2005年湖南省高考数学试卷（理科）【附答案、word版本，可再编辑；B4纸型两栏】 6页

‎2005年湖南省高考数学试卷（理科）‎ 一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）‎ ‎1. 复数z=i+i‎2‎+i‎3‎+‎i‎4‎的值是（ ）‎ A.‎-1‎ B.‎0‎ C.‎1‎ D.‎i ‎2. 函数f(x)=‎‎1-‎‎2008‎x的定义域是（ ）‎ A.‎(-∞, 0]‎ B.‎[0, +∞)‎ C.‎(-∞, 0)‎ D.‎‎(-∞, +∞)‎ ‎3. 已知数列‎{log‎2‎(an-1)}(n∈N‎*‎)‎为等差数列，且a‎1‎‎=3‎，a‎2‎‎=5‎，则limn→∞‎‎(‎1‎a‎2‎‎-‎a‎1‎+‎1‎a‎3‎‎-‎a‎2‎+...+‎1‎an+1‎‎-‎an)=(‎ ‎‎)‎ A.‎2‎ B.‎3‎‎2‎ C.‎1‎ D.‎‎1‎‎2‎ ‎4. 已知x、y满足约束条件x-2≤0‎y-1≤0‎x+2y-2≥0‎，则z=x-y的取值范围为（ ）‎ A.‎(-2, 1)‎ B.‎(-1, 2]‎ C.‎[-1, 2]‎ D.‎‎[-2, 1]‎ ‎5. 如图，正方体ABCD-‎A‎1‎B‎1‎C‎1‎D‎1‎的棱长为‎1‎，O是底面A‎1‎B‎1‎C‎1‎D‎1‎的中心，则O到平面ABC‎1‎D‎1‎的距离为（ ）‎ A.‎1‎‎2‎ B.‎2‎‎4‎ C.‎2‎‎2‎ D.‎‎3‎‎2‎ ‎6. 设f‎0‎‎(x)=sinx，f‎1‎‎(x)=f‎0‎'(x)‎，f‎2‎‎(x)=f‎1‎'(x)‎，…，fn+1‎‎(x)=fn'(x)‎，n∈N，则f‎2005‎‎(x)=(‎ ‎‎)‎ A.sinx B.‎-sinx C.cosx D.‎‎-cosx ‎7. 已知双曲线x‎2‎a‎2‎‎-y‎2‎b‎2‎=1(a>0, b>0)‎的右焦点为F，右准线与一条渐近线交于点A，‎△OAF的面积为a‎2‎‎2‎（O为原点），则两条渐近线的夹角为（ ）‎ A.‎30‎‎∘‎ B.‎45‎‎∘‎ C.‎60‎‎∘‎ D.‎‎90‎‎∘‎ ‎8. 集合A={x|x-1‎x+1‎≤0}‎，B={x||x-b|<1}‎，若“a=1‎”是“A∩B≠⌀‎”的充分条件，则b的取值范围是（ ）‎ A.‎-2≤b<0‎ B.‎0b>0)‎的左．右焦点为F‎1‎、F‎2‎，离心率为e．直线l:y=ex+a与x轴．y轴分别交于点A、B，M是直线l与椭圆C的一个公共点，P是点F‎1‎关于直线l的对称点，设AM‎→‎‎=λAB‎→‎．‎ ‎（1）证明：λ=1-‎e‎2‎；‎ ‎ 6 / 6‎ ‎（2）确定λ的值，使得‎△PF‎1‎F‎2‎是等腰三角形．‎ ‎20. 自然状态下的鱼类是一种可再生资源，为持续利用这一资源，需从宏观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响．用xn表示某鱼群在第n年年初的总量，n∈‎N‎*‎，且x‎1‎‎>0‎．不考虑其它因素，设在第n年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与xn成正比，死亡量与xn‎2‎成正比，这些比例系数依次为正常数a，b，c．‎ ‎（1）求xn+1‎与xn的关系式；‎ ‎（2）猜测：当且仅当x‎1‎，a，b，c满足什么条件时，每年年初鱼群的总量保持不变？（不要求证明）‎ ‎（3）设a=2‎，c=1‎，为保证对任意x‎1‎‎∈(0, 2)‎，都有xn‎>0‎，n∈‎N‎*‎，则捕捞强度b的 最大允许值是多少？证明你的结论．‎ ‎21. 已知函数f(x)=lnx，g(x)=‎1‎‎2‎ax‎2‎+bx，a≠0‎．‎ ‎(‎Ⅰ‎)‎若b=2‎，且h(x)=f(x)-g(x)‎存在单调递减区间，求a的取值范围；‎ ‎(‎Ⅱ‎)‎设函数f(x)‎的图象C‎1‎与函数g(x)‎图象C‎2‎交于点P、Q，过线段PQ的中点作x轴的垂线分别交C‎1‎，C‎2‎于点M、N，证明C‎1‎在点M处的切线与C‎2‎在点N处的切线不平行．‎ ‎ 6 / 6‎ 参考答案与试题解析 ‎2005年湖南省高考数学试卷（理科）‎ 一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）‎ ‎1.B ‎2.A ‎3.C ‎4.C ‎5.B ‎6.C ‎7.D ‎8.D ‎9.B ‎10.A 二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分）‎ ‎11.‎‎5600‎ ‎12.‎‎35‎ ‎13.‎‎1‎‎2‎ ‎14.‎‎-2‎ ‎15.‎4‎‎3‎，‎π+‎‎2‎‎3‎ 三、解答题（共6小题，16、17题每题12分，18~21每题14分，满分80分）‎ ‎16.∵ 由sinA(sinB+cosB)-sinC＝‎‎0‎ ‎∴ sinAsinB+sinAcosB-sin(A+B)‎＝‎0‎．‎ ‎∴ sinAsinB+sinAcosB-sinAcosB-cosAsinB＝‎0‎．‎ ‎∴ sinB(sinA-cosA)‎＝‎0‎．‎ 因为B∈(0, π)‎，所以sinB≠0‎，从而cosA＝sinA．‎ 由A∈(0, π)‎，知A=‎π‎4‎从而B+C=‎3‎‎4‎π．‎ 由sinB+cos2C＝‎0‎得sinB+cos2(‎3‎‎4‎π-B)‎＝‎0‎．‎ 即sinB-sin2B＝‎0‎．亦即sinB-2sinBcosB＝‎0‎．‎ 由此得cosB=‎‎1‎‎2‎，‎ ‎∴ B=‎π‎3‎，C=‎‎5π‎12‎．‎ ‎17.‎(1)‎证明：由题设知OA⊥OO‎1‎，OB⊥OO‎1‎．‎ ‎∴ ‎∠AOB是所折成的直二面角的平面角，即OA⊥OB，‎ 故可以O为原点，OA，OB，OO‎1‎所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，‎ 如图所示：‎ 则相关各点的坐标是A(3, 0, 0)‎，B(0, 3, 0)‎，C(0, 1, ‎3‎)‎，O‎1‎‎(0, 0, ‎3‎)‎，‎ ‎∴ AC‎→‎‎=(-3, 1, ‎3‎)‎，BO‎1‎‎→‎‎=(0, -3, ‎3‎)‎，AC‎→‎‎⋅BO‎1‎‎→‎=-3+‎3‎⋅‎3‎=0‎．‎ ‎∴ AC⊥BO‎1‎．‎ ‎(2)‎解：∵ BO‎1‎‎→‎‎⋅OC‎→‎=-3+‎3‎⋅‎3‎=0‎，‎ ‎∴ BO‎1‎⊥OC，‎ 由‎(1)‎知AC⊥BO‎1‎，则BO‎1‎⊥‎平面OAC，BO‎1‎‎→‎是平面OAC的一个法向量．‎ 设n‎→‎‎=(x, y, z)‎是平面O‎1‎AC的一个法向量，‎ 由n‎→‎‎⋅AC‎→‎=0‎n‎→‎‎⋅O‎1‎C‎→‎=0‎‎⇒‎‎-3x+y+‎3‎z=0‎y=0‎，取z=‎‎3‎，得n‎→‎‎=(1, 0, ‎3‎)‎．‎ ‎ 6 / 6‎ 设二面角O-AC-‎O‎1‎的大小为θ，由n‎→‎、BO‎1‎‎→‎的方向知，‎ cosθ=cos=n‎→‎‎⋅‎BO‎1‎‎→‎‎|n‎→‎|⋅|BO‎1‎‎→‎|‎=‎‎3‎‎4‎‎，‎ 即二面角O-AC-‎O‎1‎的大小是arccos‎3‎‎4‎．‎ ‎18.解：（1）分别记“客人游览甲景点”，“客人游览乙景点”，“客人游览丙景点”‎ 为事件A‎1‎，A‎2‎，A‎3‎．由已知A‎1‎，A‎2‎，A‎3‎相互独立，P(A‎1‎)=0.4‎，P(A‎2‎)=0.5‎，‎ P(A‎3‎)=0.6‎‎．‎ 客人游览的景点数的可能取值为‎0‎，‎1‎，‎2‎，‎3‎．‎ 客人没有游览的景点数的可能取值为‎3‎，‎2‎，‎1‎，‎0‎，‎ ‎∴ ξ的可能取值为‎1‎，‎3‎．‎ P(ξ=3)=P(A‎1‎⋅A‎2‎⋅A‎3‎)+P(A‎1‎‎¯‎⋅A‎2‎‎¯‎⋅A‎3‎‎¯‎)‎ ‎=P(A‎1‎)P(A‎2‎)P(A‎3‎)+P(A‎1‎‎¯‎)P(A‎2‎‎¯‎)P(A‎3‎‎¯‎)‎ ‎=2×0.4×0.5×0.6=0.24‎‎，‎ P(ξ=1)=1-0.24=0.76‎‎．‎ ‎∴ ξ的分布列为 ‎∴ Eξ=1×0.76+3×0.24=1.48‎．‎ ‎（2）∵ f(x)=(x-‎3‎‎2‎ξ‎)‎‎2‎+1-‎‎9‎‎4‎ξ‎2‎，‎ ‎∴ 函数f(x)=x‎2‎-3ξx+1‎在区间‎[‎3‎‎2‎ξ, +∞]‎上单调递增，‎ 要使f(x)‎在‎[2, +∞)‎上单调递增，‎ 当且仅当‎3‎‎2‎ξ≤2‎，即ξ≤‎‎4‎‎3‎．‎ 从而P(A)=P(ξ≤‎4‎‎3‎)=P(ξ=1)=0.76‎．‎ ‎19.解：（1）因为A、B分别是直线l:y=ex+a与x轴、y轴的交点，所以A、B的坐标分别是‎(-ae, 0)(0, a)‎．‎ 由y=ex+ax‎2‎a‎2‎‎+y‎2‎b‎2‎=1‎得x=-cy=‎b‎2‎a．这里c=‎a‎2‎‎+‎b‎2‎．‎ 所以点M的坐标是‎(-c, b‎2‎a)‎．由AM‎→‎‎=λAB‎→‎得‎(-c+ae, b‎2‎a)=λ(ae, a)‎．‎ 即ae‎-c=λaeb‎2‎a‎=λa．解得λ=1-‎e‎2‎．‎ ‎（2）因为PF‎1‎⊥l，所以‎∠PF‎1‎F‎2‎=‎90‎‎∘‎+∠BAF‎1‎为钝角，‎ 要使‎△PF‎1‎F‎2‎为等腰三角形，必有‎|PF‎1‎|=|F‎1‎F‎2‎|‎，即‎1‎‎2‎‎|PF‎1‎|=c．‎ 设点F‎1‎到l的距离为d，‎ 由‎1‎‎2‎‎|PF‎1‎|=d=‎|e(-c)+0+a|‎‎1+‎e‎2‎=‎|a-ec|‎‎1+‎e‎2‎=c，‎ 得‎1-‎e‎2‎‎1+‎e‎2‎‎=e．‎ 所以e‎2‎‎=‎‎1‎‎3‎，于是λ=1-e‎2‎=‎‎2‎‎3‎．‎ 即当λ=‎‎2‎‎3‎时，‎△PF‎1‎F2‎为等腰三角形．‎ ‎20.解：（1）从第n年初到第n+1‎年初，鱼群的繁殖量为axn，被捕捞量为bxn，死亡量为cxn‎2‎，‎ 因此xn+1‎‎-xn=axn-bxn-cxn‎2‎，n∈N*‎．‎‎(*)‎ 即xn+1‎‎=xn(a-b+1-cxn)‎，n∈N*‎．‎‎(**)‎ ‎（2）若每年年初鱼群总量保持不变，则xn恒等于x‎1‎，n∈N*‎，‎ 从而由‎(*)‎式得xn‎(a-b-cxn)‎恒等于‎0‎，n∈N*‎，‎ 所以a-b-x‎1‎=0‎．即x‎1‎‎=‎a-bc．‎ 因为x‎1‎‎>0‎，所以a>b．‎ 猜测：当且仅当a>b，且x‎1‎‎=‎a-bc．每年年初鱼群的总量保持不变．‎ ‎（3）若b的值使得xn‎>0‎，‎n∈N*‎ ‎ 6 / 6‎ 由xn+1‎‎=xn(3-b-xn)‎，n∈N*‎，知 ‎00‎．‎ 又因为xk+1‎‎=xk(2-xk)=-(xk-1‎)‎‎2‎+1≤1<2‎，‎ 所以xk+1‎‎∈(0, 2)‎，故当n=k+1‎时结论也成立．‎ 由①、②可知，对于任意的n∈N*‎，都有xn‎∈(0, 2)‎．‎ 综上所述，为保证对任意x‎1‎‎∈(0, 2)‎，都有xn‎>0‎，n∈N*‎，则捕捞强度b的最大允许值是‎1‎．‎ ‎21.‎(‎Ⅰ‎)b=2‎时，h(x)=lnx-‎1‎‎2‎ax‎2‎-2x，‎ 则h'(x)=‎1‎x-ax-2=-‎ax‎2‎+2x-1‎x．‎ 因为函数h(x)‎存在单调递减区间，所以h‎'‎‎(x)<0‎有解．‎ 又因为x>0‎时，则ax‎2‎+2x-1>0‎有x>0‎的解．‎ ‎①当a>0‎时，y=ax‎2‎+2x-1‎为开口向上的抛物线，ax‎2‎+2x-1>0‎总有x>0‎的解；‎ ‎②当a<0‎时，y=ax‎2‎+2x-1‎为开口向下的抛物线，而ax‎2‎+2x-1>0‎总有x>0‎的解；‎ 则‎△=4+4a≥0‎，且方程ax‎2‎+2x-1=0‎至少有一正根．此时，‎-11‎①‎ 令r(t)=lnt-‎‎2(t-1)‎‎1+t，t>1‎．则r'(t)=‎1‎t-‎4‎‎(t+1)‎‎2‎=‎‎(t-1)‎‎2‎t‎(t+1)‎‎2‎．‎ 因为t>1‎时，r‎'‎‎(t)>0‎，所以r(t)‎在‎[1, +∞)‎上单调递增．故r(t)>r(1)=0‎．‎ 则lnt>‎‎2(t-1)‎‎1+t．这与①矛盾，假设不成立．‎ 故C‎1‎在点M处的切线与C‎2‎在点N处的切线不平行．‎ ‎ 6 / 6‎