天津市十二区县重点学校2020届高三下学期毕业班联考（一）数学试题 Word版含解析 23页

‎2020年天津市十二区县重点学校高三毕业班联考（一）‎ 数学试卷 第Ⅰ卷 选择题（共45分）‎ 参考公式：·如果事件、互斥，那么．‎ 柱体的体积公式．其中表示柱体的底面积，表示柱体的高．‎ 一、选择题（在每小题四个选项中，只有一项是符合题目要求的，本大题共9小题，每小题5分，满分45分）‎ ‎1.已知全集，集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先表示出集合A的元素，然后求出.‎ ‎【详解】因为，，所以，‎ 因为，所以.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题主要考查集合的运算，化简集合为最简形式是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.‎ ‎2.已知，则“”是“对恒成立”的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 23 -‎ 先求出“对恒成立”的的范围，结合范围大小进行判断.‎ ‎【详解】因为对恒成立，所以或，即；‎ 由于“”是“”的充分不必要条件，‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题主要考查四种条件的判定，把提供的语句进行化简是求解的关键，二次型恒成立问题一般结合图象进行求解.‎ ‎3.函数的图象大致是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数的性质对比图象的特征，逐项排除即可得解.‎ ‎【详解】由，∴为奇函数，排除选项B；‎ 当时，，，∴，排除选项D；‎ 当时，，‎ 则 ‎∴在时单调递增，排除选项A.‎ - 23 -‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查了函数图象的识别，考查了函数奇偶性和利用导数判断函数单调性的应用，属于中档题.‎ ‎4.张衡是中国东汉时期伟大的天文学家、数学家，他曾经得出圆周率的平方等于10，三棱柱的侧棱垂直于底面，且，若该三棱柱的所有顶点都在同一球面上，利用张衡的结论可得该球的表面积为（ ）‎ A. 8 B. C. 12 D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据题意确定出球心的位置，求出球的半径，结合球的表面积公式可得结果.‎ ‎【详解】由题可知矩形的中心为该三棱柱外接球的球心，如图，‎ 因为，所以，，‎ 所以球的表面积为.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题主要考查多面体的外接球问题，几何体的外接球问题求解的关键是确定球心位置，求出球半径，侧重考查直观想象的核心素养.‎ ‎5.某社区组织“学习强国”的知识竞赛，从参加竞赛的市民中抽出40人，将其成绩分成以下6组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，第6组，得到如图所示的频率分布直方图．现采用分层抽样的方法，从第2，3，4组中按分层抽样抽取8人，则第2，3，4组抽取的人数依次为（ ）‎ - 23 -‎ A. 1，3，4 B. 2，3，‎3 ‎C. 2，2，4 D. 1，1，6‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据频率分布直方图可得第2，3，4组中频数之比，结合分层抽样的特点可得人数.‎ ‎【详解】由图可知第2，3，4组的频率之比为0.15:0.15:0.3，所以频数之比为1:1:2，‎ 现采用分层抽样的方法，从第2，3，4组中按分层抽样抽取8人，所以第2，3，4组抽取的人数依次为2，2,4.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题主要考查频率分布直方图的解读及分层抽样方法，通过频率分布直方图可得出频率是求解的关键，侧重考查数据分析的核心素养.‎ ‎6.若双曲线C：（，）的一条渐近线被圆所截得的弦长为，则双曲线C的离心率为（ ）‎ A. 2 B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出圆心到渐近线的距离，结合被圆截得的弦长，建立方程，可得，进而可求离心率.‎ ‎【详解】设双曲线C：（，）的一条渐近线，‎ - 23 -‎ 圆的圆心为，半径为，圆心到渐近线的距离为，‎ 因为渐近线被圆所截得的弦长为，‎ 所以，解得，即 所以.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题主要考查双曲线性质及圆的弦长问题，把圆的弦长化简为等量关系是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.‎ ‎7.已知函数的图象关于直线对称，在时，单调递增．若，，（其中为自然对数的底数，为圆周率），则的大小关系为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由函数的图象关于直线对称，可得的图象关于轴对称，结合单调性进行比较可得选项.‎ ‎【详解】因为函数的图象关于直线对称，所以的图象关于轴对称，‎ 因为时，单调递增，所以时，单调递减；‎ 因为，‎ 所以.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题主要考查函数的性质，根据条件判断出函数的单调性和奇偶性是求解的关键，侧重考查数学抽象的核心素养.‎ - 23 -‎ ‎8.关于函数，有下列命题：‎ ‎①的最小正周期为； ②函数的图象关于对称；‎ ‎③在区间上单调递增；‎ ‎④将函数的图象向左平移个单位长度后所得到的图象与函数的图象重合．‎ 其中正确的命题是（ ）‎ A. ①②③ B. ②④ C. ①③ D. ①②④‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先化简函数，然后结合所给命题进行逐个验证.‎ ‎【详解】‎ 所以的最小正周期为，①正确；‎ 当时，，所以②正确；‎ 当时，，此时为增函数，所以③正确；‎ 将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数解析式为 ‎，所以④不正确；‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题主要考查三角函数的图象及性质，把函数化为最简形式是求解的关键，侧重考查数学抽象的核心素养.‎ ‎9.在等腰梯形中，，，，，点F是线段AB上的一点，‎ - 23 -‎ 为直线BC上的动点，若，，且，则的最大值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先建立平面直角坐标系，根据条件求出，写出的表达式，‎ ‎【详解】以为原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，如图，‎ 由已知可得，；‎ 设，则，‎ 由可得 解得，所以；‎ ‎，‎ 由得，解得，此时.‎ 设,则，‎ - 23 -‎ ‎，‎ 所以 当时，取到最大值.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题主要考查平面向量的运算及应用，平面向量问题优先考虑坐标运算，最值问题应先构建目标式，结合目标式的特点进行求解，侧重考查数学运算的核心素养.‎ 第Ⅱ卷 非选择题（共105分）‎ 二、填空题（大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡中的相应横线上）‎ ‎10.若复数满足：，则复数z的虚部是_________．‎ ‎【答案】-1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求解，再化简复数，进而可得复数z的虚部.‎ ‎【详解】因为，所以，所以虚部为；‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题主要考查复数的运算，明确复数除法的规则是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.‎ ‎11.二项式中，则其展开式中x的系数是_________．‎ ‎【答案】405‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用二项式定理展开式的通项公式进行求解.‎ - 23 -‎ ‎【详解】展开式通项公式为，‎ 令得，所以展开式中x的系数是.‎ 故答案为：405.‎ ‎【点睛】本题主要考查二项式定理，利用二项式展开式的通项公式求解特定项时，要先整理合并，然后进行赋值可求，侧重考查数学运算的核心素养.‎ ‎12.抛物线：的焦点F，其准线过（-2，2），过焦点F倾斜角为的直线交抛物线于A，B两点，则=_________ ; 弦AB的长为_________ ．‎ ‎【答案】 (1). 4 (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据准线过（-2，2），可求，然后联立直线和抛物线方程，结合韦达定理可求弦长.‎ ‎【详解】因为抛物线：准线过（-2，2），所以，即.‎ 由题意得直线，联立得，‎ 设，则.‎ 弦长.‎ 故答案为： 4 .‎ ‎【点睛】本题主要考查直线和抛物线的位置关系，抛物线的焦点弦长可由公式求得，侧重考查数学运算的核心素养.‎ ‎13.‎ - 23 -‎ 为了贯彻落实党中央对新冠肺炎疫情防控工作的部署和要求，坚决防范疫情向校园蔓延，切实保障广大师生身体健康和生命的安全，教育主管部门决定通过电视频道、网络平台等多种方式实施线上教育教学工作．为了了解学生和家长对网课授课方式的满意度，从经济不发达的A城市和经济发达的B城市分别随机调查了20个用户，得到了一个用户满意度评分的样本，并绘制出茎叶图如下：‎ 若评分不低于80分，则认为该用户对此授课方式“认可”，否则认为该用户对此授课方式“不认可”．以该样本中A，B城市的用户对此授课方式“认可”的频率分别作为A，B城市用户对此授课方式“认可”的概率．现从A城市和B城市的所有用户中分别随机抽取2个用户，用表示这4个用户中对此授课方式“认可”的用户个数，则__________；用表示从A城市随机抽取2个用户中对此授课方式“认可”的用户个数，则的数学期望为_________ ．‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据频率得出“认可”授课方式的概率，结合独立重复试验可求，利用二项分布的期望公式可得的数学期望.‎ ‎【详解】根据题意可得A，B城市的用户对此授课方式“认可”概率分别为；‎ ‎；‎ 由题意可知，所以.‎ 故答案为：，.‎ ‎【点睛】本题主要考查独立重复试验及二项分布的期望，熟悉独立重复试验发生k次的求解公式是解题关键，侧重考查数学建模的核心素养.‎ - 23 -‎ ‎14.若存在，使得不等式成立，则实数m的取值范围是_________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先利用基本不等式求解的最小值，然后求解二次不等式可得结果.‎ ‎【详解】因为 当且仅当时，取到最小值1；‎ 所以，解得或.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题主要考查基本不等式求解最值及一元二次不等式的解法，基本不等式使用时，注意符合公式的结构形式，侧重考查数学运算的核心素养.‎ ‎15.已知函数，若函数有三个零点，则实数的取值范围是_________ ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 结合分段函数的特点及图象，分段进行分析，转化为函数与有三个交点，结合相切状态的的值，可得的取值范围.‎ ‎【详解】当时，，设与相切于点，‎ - 23 -‎ 则，，解得.‎ 如图，，‎ 若有三个零点，则.‎ 当时，，设与相切，‎ 则，，‎ 由可得或（舍），‎ 如图，‎ 因为时，与必有一个交点，所以若有三个零点，则.‎ 综上可得实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题主要考查函数零点，利用零点个数求解参数时注意数形结合，转化为函数图象交点的个数问题，侧重考查直观想象的核心素养.‎ 三、解答题（本大题5小题，共75‎ - 23 -‎ 分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）‎ ‎16.中，内角，，所对的边分别为，已知的面积为，，．‎ ‎（1）求和的值；‎ ‎（2）求的值．‎ ‎【答案】（1）；；（2）．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先利用平方关系求出，结合面积公式和已知可得，然后利用余弦定理可求，利用正弦定理可得的值；‎ ‎（2）先求解，利用倍角公式可得，，结合和角公式可求的值．‎ ‎【详解】（1）在中，由，可得，‎ 的面积为，可得：，可得．‎ 又，解得：，或，（舍去），‎ ‎，，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 又，解得；‎ 所以；；‎ ‎（2）由（1）知：，所以，‎ - 23 -‎ 所以，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎．‎ ‎【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理求解三角形及三角求值问题，倍角公式及和角公式的熟练应用是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.‎ ‎17.如图，平面平面，为矩形，为等腰梯形，，分别为，中点，，，．‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）求二面角的正弦值；‎ ‎（3）线段上是否存在点，使得平面，若存在求出的长，若不存在，说明理由．‎ ‎【答案】（1）详见解析；（2）；（3）不存在这样的，理由详见解析．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）连接，利用三角形中位线性质可得，进而可证平面；‎ ‎（2）建立空间坐标系，求出两个平面的法向量，利用向量夹角公式及平方关系可得二面角的正弦值；‎ - 23 -‎ ‎（3）假设存在点，根据表示出点的坐标，利用得出矛盾，进而得到结论.‎ ‎【详解】（1）连接，∵，为，中点，‎ ‎∴，‎ 又∵平面，‎ 平面，‎ ‎∴平面．‎ ‎（2）过点作，垂足为，‎ 以为坐标原点，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系，‎ ‎，，，，‎ 设平面的一个法向量为，‎ ‎，，，‎ 令，∴，，∴．‎ 设平面的一个方向量为，‎ ‎∴，，‎ 二面角的正弦值为．‎ ‎（3）假设存在这样一点，设，由（2）知，，平面 - 23 -‎ 的法向量.‎ 设，即，‎ ‎∴，，，即，‎ ‎， ‎ ‎∵平面，∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴，且，即不存在这样的，‎ ‎∴线段上不存在点，使得平面．‎ ‎【点睛】本题主要考查线面平行的证明和二面角的求解及探索性问题，线面平行通常利用辅助线证明线线平行得出，二面角一般借助平面法向量进行求解，侧重考查逻辑推理和数学运算的核心素养.‎ ‎18.已知椭圆的左、右焦点，离心率为，点是椭圆上的动点，的最大面积是．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）圆E经过椭圆的左、右焦点，且与椭圆在第一象限的交点为，且三点共线，为坐标原点，直线交椭圆于两点，且．‎ ‎（i） 求直线的斜率；‎ ‎（ii）当的面积取到最大值时，求直线的方程．‎ ‎【答案】（1）；（2）（i）；（ii）．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据离心率建立等式，结合的最大面积是可求椭圆的方程；‎ - 23 -‎ ‎（2）（i）利用圆的对称性可得圆心为轴上一点，结合，，三点共线可以表示出点的坐标，代入椭圆方程可求点，进而可得直线的斜率；‎ ‎（ii）设出直线的方程，求出弦长，利用点到直线的距离公式求出三角形的高，结合面积公式及二次函数知识可求直线的方程．‎ ‎【详解】（1）∵离心率，，‎ ‎∴，，‎ 面积的最大值为：，‎ ‎∴，；‎ ‎∴椭圆方程为．‎ ‎（2）（i）∵圆经过椭圆的两个焦点，‎ ‎∴圆心为轴上一点，设点，‎ ‎∵圆与椭圆在第一象限交于点，∴，‎ ‎∵，，三点共线，且是圆的一条直径，‎ ‎∴，‎ 将点代入椭圆方程得到，即，‎ ‎∴直线的斜率为．‎ ‎（ii）∵，∴直线的斜率也为，设直线，，‎ 联立，得，‎ - 23 -‎ ‎，∴，‎ ‎，，‎ ‎，‎ 点到直线：的距离，‎ ‎∴．‎ ‎∴当，即时的面积最大，此时直线的方程为：．‎ ‎【点睛】本题主要考查椭圆的方程和三角形面积的问题，方程求解的关键是明确的大小，面积问题一般结合弦长公式进行求解，侧重考查数学运算的核心素养.‎ ‎19.等比数列的各项均为正数，成等差数列，且满足，数列的前项和，且 ‎（1）求数列和的通项公式；‎ ‎（2）设，求证：；‎ ‎（3）设，求．‎ ‎【答案】（1）；；（2）详见解析；（3）．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据成等差数列可得公比，利用可求首项，从而可求 - 23 -‎ ‎；利用可得数列是常数列，从而可得；‎ ‎（2）先求出，然后裂项求和可得，进而可证；‎ ‎（3）利用错位相减法求出，得到，进而可得.‎ ‎【详解】（1）设等比数列的公比为，依题意，有，所以，‎ 因为，所以，且，解得或（舍），‎ 因为，所以，所以，‎ 所以数列的通项公式为.‎ 当时，，‎ 整理得，即，‎ 所以数列是首项为常数列．‎ 所以，即，所以数列的通项公式．‎ ‎（2）由（1），得 ‎，‎ 所以 ‎．‎ ‎（3）由题意，‎ ‎，‎ - 23 -‎ ‎∴‎ ‎，‎ ‎∴，‎ ‎∴.‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ ‎【点睛】本题主要考查等比数列通项公式，裂项求和，错位相减法求和等，综合性较强，裂项求和要合理裂项，错位相减法求和时注意项数的变化，侧重考查数学运算的核心素养.‎ ‎20.已知函数．‎ ‎（1）求函数的单调区间和极值；‎ - 23 -‎ ‎（2）当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围；‎ ‎（3）若存在，且当时，，证明：．‎ ‎【答案】（1）当时，单调递增区间为，无极值；当时，单调递增区间为，单调递减区间为；极小值为，无极大值；（2）；（3）详见解析．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出，分类讨论的取值，根据导数符号可得单调区间和极值；‎ ‎（2）令，求解导数，分别讨论时和时两种情况，结合函数最值，可得实数的取值范围；‎ ‎（3）先令，根据导数判断单调性，把条件转化为，然后构造函数，证明，进而可证.‎ ‎【详解】（1），定义域，，‎ ‎（i）当时，，单调递增，无极值；‎ ‎（ii）当时，令，解得，∴的单调递增区间为；‎ 令，解得，∴的单调递减区间为．‎ 此时有极小值，无极大值．‎ ‎（2）令，，‎ 则．‎ ‎（i）时，，在上单调递减，‎ ‎∴，‎ - 23 -‎ ‎∴恒成立，满足题意．‎ ‎（ii）时，令，，‎ ‎∴在上单调递减，‎ ‎∴，‎ 其中，且在上单调递减，‎ ‎∴根据零点存在性定理，使得，‎ 即，；，‎ ‎∴，，在上单调递增，‎ 又∵，‎ ‎∴，，不满足题意，舍掉；‎ 综上可得．‎ ‎（3）不妨设，则.‎ ‎∵，∴，‎ 令，，∴在上单增，‎ ‎∴，从而；‎ ‎∴，‎ 即；‎ 下面证明，令，则，‎ 即证明，只要证明，‎ - 23 -‎ 设，∴在上恒成立，‎ ‎∴在单调递减，故．‎ ‎∴，即．‎ ‎【点睛】本题主要考查导数的应用，综合考查了利用导数判断单调性，求解极值，求解恒成立问题，及证明不等式等，综合性较强，对学生变通能力有较高的要求，恒成立问题及不等式的证明通常转化为函数最值问题进行处理，侧重考查数学抽象和逻辑推理的核心素养.‎ ‎ ‎ - 23 -‎