新教材数学北师大版（2019）必修第二册课件：2-6-1-三-第1课时　三角形中的几何计算 课件（80张） 80页

三、用余弦定理、正弦定理解三角形 第1课时　三角形中的几何计算 必备知识·自主学习 1.内角和定理:在△ABC中,A+B+C=180°. 2.面积公式: S△ABC= absin C= bcsin A= acsin B. 导思 1.余弦定理、正弦定理的内容及变形是什么? 2.余弦定理、正弦定理可分别解决哪类三角形 问题? 1 2 1 2 1 2 3.余弦定理的形式: 形式一:a2=b2+c2-2bccos A, b2=a2+c2-2accos B, c2=a2+b2-2abcos C. 形式二:cos A=___________, cos B=___________,cos C=___________. 2 2 2b c a 2bc  － 2 2 2a c b 2ac  － 2 2 2a b c 2ab  － 4.正弦定理的形式: 形式一: =2R(R为外接圆半径). 形式二:a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C. 形式三:a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C. 形式四: a b c sin A sin B sin C   a b csin A sin B sin C . 2R 2R 2R   ， ， 【思考】 在解三角形时,边角至少需要知道几个才能求出其他边角? 提示:由余弦定理、正弦定理的内容可以看出,至少需要知道三个(不能全为角) 才能求出其他边角. 【基础小测】 1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”) (1)在△ABC中,若a2>b2+c2,则△ABC一定为钝角三角形. (　　) (2)在△ABC中,等式bsin A=asin B总能成立. (　　) (3)在△ABC中,满足sin B= <1的三角形个数有且仅有一个.(　　) bsin A a 提示:(1)√.由a2>b2+c2,可得b2+c2-a2<0,故cos A= <0,从而角A为钝 角,该三角形为钝角三角形. (2)√.根据正弦定理 可得bsin A=asin B总成立. (3)×.例如已知A=30°,a=1,b= ,则sin B= 故B=60°或120°, 此时满足条件的三角形有两个. 2 2 2b c a 2bc  － a b sin A sin B  3 bsin A 3 a 2  ， 2.在△ABC中,若a=7,b=3,c=8,则△ABC的面积等于 (　　) A.12 B. C.28 D.6 【解析】选D.由余弦定理可得cos A= ,所以A=60°, 所以sin A= ,故S△ABC= bcsin A=6 . 1 2 21 2 3 3 2 1 2 3 3.(教材二次开发:例题改编)已知O是△ABC内部一点, =0, =2且∠BAC=60°,则△OBC的面积为 (　　) 【解析】选A.由 =0可知点O是△ABC的重心,S△OBC= S△ABC, =| |·| |cos 60°=2,所以| |·| |=4,S△OBC= S△ABC= OA OB OC     AB AC    3 3 2A. B. 3 C. D. 3 2 3 OA OB OC     1 3 AB AC    AB  AC  AB  AC  1 3 1 1 3 34 . 3 2 2 3     关键能力·合作学习 类型一　三角形中的面积计算(逻辑推理) 【题组训练】 1.已知△ABC的面积为 且b=2,c= ,则(　　)　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 A.A=30° B.A=60° C.A=30°或150° D.A=60°或120° 3 2 3 2.在△ABC中,AC=1,B=30°,AB= ,则△ABC的面积为________.  3.在△ABC中,已知b2-bc-2c2=0,且a= ,cos A= ,求△ABC的面积. 3 6 7 8 【解析】1.选D.由S△ABC= bcsin A, 得 = ×2× sin A,解得sin A= , 又因为0°0), 又a+b+c=30,所以k=2, 即三边长为a=6,b=10,c=14, 所以cos A= sin A= 所以S△ABC= bcsin A= ×10×14× =15 . 2 2 2b c a 13 2bc 14   － ， 3 3 14 ， 1 2 1 2 3 3 14 3 2.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,∠ABC=120°,∠ABC的平分线交AC 于点D,且BD=1,则3a+c的最小值为 (　　) A.6 B.4+2 C.9 D.6+4 3 3 【解析】选B.由题意可知S△ABC=S△ABD+S△CBD,由角平分线性质和三角形面积公式 得 acsin 120°= csin 60°+ asin 60°,化简得ac=c+a,即 所以3a+c=(3a+c)( )=4+ ≥4+2 ,当且仅当 即c= a = +1时取等号. 1 2 1 2 1 2 1 1 1 a c   ， 1 1 a c  3a c c a  3 3a c c a  ， 3 3 1.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,a=1,B=45°,S△ABC=2,则△ABC的 外接圆直径为 (　　) 【解析】选C.因为S△ABC= acsin B= c·sin 45°= c=2,所以c=4 ,所以 b2=a2+c2-2accos 45°=25,所以b=5,所以△ABC的外接圆直径为 =5 . 课堂检测·素养达标 A.4 3 B.60 C.5 2 D.6 2   1 2 1 2 2 4 2 b sin B 2 2.设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c且c= ,cos C=- ,sin A= 2sin B,则b=________. 【解析】因为sin A=2sin B,所以a=2b, 又因为c= ,cos C=- , 所以由余弦定理c2=a2+b2-2abcos C, 可得6=a2+b2-2ab·(- )=4b2+b2+ ×2b2, 解得b=-1(舍去)或b=1. 答案:1 6 1 4 6 1 4 1 4 1 2 3.如图,在四边形ABCD中,B=C=120°,AB=4,BC=CD=2,则该四边形的面积等于 ________. 【解析】连接BD,四边形面积可分为△ABD与△BCD两部分的面积和,由余弦定 理得BD=2 ,S△BCD= BC·CDsin 120°= ,∠ABD=120°-30°=90°, 所以S△ABD= AB·BD=4 ,所以S四边形ABCD= +4 =5 . 答案:5 3 1 2 3 1 2 3 3 3 3 3 4.如图所示,已知圆内接四边形ABCD的边长分别为AB=2,BC=6,CD=DA=4,求四边 形ABCD的面积. 【解析】如图,连接BD,则四边形ABCD的面积为 S=S△ABD+S△CDB= AB·ADsin A+ BC·CDsin C. 因为A+C=180°,所以sin A=sin C, 所以S= (AB·AD+BC·CD)sin A= (2×4+6×4)sin A=16sin A. 在△ABD中,由余弦定理得BD2=AB2+AD2-2AB·ADcos A=22+42-2×2×4cos A=20- 16cos A. 1 2 1 2 1 2 1 2 在△CDB中,由余弦定理得BD2=CB2+CD2-2CB·CDcos C=52-48cos C. 所以20-16cos A=52-48cos C. 因为cos C=-cos A,所以64cos A=-32, 所以cos A=- ,又0°0,解得x=16,即BD=16. (2)因为AD⊥CD,所以∠ADC=90°, 故∠BDC=∠ADC-∠BDA=90°-60°=30°, 在△BCD中,由正弦定理 得BC= BC BD sin BDC sin BCD    ， 116BD sin 30 2 8 2. sin 135 2 2      【能力进阶—水平二】 (30分钟　60分) 一、单选题(每小题5分,共20分) 1.设△ABC的三条边分别为a,b,c,三角形面积为S= ,则C为(　　) 【解析】选C.根据面积公式得S= absin C,故 absin C= , 解得tan C=1,由于0b, 即A为钝角或锐角,所以cos A= 当A为锐角时,sin C=sin(A+B)= 所以S△ABC= 8 7 sin A sin 60   ， 4 3 7 24 3 11 ) . 7 7   －( 4 3 1 1 3 5 3 7 2 7 2 14     ， 1 1 5 3absin C 8 7 10 3. 2 2 14      当A为钝角时,sin C=sin(A+B)= 所以S△ABC= 则此三角形的面积为6 或10 . 4 3 1 1 3 3 3 7 2 7 2 14   － ， 1 1 3 3absin C 8 7 6 3. 2 2 14      3 3 【误区警示】本题在求解过程中,由sin A= 确定角A大小时,易漏掉A为钝 角的情况. 4 3 7 二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错 的得0分) 5.三角形有一个角是60°,相邻两边长分别为8和5,则下列结论正确的是(　　) A.三角形另一边长为7 B.三角形周长为20 C.三角形内切圆周长为3π D.三角形外接圆面积为 49 3  【解析】选ABD.根据余弦定理可得82+52-2×8×5×cos 60°=49, 即另一边长为7,故该三角形周长为20,故A,B正确; 设内切圆半径为r, 则 (8+7+5)r= ×8×5×sin 60°,解得r= , 故内切圆周长为2πr=2 π,C不正确; 设外接圆半径为R,则2R= , 解得R= ,其面积为πR2= . 1 2 1 2 3 3 7 sin 60 7 3 3 49 3  6.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a∶b∶c=4∶5∶6,则下列结论 正确的是 (　　) A.sin A∶sin B∶sin C=4∶5∶6 B.△ABC是钝角三角形 C.△ABC为直角三角形 D.若c=6,则△ABC外接圆半径为 8 7 7 【解析】选AD.由a∶b∶c=4∶5∶6, 可设a=4m,b=5m,c=6m(m>0), 根据正弦定理可知sin A∶sin B∶sin C=4∶5∶6,故A正确; 因为cos C= 故最大角C为锐角,故BC错误; 若c=6,可得2R= 所以△ABC外接圆半径为 ,故D正确. 【光速解题】本题可直接令边长分别为4,5,6. 2 2 2 2 2 2a b c 16m 25m 36m 1 0 2ab 2 4m 5m 8        － － ， c 6 16 7 sin C 711 64   ， － 8 7 7 三、填空题(每小题5分,共10分) 7.已知等腰三角形的底边长为6,一腰长为12,则它的内切圆面积为　　　　.  【解题指南】利用等面积转化,即S= (a+b+c)·r= bcsin A,即可求出内切 圆半径r,进而求出内切圆面积. 1 2 1 2 【解析】不妨设三边长为a,b,c,且a=6,b=c=12, 由余弦定理cos A= 所以sin A= 由 (a+b+c)·r= bcsin A,得r= , 所以S内切圆=πr2= . 答案: 2 2 2 2 2 2b c a 12 12 6 7 , 2bc 2 12 12 8       － － 27 151 ( ) . 8 8 － 1 2 1 2 3 15 5 27 5  27 5  【补偿训练】 在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,已知A=60°,b=4,△ABC的面积为3 , 则a=　　　　. 【解析】因为S= bcsin A=3 , 所以 ×4c× =3 , 解得c=3,故a2=b2+c2-2bccos A=16+9-2×4×3× =25-12=13,所以a= . 答案: 3 3 1 2 1 2 3 2 3 1 2 13 13 8.在▱ ABCD中,AB=6,AD=3,∠BAD=60°,则▱ ABCD的对角线AC长为　　　　,其面 积为　　　　.  【解析】在▱ ABCD中,连接AC, 则CD=AB=6,∠ADC=180°-∠BAD=180°-60°=120°. 根据余弦定理AC= S▱ ABCD=2S△ABD=AB·AD·sin∠BAD=6×3sin 60°=9 . 答案:3 9 2 2 2 2 1AD CD 2AD CDcos 120 3 6 2 3 6 ( ) 3 7. 2        － － － 3 7 3 四、解答题(每小题10分,共20分) 9.已知AB⊥BD,AC⊥CD,AC=1,AB=2,∠BAC=120°,求BD的长. 【解析】如图,连接BC. BC= 在△ABC中,由正弦定理知: 所以sin∠ACB= . 又因为∠ACD=90°, 所以cos∠BCD= ,sin∠BCD= , 由AB⊥BD,AC⊥CD,∠BAC=120°得∠BDC=60°. 由正弦定理得BD= 2 22 1 2 2 1 cos 120 7.     － 2 7 sin ACB sin 120    ， 21 7 21 7 2 7 7 2 77BC sin BCD 4 37 . sin 60 33 2      10.已知四边形ABCD中,AB=2,BC=CD=4,DA=6,且D=60°,试求四边形ABCD的面积. 【解析】连接AC,在△ACD中, 由AD=6,CD=4,D=60°, 可得AC2=AD2+DC2-2AD·DC·cos D=62+42-2×6×4×cos 60°=28. 在△ABC中,由AB=2,BC=4,AC2=28, 可得cos B= 又0°