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- 2021-06-11 发布
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§5.1 平面向量的概念及线性运算
考纲展示► 1.了解向量的实际背景.
2.理解平面向量的概念,理解两个向量相等的含义.
3.理解向量的几何表示.
4.掌握向量加法、减法的运算,并理解其几何意义.
5.掌握向量数乘的运算及其几何意义,理解两个向量共线的含义.
6.了解向量线性运算的性质及其几何意义.
考点1 平面向量的有关概念
向量的有关概念
(1)向量:既有大小又有________的量叫做向量,向量的大小叫做向量的________.
(2)零向量:长度为________的向量,其方向是任意的.
(3)单位向量:长度等于________的向量.
(4)平行向量:方向相同或________的非零向量,又叫共线向量.规定:0与任一向量共线.
(5)相等向量:长度相等且方向________的向量.
(6)相反向量:长度相等且方向________的向量.
答案:(1)方向 模 (2)0 (3)1个单位
(4)相反 (5)相同 (6)相反
向量有关概念的理解误区:相等向量;共线向量.
(1)若四边形ABCD满足=,则四边形ABCD的形状是__________.
答案:平行四边形
解析:=表示AD∥BC且AD=BC,所以四边形ABCD是平行四边形.
(2)若四边形ABCD满足=k(k>0,k≠1),则四边形ABCD的形状是__________.
答案:梯形
解析:=k(k>0,k≠1)表示AD∥BC,但AD与BC不相等,所以四边形ABCD是梯形.
[典题1] (1)给出下列命题:
①若|a|=|b|,则a=b;
②若A,B,C,D是不共线的四点,则“=”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件;
③若a=b,b=c,则a=c;
④若a∥b,b∥c,则a∥c.
其中正确命题的序号是( )
A.②③ B.②④
C.③④ D.②③④
[答案] A
[解析] ①不正确.两个向量的长度相等,但它们的方向不一定相同.
②正确.∵=,
∴||=||且∥.
又A,B,C,D是不共线的四点,
∴四边形ABCD为平行四边形;
反之,若四边形ABCD为平行四边形,则||=||,∥且,方向相同.因此=.
③正确.∵a=b,∴a,b的长度相等且方向相同,
又b=c,∴b,c的长度相等且方向相同,
∴a,c的长度相等且方向相同,故a=c.
④不正确.当b=0时,a,c可能不平行.
综上所述,正确命题的序号是②③.
(2)给出下列命题:
①两个具有公共终点的向量,一定是共线向量;
②两个向量不能比较大小,但它们的模能比较大小;
③若λa=0(λ为实数),则λ必为零;
④已知λ,μ为实数,若λa=μb,则a与b共线.
其中错误命题的个数为( )
A.1 B.2
C.3 D.4
[答案] C
[解析] ①错误.两向量共线要看其方向而不是起点与终点;②正确.因为向量既有大小,又有方向,故它们不能比较大小,但它们的模均为实数,故可以比较大小;③错误.当a=0时,不论λ为何值,λa=0;④错误.当λ=μ=0时,λa=μb,此时,a与b可以是任意向量.
[点石成金] 1.相等向量具有传递性,非零向量的平行也具有传递性.
2.共线向量即平行向量,它们均与起点无关.
3.向量可以平移,平移后的向量与原向量是相等向量.解题时,不要把它与函数图象移动混为一谈.
4.非零向量a与的关系:是a方向上的单位向量.
考点2 向量的线性运算
向量的线性运算
向量
运算
定义
法则(或几
何意义)
运算律
加法
求两个向量和的运算
交换律:a+b=________;
结合律:(a+b)+c=a+(________)
减法
求a与b的相反向量-b的和的运算
a-b=a+(________)
数乘
求实数λ与向量a的积的运算
|λa|=|λ||a|,当λ>0时,λa与a的方向________;
当λ<0时,λa与a的方向______;
当λ=0时,
λa=0
λ(μ a)=
(______)a;
(λ+μ)a=
________;
λ(a+b)=
________
答案:b+a b+c -b 相同 相反 λμ
λa+μa λa+λb
(1)[教材习题改编]向量和式(+)+(+)+化简后等于__________.
答案:
解析:原式=++++=.
(2)[教材习题改编]已知三角形ABC,用与表示BC边上的中线向量,则=________.
答案:+
[典题2] (1)[2017·广东惠州高三二模]如图,在正方形ABCD中,点E是DC
的中点,点F是BC的一个三等分点,那么=( )
A.- B.+
C.+ D.-
[答案] D
[解析] 在△CEF中,有=+.
因为点E为DC的中点,所以=.
因为点F为BC的一个三等分点,
所以=.
所以=+=+=-,故选D.
(2)[2017·辽宁沈阳模拟]已知△ABC和点M满足++=0.若存在实数m使得+=m成立,则m=( )
A.2 B.3
C.4 D.5
[答案] B
[解析] 由++=0知,点M为△ABC的重心,
设点D为底边BC的中点,
则==×(+)=(+),所以+=3,故m=3.
[点石成金] 向量线性运算的解题策略
(1)常用的法则是平行四边形法则和三角形法则,一般共起点的向量求和用平行四边形法则,求差用三角形法则,求首尾相连向量的和用三角形法则.
(2)找出图形中的相等向量、共线向量,将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解.
(3)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧:①观察各向量的位置;②寻找相应的三角形或多边形;③运用法则找关系;④化简结果.
考点3 共线向量定理的应用
共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ,使得b=λ________.
答案:a
处理向量问题的常见错误:忽视零向量;滥用结论.
(1)若a与b是共线向量,b与c是共线向量,则a与c的关系是__________.
答案:共线向量或不共线向量
解析:若b=0,则a与c未必是共线向量;若b是非零向量,则a与c是共线向量.
注意:在处理向量问题时不要忽略零向量.
(2)已知两向量a,b,若|a|=1,|b|=2,则|a+b|的范围是________.
答案:[1,3]
解析:当a,b方向相同时,有|a+b|=3;当a,b方向相反时,有|a+b|=1;当a,b不共线时,1<|a+b|<3.所以|a+b|的范围是[1,3].
注意:在一般情况下,|a+b|=|a|+|b|不成立.
有关向量的几个结论:三点共线;向量的中线公式;三角形重心的向量表示.
(1)A,B,C三点共线的充要条件是对不在直线AB上的任意一点O,存在实数t使得=t+________.
答案:1-t
解析:根据共线向量定理知,A,B,C三点共线的充要条件是存在实数t使得=t,即-=t(-),即=t+(1-t).
(2)△ABC中,D是BC的中点,则=λ(+),则λ=________.
答案:
解析:由=+,=+,得
2=(+)+(+).
∵+=0,∴=(+).
[典题3] 设两个非零向量a和b不共线.
(1)若=a+b,=2a+8b,=3(a-b).求证:A,B,D三点共线;
(2)试确定实数k,使ka+b与a+kb共线.
(1)[证明]因为=a+b,=2a+8b,=3(a-b),
所以=+=2a+8b+3(a-b)
=5(a+b)=5,
所以,共线.
又与有公共点B,
所以A,B,D三点共线.
(2)[解] 因为ka+b与a+kb共线,
所以存在实数λ,使ka+b=λ(a+kb),
即解得k=±1.
即当k=±1时,ka+b与a+kb共线.
[题点发散1] 若将本例(1)中“=2a+8b”改为“=a+mb”,则当m为何值时,A,B,D三点共线?
解:=+=(a+mb)+3(a-b)=4a+(m-3)b,
若A,B,D三点共线,则存在实数λ,使=λ,即4a+(m-3)b=λ(a+b),
所以解得m=7.
故当m=7时,A,B,D三点共线.
[题点发散2] 若将本例(2)中的“共线”改为“反向共线”,则k为何值?
解:因为ka+b与a+kb反向共线,
所以存在实数λ,使ka+b=λ(a+kb)(λ<0),
即解得k=±1.
又λ<0,k=λ,所以k=-1.
故当k=-1时,两向量反向共线.
[点石成金] 1.证明三点共线问题,可用向量共线来解决,但应注意向量共线与三点共线的区别与联系,当两向量共线且有公共点时,才能得出三点共线.
2.向量a,b共线是指存在不全为零的实数λ1,λ2,使λ1a+λ2b=0成立;若λ1a+λ2b=0,当且仅当λ1=λ2=0时成立,则向量a,b不共线.
1.已知向量a,b不共线,且c=λa+b,d=a+(2λ-1)b,若c与d同向,则实数λ=________.
答案:1
解析:由于c与d同向,所以c=kd(k>0),
于是λa+b=k[a+(2λ-1)b],
整理得λa+b=ka+(2λk-k)b.
由于a,b不共线,所以有
整理得2λ2-λ-1=0,所以λ=1或λ=-.
又k>0,所以λ>0,故λ=1.
2.已知a,b是两个不共线的非零向量,且a与b起点相同.若a,tb,(a+b)三向量的终点在同一条直线上,则t=________.
答案:
解析:∵a,tb,(a+b)三向量的终点在同一条直线上,且a与b起点相同.
∴a-tb与a-(a+b)共线,
即a-tb与a-b共线,
∴存在实数λ,使a-tb=λ,
∴解得
即当t=时,a,tb,(a+b)三向量的终点在同一条直线上.
[方法技巧] 1.向量加法的三角形法则要素是“首尾相接,指向终点”;向量减法的三角形法则要素是“起点重合,指向被减向量”;平行四边形法则要素是“起点重合”.
2.对于平面上的任一点O,,不共线,满足=x+y(x,y∈R),则P,A,B共线⇔x+y=1.
[易错防范] 1.解决向量的概念问题要注意两点:一是不仅要考虑向量的大小,更重要的是要考虑向量的方向;二是考虑零向量是否也满足条件.要特别注意零向量的特殊性.
2.在利用向量减法时,易弄错两向量的顺序,从而求得所求向量的相反向量,导致错误.
真题演练集训
1.[2015·新课标全国卷Ⅰ]设D为△ABC所在平面内一点,=3,则( )
A.=-+
B.=-
C.=+
D.=-
答案:A
解析:=+=+=+(-)=-=-+.故选A.
2.[2014·新课标全国卷Ⅰ]设D,E,F分别为△ABC的三边BC,CA,AB的中点,则+=( )
A. B.
C. D.
答案:A 解析:+=(+)+(+)=(+)=,故选A.
3.[2014·新课标全国卷Ⅰ]已知A,B,C为圆O上的三点,若=(+),则与的夹角为________.
答案:90°
解析:∵=(+),
∴点O是△ABC边BC的中点,
∴BC为直径,根据圆的几何性质有〈,〉=90°.
课外拓展阅读
专题一 平面向量与三角形问题的综合
[典例1] 已知P是△ABC内一点,且=+,△PBC的面积是2 015,则△PAB的面积是________.
[思路分析] △PBC,△PAB分别与△ABC共底边于BC,AB,由平面几何知识,将每组共底边的三角形面积之比转化为共底边上的对应高的比,即可得出面积关系,进而计算出△PAB的面积.
[解析] 设S△ABC=S,S△PBC=S1=2 015,S△PAB=S2.
解法一:(恰当切入,从“三点共线”突破)如图所示,
延长AP交BC于D,由平面几何知识,得=.
由A,P,D三点共线,可得
=μ=μ+μ(μ∈R).①
由B,D,C三点共线,可得
=λ+(1-λ)(λ∈R).②
联立①和②,有解得
则=μ=,=-=,
那么=,
于是S=S1.
同理,延长CP交AB于E,计算可得=,
所以S2=S.
于是S2=S=×S1=S1=×2 015=2 821.
解法二:(巧妙构造,引出向量“投影”取胜)如图所示,
构造一个单位向量e(其中e⊥),那么,在单位向量e方向上的投影长度|e·|与|e·|分别是△PBC,△ABC的公共底边上的高,
则S=||·|e·|
=|||e||||cos〈e,〉|
=||·||sin∠ABC;
因为=+=++
=++(+)
=+,
所以S1=||
=||
=||
=|||cos〈e,〉|
=
=S.
设i为与向量垂直的单位向量,同理,可以推出S2=S.
于是S2=S=×S1=S1=×2 015=2 821.
解法三:(划归转化,牵手三角形“重心”巧解)
由=+,
可得5+6+7=0.
令=5,=6,=7,
连接A′B′,B′C′,C′A′,如图所示,
于是++=0.
即P是△A′B′C′的重心,
S△PA′B′=S△PB′C′,根据已知条件,得
S1=||||sin∠BPC
=sin∠BPC
=
=S△PB′C′,
所以S△PB′C′=42S1,
同理可得S△PA′B′=30S2.
于是S2=S1=2 821.故填2 821.
[答案] 2 821
温馨提示
在寻找三个三角形面积之间的关系时,可以从多方面思考:
①可以从“三点共线”突破,运用三点共线向量式求解,思维起点低,思路直接,如解法一;
②可以从向量“投影”得出关系,构造出一个中介性辅助元素单位向量e,i,如解法二;
③可以转化条件形式,将=+转化成5+6+7=0,利用三角形“重心”性质引出巧解,如解法三.
专题二 用几何法求解向量填空题
利用向量加法的几何意义或向量减法的几何意义,可以将一些向量问题转化为几何问题,利用数形结合的方法,快速得到答案,避免繁琐的运算和由于运算而产生的错误.
[典例2] 已知a,b是两个非零向量,且|a|=|b|=|a-b|,则a与a+b的夹角是________.
[解析] 令=a,=b,以OA,OB为邻边作平行四边形OACB,
则OC=a+b,BA=a-b,又|a|=|b|=|a-b|,
所以△OAB是正三角形,由向量加法的几何意义,
可知OC是∠AOB的平分线,所以a与a+b的夹角是.
[答案]
[典例3] 已知两个非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|,则下面结论正确的是________.
①a∥b;②a⊥b;③|a|=|b|;④a+b=a-b.
[解析] 根据向量加法、减法的几何意义可知,|a+b|与|a-b|分别为以向量a,b为邻边的平行四边形的两条对角线的长,因为|a+b|=|a-b|.所以该平行四边形为矩形,所以a⊥b.
[答案] ②