高中数学必修1课时练习及详解第3章3_1_1知能优化训练 3页

‎ ‎ ‎1．函数f(x)＝log5(x－1)的零点是(　　)‎ A．0　　　　　　　　　　 B．1‎ C．2 D．3‎ 解析：选C.log5(x－1)＝0，解得x＝2，‎ ‎∴函数f(x)＝log5(x－1)的零点是x＝2，故选C.‎ ‎2．根据表格中的数据，可以判断方程ex－x－2＝0必有一个根在区间(　　)‎ x ‎－1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ex ‎0.37‎ ‎1‎ ‎2.78‎ ‎7.39‎ ‎20.09‎ x＋2‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ A.(－1,0) B．(0,1)‎ C．(1,2) D．(2,3)‎ 解析：选C.设f(x)＝ex－x－2，∵f(1)＝2.78－3＝－0.22＜0，f(2)＝7.39－4＝3.39＞0.∴f(1)f(2)＜0，由根的存在性定理知，方程ex－x－2＝0必有一个根在区间(1,2)．故选C.‎ ‎3．(2010年高考福建卷)函数f(x)＝的零点个数为(　　)‎ A．0 B．1‎ C．2 D．3‎ 解析：选C.当x≤0时，由f(x)＝x2＋2x－3＝0，得x1＝1(舍去)，x2＝－3；当x＞0时，由f(x)＝－2＋lnx＝0，得x＝e2，所以函数f(x)的零点个数为2，故选C.‎ ‎4．已知函数f(x)＝x2－1，则函数f(x－1)的零点是________．‎ 解析：由f(x)＝x2－1，得y＝f(x－1)＝(x－1)2－1＝x2－2x，∴由x2－2x＝0.解得x1＝0，x2＝2，因此，函数f(x－1)的零点是0和2.‎ 答案：0和2‎ ‎1．若函数f(x)＝ax＋b只有一个零点2，那么函数g(x)＝bx2－ax的零点是(　　)‎ A．0,2 B．0，－ C．0， D．2， 解析：选B.由题意知2a＋b＝0，‎ ‎∴b＝－2a，∴g(x)＝－2ax2－ax＝－ax(2x＋1)，‎ 使g(x)＝0，则x＝0或－.‎ ‎2．若函数f(x)＝x2＋2x＋a没有零点，则实数a的取值范围是(　　)‎ A．a＜1 B．a＞1‎ C．a≤1 D．a≥1‎ 解析：选B.由题意知，Δ＝4－4a<0，∴a>1.‎ ‎3．函数f(x)＝lnx－的零点所在的大致区间是(　　)‎ A．(1,2) B．(2,3)‎ C．(3,4) D．(e,3)‎ 解析：选B.∵f(2)＝ln2－1＜0，f(3)＝ln3－＞0，‎ ‎∴f(2)·f(3)＜0，∴f(x)在(2,3)内有零点．‎ ‎4．下列函数不存在零点的是(　　)‎ A．y＝x－ B．y＝ C．y＝ D．y＝ 解析：选D.令y＝0，得A和C中函数的零点均为1，－1；B中函数的零点为－，1；只有D中函数无零点．‎ ‎5．函数y＝loga(x＋1)＋x2－2(0＜a＜1)的零点的个数为(　　)‎ A．0 B．1‎ C．2 D．无法确定 解析：选C.令loga(x＋1)＋x2－2＝0，方程解的个数即为所求函数零点的个数．即考查图象y1＝loga(x＋1)与y2＝－x2＋2的交点个数．‎ ‎6．设函数y＝x3与y＝()x－2的图象的交点为(x0，y0)，则x0所在的区间是(　　)‎ A．(0,1) B．(1,2)‎ C．(2,3) D．(3,4)‎ 解析：选B.设f(x)＝x3－()x－2，‎ 则f(0)＝0－()－2<0；f(1)＝1－()－1<0；f(2)＝23－()0>0.∴函数f(x)的零点在(1,2)上．‎ ‎7．函数f(x)＝ax2＋2ax＋c(a≠0)的一个零点为1，则它的另一个零点为________．‎ 解析：设方程f(x)＝0的另一根为x，‎ 由根与系数的关系，得1＋x＝－＝－2，‎ 故x＝－3，即另一个零点为－3.‎ 答案：－3‎ ‎8．若函数f(x)＝3ax－2a＋1在区间[－1,1]上存在一个零点，则a的取值范围是________．‎ 解析：因为函数f(x)＝3ax－2a＋1在区间[－1,1]上存在一个零点，所以有f(－1)·f(1)≤0，即(－5a＋1)·(a＋1)≤0，(5a－1)(a＋1)≥0，‎ 所以或解得a≥或a≤－1.‎ 答案：a≥或a≤－1.‎ ‎9．下列说法正确的有________：‎ ‎①对于函数f(x)＝x2＋mx＋n，若f(a)＞0，f(b)＞0，则函数f(x)在区间(a，b)内一定没有零点．‎ ‎②函数f(x)＝2x－x2有两个零点．‎ ‎③若奇函数、偶函数有零点，其和为0.‎ ‎④当a＝1时，函数f(x)＝|x2－2x|－a有三个零点．‎ 解析：①错，如图．‎ ‎②错，应有三个零点．‎ ‎③对，奇、偶数图象与x轴的交点关于原点对称，其和为0.‎ ‎④设u(x)＝|x2－2x|＝|(x－1)2－1|，如图向下平移1个单位，顶点与x轴相切，图象与x 轴有三个交点．∴a＝1.‎ 答案：③④‎ ‎10．若方程x2－2ax＋a＝0在(0,1)恰有一个解，求a的取值范围．‎ 解：设f(x)＝x2－2ax＋a.‎ 由题意知：f(0)·f(1)＜0，‎ 即a(1－a)＜0，根据两数之积小于0，那么必然一正一负．故分为两种情况．‎ 或 ‎∴a＜0或a＞1.‎ ‎11．判断方程log2x＋x2＝0在区间[，1]内有没有实数根？为什么？‎ 解：设f(x)＝log2x＋x2，‎ ‎∵f()＝log2＋()2＝－1＋＝－＜0，‎ f(1)＝log21＋1＝1＞0，∴f()·f(1)＜0，函数f(x)＝log2x＋x2的图象在区间[，1]上是连续的，因此，f(x)在区间[，1]内有零点，即方程log2x＋x2＝0在区间[，1]内有实根．‎ ‎12．已知关于x的方程ax2－2(a＋1)x＋a－1＝0，探究a为何值时，‎ ‎(1)方程有一正一负两根；‎ ‎(2)方程的两根都大于1；‎ ‎(3)方程的一根大于1，一根小于1.‎ 解：(1)因为方程有一正一负两根，‎ 所以由根与系数的关系得，‎ 解得0＜a＜1.即当0＜a＜1时，方程有一正一负两根．‎ ‎(2)法一：当方程两根都大于1时，函数y＝ax2－2(a＋1)x＋a－1的大致图象如图(1)(2)所示，‎ 所以必须满足，或，不等式组无解．‎ 所以不存在实数a，使方程的两根都大于1.‎ 法二：设方程的两根分别为x1，x2，由方程的两根都大于1，得x1－1＞0，x2－1＞0，‎ 即 ‎⇒.‎ 所以⇒，不等式组无解．‎ 即不论a为何值，方程的两根不可能都大于1.‎ ‎(3)因为方程有一根大于1，一根小于1，函数y＝ax2－2(a＋1)x＋a－1的大致图象如图(3)(4)所示，‎ 所以必须满足或，解得a＞0.‎ ‎∴即当a＞0时，方程的一个根大于1，一个根小于1.‎