【数学】2018届一轮复习人教A版第7章第3节空间点、直线、平面之间的位置关系学案 17页

第三节　空间点、直线、平面之间的位置关系 ‎1．平面的基本性质 ‎(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内．‎ ‎(2)公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．‎ ‎(3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．‎ ‎2．空间点、直线、平面之间的位置关系 直线与直线 直线与平面 平面与平面 平行关系 图形语言 符号语言 a∥b a∥α α∥β 相交关系 图形语言 符号语言 a∩b＝A a∩α＝A α∩β＝l 独有关系 图形语言 符号语言 a，b是异面直线 a⊂α ‎3.平行公理(公理4)和等角定理 平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行．‎ 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．‎ ‎4．异面直线所成的角 ‎(1)定义：设a，b是两条异面直线，经过空间中任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角．‎ ‎(2)范围：.‎ ‎1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过A点的任意一条直线．(　　)‎ ‎(2)两两相交的三条直线最多可以确定三个平面．(　　)‎ ‎(3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．(　　)‎ ‎(4)若直线a不平行于平面α，且a⊄α，则α内的所有直线与a异面．(　　)‎ ‎[答案]　(1)×　(2)√　(3)×　(4)×‎ ‎2．(教材改编)如图731所示，在正方体ABCDA1B‎1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B‎1C与EF所成的角的大小为(　　)‎ 图731‎ A．30° B．45°‎ C．60° D．90°‎ C　[连接B1D1，D‎1C(图略)，则B1D1∥EF，‎ 故∠D1B1C为所求的角，‎ 又B1D1＝B1C＝D1C，∴∠D1B1C＝60°.]‎ ‎3．在下列命题中，不是公理的是(　　)‎ A．平行于同一个平面的两个平面相互平行 B．过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面 C．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内 D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 A　[A不是公理，是个常用的结论，需经过推理论证；B，C，D是平面的基本性质公理．]‎ ‎4．已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 A　[由题意知a⊂α，b⊂β，若a，b相交，则a，b有公共点，从而α，β有公共点，可得出α，β相交；反之，若α，β相交，则a，b的位置关系可能为平行、相交或异面．因此“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件．故选A.]‎ ‎5．若直线a⊥b，且直线a∥平面α，则直线b与平面α的位置关系是________. ‎ ‎【导学号：51062227】‎ b与α相交或b⊂α或b∥α 平面的基本性质 ‎　如图732，正方体ABCDA1B‎1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的中点．求证：‎ 图732‎ ‎(1)E，C，D1，F四点共面；‎ ‎(2)CE，D‎1F，DA三线共点．‎ ‎[证明]　(1)如图，连接EF，CD1，A1B.‎ ‎∵E，F分别是AB，AA1的中点，‎ ‎∴EF∥BA1.4分 又∵A1B∥D1C，∴EF∥CD1，‎ ‎∴E，C，D1，F四点共面.6分 ‎(2)∵EF∥CD1，EF