ax ＋ b | ≥ c ； | x － c | ＋ | x － b | ≥ a . 1. 绝对值不等式的解法 ( 1) 含绝对值的不等式 | x |< a 与 | x |> a 的解集 知 识 梳 理 不等式 a >0 a ＝ 0 a <0 | x |< a —————— ∅ ∅ | x |> a ( － ∞ ，－ a ) ∪ ( a ，＋ ∞ ) ( － ∞ ， 0) ∪ (0 ，＋ ∞ ) R ( － a ， a ) (2)| ax ＋ b | ≤ c ( c >0) 和 | ax ＋ b | ≥ c ( c >0) 型不等式的解法 ① | ax ＋ b | ≤ c ⇔__________________ ； ② | ax ＋ b | ≥ c ⇔____________________________ ； (3)| x － a | ＋ | x － b | ≥ c ( c ＞ 0) 和 | x － a | ＋ | x － b | ≤ c ( c ＞ 0) 型不等式的解法 ① 利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； ② 利用 “ 零点分段法 ” 求解，体现了分类讨论的思想； ③ 通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想 . － c ≤ ax ＋ b ≤ c ax ＋ b ≥ c 或 ax ＋ b ≤ － c 2. 含有绝对值的不等式的性质 ( 1) 如果 a ， b 是实数，则 | a ＋ b | ≤_________ ，当且仅当 _______ 时 ，等号成立 . ( 2) 如果 a ， b ， c 是实数， 那么 ________________________________ ，当且仅当 ________________ 时 ，等号成立 . | a | ＋ | b | ab ≥ 0 | a － c | ≤ | a － b | ＋ | b － c | ( a － b )( b － c ) ≥ 0 1. 思考辨析 ( 在括号内打 “√” 或 “×” ) ( 1) 若 | x | ＞ c 的解集为 R ，则 c ≤ 0.( 　　 ) ( 2) 不等式 | x － 1| ＋ | x ＋ 2| ＜ 2 的解集为 ∅ .( 　　 ) ( 3) 对 | a ＋ b | ≥ | a | － | b | 当且仅当 a ＞ b ＞ 0 时等号成立 .( 　　 ) ( 4) 对 | a | － | b | ≤ | a － b | 当且仅当 | a | ≥ | b | 时等号成立 .( 　　 ) ( 5) 对 | a － b | ≤ | a | ＋ | b | 当且仅当 ab ≤ 0 时等号成立 .( 　　 ) 答案 　 (1) × 　 (2) √ 　 (3) × 　 (4) × 　 (5) √ 诊 断 自 测 2. 不等式 | x － 1| － | x － 5|<2 的解集是 ( 　　 ) A .( － ∞ ， 4) B .( － ∞ ， 1) C .(1 ， 4) D.(1 ， 5) 解析 　 ① 当 x ≤ 1 时 ， 原不等式可化为 1 － x － (5 － x )<2 ， ∴ － 4<2 ， 不等式恒成立 ， ∴ x ≤ 1. ② 当 1< x <5 时 ， 原不等式可化为 x － 1 － (5 － x )<2 ， ∴ x <4 ， ∴ 1< x <4 ， ③ 当 x ≥ 5 时 ， 原不等式可化为 x － 1 － ( x － 5)<2 ， 该不等式不成立 . 综上 ， 原不等式的解集为 ( － ∞ ， 4). 答案 　 A 3. ( 选修 4 － 5P19 习题 T9 改编 ) 若关于 x 的不等式 | a | ≥ | x ＋ 1| ＋ | x － 2| 存在实数解，则实数 a 的取值范围是 ________. 解析 　由于 | x ＋ 1| ＋ | x － 2| ≥ |( x ＋ 1) － ( x － 2)| ＝ 3 ， ∴ | x ＋ 1| ＋ | x － 2| 的最小值为 3. 要 使原不等式有解 ， 只需 | a | ≥ 3 ， 则 a ≥ 3 或 a ≤ － 3. 答案 　 ( － ∞ ，－ 3] ∪ [3 ，＋ ∞ ) 4. 若不等式 | kx － 4| ≤ 2 的解集为 { x |1 ≤ x ≤ 3} ，则实数 k ＝ ________. 解析 　 ∵ | kx － 4| ≤ 2 ， ∴ － 2 ≤ kx － 4 ≤ 2 ， ∴ 2 ≤ kx ≤ 6. ∵ 不等式的解集为 { x |1 ≤ x ≤ 3} ， ∴ k ＝ 2. 答案 　 2 考点一　绝对值不等式的解法 【例 1 － 1 】 (2016· 全国 Ⅰ 卷 ) 已知函数 f ( x ) ＝ | x ＋ 1| － |2 x － 3|. ( 1) 在图中画出 y ＝ f ( x ) 的图象； ( 2) 求不等式 | f ( x )|>1 的解集 . 【例 1 － 2 】 (2017· 全国 Ⅰ 卷 ) 已知函数 f ( x ) ＝－ x 2 ＋ ax ＋ 4 ， g ( x ) ＝ | x ＋ 1| ＋ | x － 1|. ( 1) 当 a ＝ 1 时，求不等式 f ( x ) ≥ g ( x ) 的解集； ( 2) 若不等式 f ( x ) ≥ g ( x ) 的解集包含 [ － 1 ， 1] ，求 a 的取值范围 . 解 　 (1) 当 a ＝ 1 时， f ( x ) ＝－ x 2 ＋ x ＋ 4 ， f ( x ) ≥ g ( x ) ⇔ x 2 － x ＋ | x ＋ 1| ＋ | x － 1| － 4 ≤ 0. ① 当 x >1 时， f ( x ) ≥ g ( x ) ⇔ x 2 ＋ x － 4 ≤ 0 ， 规律方法　 1. 本题利用分段函数的图形的几何直观性 ， 求解不等式 ， 体现了数形结合的思想 . 2 . 解绝对值不等式的关键是去绝对值符号 ， 常用的零点分段法的一般步骤：求零点；划分区间 ， 去绝对值符号；分段解不等式；求各段的并集 . 此外 ， 还常用绝对值的几何意义 ， 结合数轴直观求解 . 【训练 1 】 已知函数 f ( x ) ＝ | x － 2|. ( 1) 求不等式 f ( x ) ＋ x 2 － 4>0 的解集； ( 2) 设 g ( x ) ＝－ | x ＋ 7| ＋ 3 m ，若关于 x 的不等式 f ( x )< g ( x ) 的解集非空，求实数 m 的取值范围 . 解　 (1) 不等式 f ( x ) ＋ x 2 － 4>0 ，即 | x － 2|>4 － x 2 . 当 x >2 时，不等式可化为 x 2 ＋ x － 6>0 ，解得 x >2 ； 当 x <2 时，不等式可化为 x 2 － x － 2>0 ，解得 x < － 1. 所以原不等式的解集为 { x | x >2 或 x < － 1}. (2) 依题意， | x － 2|<3 m － | x ＋ 7| 解集非空， ∴ 3 m >| x － 2| ＋ | x ＋ 7| 在 x ∈ R 上有解， 又 | x － 2| ＋ | x ＋ 7| ≥ |( x － 2) － ( x ＋ 7)| ＝ 9 ， 所以 3 m >9 ，解得 m >3. 故实数 m 的取值范围是 (3 ，＋ ∞ ). 因为 |1 － 4 ab | 2 － 4| a － b | 2 ＝ (1 － 8 ab ＋ 16 a 2 b 2 ) － 4( a 2 － 2 ab ＋ b 2 ) ＝ 16 a 2 b 2 － 4 a 2 － 4 b 2 ＋ 1 ＝ (4 a 2 － 1)(4 b 2 － 1)>0 ， 所以 |1 － 4 ab | 2 >4| a － b | 2 ， 故 |1 － 4 ab |>2| a － b |. 【例 2 － 2 】 对于任意的实数 a ( a ≠ 0) 和 b ，不等式 | a ＋ b | ＋ | a － b | ≥ M · | a | 恒成立，记实数 M 的最大值是 m . ( 1) 求 m 的值； ( 2) ( 一题多解 ) 解不等式 | x － 1| ＋ | x － 2| ≤ m . 规律方法 　 1. 求含绝对值的函数最值时 ， 常用的方法有三种： (1) 利用绝对值的几何意义； (2) 利用绝对值三角不等式 ， 即 | a | ＋ | b | ≥ | a ± b | ≥ | a | － | b | ； (3) 利用零点分区间法 . 2 . 含绝对值不等式的证明中 ， 要注意绝对值三角不等式的灵活应用 . 【训练 2 】 对于任意实数 a ， b ，已知 | a － b | ≤ 1 ， |2 a － 1| ≤ 1 ，且恒有 |4 a － 3 b ＋ 2| ≤ m ，求实数 m 的取值范围 . 考点三　绝对值不等式的综合应用 【例 3 】 (2017· 全国 Ⅲ 卷 ) 已知函数 f ( x ) ＝ | x ＋ 1| － | x － 2|. ( 1) 求不等式 f ( x ) ≥ 1 的解集； ( 2) 若不等式 f ( x ) ≥ x 2 － x ＋ m 的解集非空，求 m 的取值范围 . 规律方法 　 1. 第 (1) 问分段讨论 ， 求得符合题意的 x 取值范围 ， 最后取并集 . 2 . (1) 不等式恒成立问题 ， 解集非空 ( 不能成立 ) 问题 ， 转化为最值问题解决 . (2) 本题分离参数 m ， 利用绝对值不等式的性质求解 ， 避免分类讨论 ， 优化了解题过程 . 【训练 3 】 (2016· 全国 Ⅲ 卷 ) 已知函数 f ( x ) ＝ |2 x － a | ＋ a . ( 1) 当 a ＝ 2 时，求不等式 f ( x ) ≤ 6 的解集； ( 2) 设函数 g ( x ) ＝ |2 x － 1|. 当 x ∈ R 时， f ( x ) ＋ g ( x ) ≥ 3 ，求实数 a 的取值范围 .