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- 2021-06-11 发布
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2019-2020兰州一中高二下学期四月月考
数学(理)试题
考试时间:120分钟 满分:150分
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
第I卷(选择题 共60分)
一、单项选择题(本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的)
1.若复数z的虚部小于0,且,则iz=( )
A.1+3i B.2+i C.1+2i D.1﹣2i
2.函数的定义域为,导函数在内的图象如图所示.则函数在内有几个极小值点( )
A.1 B.2
C.3 D.4
3.下列事件A,B是独立事件的是( )
A.一枚硬币掷两次,A=“第一次为正面向上”,B=“第二次为反面向上”
B.袋中有两个白球和两个黑球,不放回地摸两球,A=“第一次摸到白球”,B=“第二次摸到白球”
C.掷一枚骰子,A=“出现点数为奇数”,B=“出现点数为偶数”
D.A=“人能活到20岁”,B=“人能活到50岁”
4.用数学归纳法证明(n+1)(n+2)…(n+n)=2n•1•3…(2n﹣1)(n∈N+)时,由“n=k→n=k+1”等式两边需同乘一个代数式,它是( )
A.2k+2 B.(2k+1)(2k+2) C. D.
5.直线y=kx+b与曲线y=x3+ax+9相切于点(3,0),则b的值为( )
A.﹣15 B.﹣45 C.15 D.45
6.已知函数,则的值为( )
A.10 B. C. D.20
7.
2位男生和3位女生共5位同学站成一排,3位女生中有且只有两位女生相邻,则不同排法的种数是( )
A.72 B.60 C.36 D.24
8.设随机变量的分布列为,则等于( )
A. B. C. D.
9.二颗骰子各掷一次,设事件A=“二个点数不相同”,B=“至少出现一个6点”,则概率等于( )
A. B. C. D.
10.设复数,则( )
A.1+i B.﹣i C.i D.0
11.已知函数有且仅有一个极值点,则实数a的取值范围是( )
A. B. C.或 D.
12.已知f(x)为定义在(﹣∞,+∞)上的可导函数,且f(x)>f´(x)对于x∈R恒成立(e为自然对数的底),则( )
A.e2019•f(2020)>e2020•f(2019) B.e2019•f(2020)=e2020•f(2019)
C.e2019•f(2020)<e2020•f(2019) D.e2019•f(2020)与e2020•f(2019)大小不确定
二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分,把正确答案填在题中横线上)
13. 若,则的值为 .
14.设随机变量,则_______.
15.将2名教师,4名学生分成两个小组,分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动,每个小组由1名教师2名学生组成,不同的安排方案共有 种.
16.已知函数f(x),无论t取何值,函数f(x)在区间(﹣∞,+∞)总是不单调.则a的取值范围是 .
三、解答题(本大题共6个小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)
已知复平面内的点A,B对应的复数分别为,(),设对应的复数为z.
(1)当实数m取何值时,复数z纯虚数;
(2)若复数z在复平面上对应的点位于第四象限,求实数m的取值范围.
18.(本小题满分12分)
袋中有10个除颜色外完全一样的黑球和白球,已知从袋中任意摸出2个球,至少得到1个白球的概率是.
(1)求白球的个数;
(2)从袋中任意摸出3个球,记得到白球的个数为X,求随机变量X的分布列.
19.(本小题满分12分)
国内某汽车品牌一个月内被消费者投诉的次数用X表示,据统计,随机变量X的概率分布如下:
X
0
1
2
3
P
0.1
0.3
2a
a
(1)求a的值;
(2)若每个月被消费者投诉的次数互不影响,求该汽车品牌在五个月内被消费者投诉3次的概率.
20.(本小题满分12分)
在的展开式中,前3项的系数成等差数列,求
(1)的值;
(2)展开式中二项式系数最大的项;
(3)展开式中含的项的系数.
21.(本小题满分12分)
一家公司计划生产某种小型产品的月固定成本为万元,每生产万件需要再投入万元.设该公司一个月内生产该小型产品万件并全部销售完,每万件的销售收入为万元,且每万件国家给予补助万元. (为自然对数的底数,e是一个常数.)
(1)写出月利润(万元)关于月产量(万件)的函数解析式;
(2)当月生产量在万件时,求该公司在生产这种小型产品中所获得的月利润最大值(万元)及此时的月生产量值(万件). (注:月利润=月销售收入+月国家补助-月总成本)
22.(本小题满分12分)
已知函数在处有极值.
(1)求的解析式;
(2)若关于的不等式恒成立,求实数的取值范围.
2019-2020兰州一中高二下学期四月月考数学(理)试题
考试时间:120分钟 满分:150分
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
第I卷(选择题 共60分)
一、单项选择题:本题共12小题.每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.
1.若复数z的虚部小于0,且,则iz=( C )
A.1+3i B.2+i C.1+2i D.1﹣2i
2.函数的定义域为,导函数在内的图象如图所示.则函数在内有几个极小值点( A )
A.1 B.2
C.3 D.4
3.下列事件A,B是独立事件的是( A )
A.一枚硬币掷两次,A=“第一次为正面向上”,B=“第二次为反面向上”
B.袋中有两个白球和两个黑球,不放回地摸两球,A=“第一次摸到白球”,B=“第二次摸到白球”
C.掷一枚骰子,A=“出现点数为奇数”,B=“出现点数为偶数”
D.A=“人能活到20岁”,B=“人能活到50岁”
4.用数学归纳法证明(n+1)(n+2)…(n+n)=2n•1•3…(2n﹣1)(n∈N+)时,由“n=k→n=k+1”等式两边需同乘一个代数式,它是( D )
A.2k+2 B.(2k+1)(2k+2) C. D.
5.直线y=kx+b与曲线y=x3+ax+9相切于点(3,0),则b的值为( B )
A.﹣15 B.﹣45 C.15 D.45
6.已知函数,则的值为( C )
A.10 B. C. D.20
7.2位男生和3位女生共5位同学站成一排,3位女生中有且只有两位女生相邻,则不同排法的种数是( A )
A.72 B.60 C.36 D.24
8.设随机变量的分布列为,则等于( D )
A. B. C. D.
9.将二颗骰子各掷一次,设事件A=“二个点数不相同”,B=“至少出现一个6点”,则概率 等于( D )
A. B. C. D.
10.设复数,则( D )
A.1+i B.﹣i C.i D.0
11.已知函数有且仅有一个极值点,则实数a的取值范围是(B )
A. B. C.或 D.
12.已知f(x)为定义在(﹣∞,+∞)上的可导函数,且f(x)>f′(x)对于x∈R恒成立(e为自然对数的底),则( C )
A.e2019•f(2020)>e2020•f(2019) B.e2019•f(2020)=e2020•f(2019)
C.e2019•f(2020)<e2020•f(2019) D.e2019•f(2020)与e2020•f(2019)大小不确定
二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分,把正确答案填在题中横线上)
13. 若,则的值为 -64 .
14.设随机变量,则_______.
15.将2名教师,4名学生分成两个小组,分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动,每个小组由1名教师2名学生组成,不同的安排方案共有 12种.
16.已知函数f(x),无论t取何值,函数f(x)在区间(﹣∞,+∞)总是不单调.则a的取值范围是 .
三、解答题(本大题共6个小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)
已知复平面内的点A,B对应的复数分别为,(),设对应的复数为z.
(1)当实数m取何值时,复数z纯虚数;
(2)若复数z在复平面上对应的点位于第四象限,求实数m的取值范围.
【解】 (1)对应的复数为z,,
复数z是纯虚数,,解得, ; …… ……5分
(2)复数z在复平面上对应的点坐标为,
位于第四象限,,即, . …… ……10分
18. (本小题满分12分)
袋中有10个除颜色外完全一样的黑球和白球,已知从袋中任意摸出2个球,至少得到1个白球的概率是.
(1)求白球的个数;
(2)从袋中任意摸出3个球,记得到白球的个数为X,求随机变量X的分布列.
【解析】(1)设白球的个数为x,则黑球的个数为10﹣x,记“从袋中任意摸出2个球,至少得到1个白球”为事件A,则,解得.故白球有5个. …… ………… 4分
(2)X服从以10,5,3为参数的超几何分布,.
于是可得其分布列为:
…… ………… ……12分
19.(本小题满分12分)
国内某汽车品牌一个月内被消费者投诉的次数用X表示,据统计,随机变量X的概率分布如下:
X
0
1
2
3
P
0.1
0.3
2a
a
(1)求a的值;
(2)若每个月被消费者投诉的次数互不影响,求该汽车品牌在五个月内被消费者投诉3次的概率.
【解】(1)由概率分布的性质有0.1+0.3+2a+a=1,解答a=0.2, …… ………… ……3分
X的概率分布为
X
0
1
2
3
P
0.1
0.3
0.4
0.2
(2)设事件A表示“五个月内共被投诉3次”,事件表示“五个月内有三个月被投诉1次,另外两个月被投诉0次”,事件表示“五个月内有一个月被投诉2次,另外一个月被投诉1次,还有三个月被投诉0次”,事件表示“五个月内有一个月被投诉3次,另外四个月被投诉0次”,
则由事件的独立性得 ,,
所以.
故该企业在这五个月内被消费者投诉3次的概率为0.0052. …… ………… ……12分
20.(本小题满分12分)
在的展开式中,前3项的系数成等差数列,求
(1)的值;
(2)展开式中二项式系数最大的项;
(3)展开式中含的项的系数.
【解】(1)因为前3项的系数成等差数列,且前三项系数为,
所以,即,所以(舍)或. …… ………… ……4分
(2)由,展开式中二项式系数最大的项为第五项,即. ……8分
(3)通项公式:
由,所以含的项的系数. …… ………… ……12分
21.(本小题满分12分)
一家公司计划生产某种小型产品的月固定成本为万元,每生产万件需要再投入万元.设该公司一个月内生产该小型产品万件并全部销售完,每万件的销售收入为万元,且每万件国家给予补助万元. (为自然对数的底数,是一个常数.)
(1)写出月利润(万元)关于月产量(万件)的函数解析式;
(2)当月生产量在万件时,求该公司在生产这种小型产品中所获得的月利润最大值(万元)及此时的月生产量值(万件). (注:月利润=月销售收入+月国家补助-月总成本).
【解】(1)由于:月利润=月销售收入+月国家补助-月总成本,可得
…… ………… ……4分
(2)的定义域为,
且列表如下:
(1,e)
+
-
增
极大值
减
由上表得:在定义域上的最大值为.
且.即:月生产量在万件时,该公司在生产这种小型产品中所获得的月利润最大值为,此时的月生产量值为(万件). …… ………… ……12分
22.(本小题满分12分)
已知函数在处有极值.
(1)求的解析式;
(2)若关于的不等式恒成立,求实数的取值范围.
【解】(1),,
因为函数在处有极值,
得,,解得,,
所以; …… ………… ……4分
(2)法一 不等式恒成立,即恒成立,
令,
则不等式对任意的恒成立,则.
.
又函数的定义域为.
①当时,对任意的,,则函数在上单调递增.
又,所以不等式不恒成立;
②当时,.
令,得,当时,;当时,.
因此,函数在上单调递增,在上单调递减.
故函数的最大值为,由题意得需.
令,函数在上单调递减,
又,由,得,,
因此,实数的取值范围是; …… ………… ……12分
法二
不等式恒成立,即恒成立
即恒成立.
令,知
令,则由
知为(x>0)增函数.
而当01时h(x)>0. 即当01时. 故
…… ………… ……12分