数学（文）卷·2018届天津市静海一中、杨村一中、宝坻一中等六校高三上学期期中联考（2017 9页

‎2017～2018学年度第一学期期中六校联考 高三数学（文）试卷 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷2至4页．‎ 祝各位考生考试顺利！‎ 第Ⅰ卷 注意事项：‎ ‎1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、考生号涂在答题卡上；‎ ‎2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．‎ 一、选择题：（本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎（1）已知，是两个非零向量，且|+|=||+||，则下列说法正确的是（ ）．‎ ‎（A）+=0 （B）=‎ ‎（C）与反向 （D）与同向 ‎ ‎（2）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若‎2a6=a8+6，则S7的值是（ ）．‎ ‎（A）49 （B）42‎ ‎（C）35 （D）24[]‎ ‎（3）已知向量=(1，2)，=(－3，－3)，=(x，3)，若(2+)∥，则x=（ ）．‎ ‎（A）–1 （B）–2 ‎ ‎（C）–3 （D）–4‎ ‎（4）已知一个几何体的三视图如图所示，根据图中数据，可得该几何体的体积为（ ）． ‎ ‎（A）12+‎ ‎（B）12+p[]‎ ‎（C）8+‎ ‎（D）8+pp ‎（5）若过点A(a，a)可作圆x2+y2–2ax+a2+‎2a–3=0的两条切线，则实数a的取值范围是（ ）．‎ ‎（A）（－∞，－3） （B）（－3，1） ‎ ‎（C）（－∞，－3）∪（1，） （D）（－∞，－3）∪（1，+∞）‎ ‎（6）设点A(–2，3)，B(3，2)，若直线ax+y+2=0与线段AB没有交点，则a的取值范围是（ ）．‎ ‎（A）（–∞，–]∪ [，+∞） （B）(–，) ‎ ‎（C）（–∞，–]∪ [，+∞） （D）[–，]‎ ‎（7）在直三棱柱ABC-A1B‎1C1中，∠BCA=90°，点D，F分别是A1B1，A‎1C1的中点，BC=CA=CC1，则BD与AF所成角的余弦值是（ ）．‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（8）已知圆C1：(x–2)2+(y–3)2=1，圆C2：(x–3)2+(y–4)2=9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|+|PN|的最小值为（ ）．‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ 第Ⅱ卷 二、填空题：（本大题共6个小题，每小题5分，共30分．请将答案填在答题卡上）‎ ‎（9）直线l经过与的交点，且与l1垂直，则直线l的方程为__________．‎ ‎（10）若数列中，=1，，则=__________．‎ ‎（11）圆C的圆心在x轴上，与直线相切于点P（3，2），则圆C的方程为__________．‎ ‎（12）已知向量与的夹角为120°，且||＝3，||＝2．若＝λ ＋，且 eq o(AP,sup7(―→))⊥，则实数λ的值为________．‎ ‎（13）设集合A={(x，y)|+2=0}，B={(x， y)|4x+ay–16=0}，若A∩B=Æ，则a的值为__________．‎ ‎（14）已知x∈R，且，则k的最大值是__________． ‎ 三、解答题：（本大题共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）‎ ‎（15）（本小题满分13分）‎ 如图，平行四边形ABCD的两条对角线相交于点M，点P是MD的中点．若||=2，||=1，且∠BAD=60°.‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）若，，求的值．‎ ‎（16）（本小题满分13分）‎ 如图，正三棱柱ABC-A1B‎1C1的所有棱长都相等，D为CC1中点，E为A1B1的中点.‎ A A1‎ C B D C1‎ B1‎ ‎（Ⅰ）求证：C1E∥平面A1BD；‎ ‎（Ⅱ）求证：AB1⊥平面A1BD.‎ ‎（17）（本小题满分13分）‎ 已知数列{an}是公差不为零的等差数列，其前n项和为Sn，满足S5－‎2a2＝25，且a1，a4，a13成等比数列.‎ ‎（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；[]‎ ‎（Ⅱ）设Tn是数列的前n项和，证明：.‎ ‎（18）（本小题满分13分）‎ 如图，在四棱锥P-ABCD中，PC⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，PC=AB=2AD=2CD=2，E是PB的中点．‎ ‎（Ⅰ）求证：平面EAC⊥平面PBC；‎ ‎（Ⅱ）求二面角P-AC-E的余弦值；‎ ‎（Ⅲ）求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．‎ ‎（19）（本小题满分14分）‎ 已知各项均为正数的数列{an}满足–an+1an–2=0（n∈N），且a3+2是a2，a4的等差中项．‎ ‎（Ⅰ）求数列{an}的通项公式an；‎ ‎（Ⅱ）若bn=anan，Sn=b1+b2+…+bn，求使Sn+n·2n+1＞50成立的正整数n的最小值．‎ ‎（20）（本小题满分14分）‎ 在平面直角坐标系xOy中，已知圆M在直线y+1=0上截得线段长为2，在y轴上截得线段长为2．‎ ‎（Ⅰ）求圆心M的轨迹方程；‎ ‎（Ⅱ）若点M在直线l：x–y–1=0的上方，且到l的距离为错误！未找到引用源。，求圆M的方程；‎ ‎（Ⅲ）设圆M与x轴交于P，Q两点，E是圆M上异于P，Q的任意一点，过点A(3，0)且与x轴垂直的直线为l1，直线PE交直线l1于点P¢，直线QE 交直线l1于点Q¢．求证：以P¢Q¢为直径的圆C总经过定点，并求出定点坐标．‎ ‎ ‎ ‎2017～2018学年度第一学期期中六校联考 高三数学（文）参考答案 一、选择题：‎ 题 号 ‎（1）‎ ‎（2）‎ ‎（3）‎ ‎（4）‎ ‎（5）‎ ‎（6）‎ ‎（7）‎ ‎（8）‎ 答 案 D B C A C B D A 二、填空题：‎ ‎（9）； （10）； （11）； ‎ ‎（12）； （13）–2或4； （14）． ‎ 三、解答题：（其他正确解法请比照给分）‎ ‎（15）解：（Ⅰ）设 ……2分 ‎ ……4分 ‎ ……7分 ‎（Ⅱ） ……9分 ‎ ……13分 ‎（16）解：（Ⅰ）设AB1 与A1B交于点O，连接OD，依题意知O为AB1中点，‎ OE , DC1，‎ 所以四边形OEC1D为平行四边形， ……3分 所以C1E OD，‎ ‎ ……6分 ‎（Ⅱ）正三棱柱ABC﹣A1B‎1C1中，，所以，，‎ 由（Ⅰ）C1E OD，所以，‎ 所以 ……10分 四边形ABB‎1A1为正方形，AB1⊥A1B，又 所以 ……13分 ‎（17）解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d(d≠0)，‎ ‎∴ ……3分 解得a1＝3，d＝2，∴an＝2n＋1. ……6分 ‎（Ⅱ）∵＝＝， ……8分 ‎∴Tn＝ ‎＝ ……13分 ‎ ‎（18）解：（Ⅰ）∵PC⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥PC． …………1分 ‎∵AB=2，AD=CD=1，∴AC=BC=．‎ ‎∴AC2+BC2=AB2，∴AC⊥BC． …………2分 又BC∩PC=C，∴AC⊥平面PBC． …………3分 ‎∵AC⊂平面EAC，‎ ‎∴平面EAC⊥平面PBC． …………4分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知AC⊥平面PBC，‎ ‎∴AC⊥CP，AC⊥CE，‎ ‎∴∠PCE即为二面角P-AC-E的平面角． …………6分 ‎∵PC=AB=2AD=2CD=2，‎ ‎∴在△PCB中，可得PE=CE=，‎ ‎∴cos∠PCE==． …………9分 ‎（Ⅲ）作PF⊥CE，F为垂足．‎ 由（Ⅰ）知平面EAC⊥平面PBC，‎ ‎∵平面EAC∩平面PBC=CE，‎ ‎∴PF⊥平面EAC，连接AF，‎ 则∠PAF就是直线PA与平面EAC所成角． …………11分 由（Ⅱ）知CE=，∴PF=，‎ ‎∴sin∠PAF ==，‎ 即直线PA与平面EAC所成角的正弦值为． …………13分 ‎（19）解：（Ⅰ）∵–an+1an–2=0，∴(an+1+an)(an+1–2an)=0， …………2分 ‎∵数列{an}的各项均为正数，∴an+1+an＞0，∴an+1–2an=0， ‎ 即an+1=2an（n∈N），∴数列{an}是以2为公比的等比数列．……4分 ‎∵a3+2 是a2，a4的等差中项，∴a2+a4=2a3+4 ‎ ‎∴2a1+8a1=8a1+4， ∴a1=2， …………6分 ‎∴数列{an}的通项公式为an=2n． …………7分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）及bn=anan，得bn=–n·2n，‎ ‎∴Sn=b1+b2+…+bn=–2–2·22–3·23–4·24–…–n·2n ①‎ ‎∴2Sn=–22–2·23–3·24–…–(n–1)·2n–n·2n+1 ②‎ ‎②–①得，Sn=2+22+23+…+2n–n·2n+1=(1–n)·2n+1–2 …………12分 要使Sn+n·2n+1＞50成立，只需2n+1–2＞50成立，即2n+1＞52，n≥5， ‎ ‎∴Sn+n·2n+1＞50成立的正整数n的最小值为5． …………14分 ‎（20）解：（Ⅰ）设M(x，y)，圆M的半径为r．‎ 由题设(y+1)2+2=r2，x2+3=r2． …………2分 从而(y+1)2+2=x2+3．‎ 故点M的轨迹方程为(y+1)2–x2=1． …………3分 ‎（Ⅱ）设M(x0，y0)．由已知得=，即y0=x0． …………5分 又因为(y0+1)2–x02=1．从而得y0=x0=0． 此时，圆M的半径r=． …………6分 故圆M的方程为x2+y2=3． …………7分 ‎（Ⅲ）对于圆方程x2+y2=3，‎ 令y=0，得x=±，故可令P(–，0)，Q(，0)． …………8分 又直线l1过点A且与x轴垂直，∴直线l1的方程为x=3， ‎ 设E(s，t)，则直线PE的方程为y=(x+)． …………9分 解方程组得P¢(3，)． …………10分 同理可得，Q¢(3，)， …………11分 ‎∴以P¢Q¢为直径的圆C的方程为 ‎(x–3)(x–3)+(y–)(y–)=0， ………12分 又s2+t2=3， ‎ ‎∴整理得(x2+y2–6x+3)+y=0， …………13分 若圆C经过定点，只需令y=0，‎ 从而有x2–6x+3=0，解得x=3±2，‎ ‎∴圆C总经过定点，坐标为(3±2，0)． …………14分