【数学】2020届一轮复习人教A版快速解决直线与圆锥曲线综合问题解题技巧（文）学案 5页

专题27 快速解决直线与圆锥曲线综合问题解题技巧 一．【学习目标】‎ ‎1.掌握圆锥曲线的定义；‎ ‎2．掌握焦点三角形的应用和几何意义；‎ ‎3.掌握圆锥曲线方程的求法；‎ ‎4.掌握直线与圆锥曲线的位置关系；‎ ‎5.熟练掌握定点、定值、最值和范围问题。‎ 一．【知识点总结】‎ ‎1.椭圆定义：平面内与两个定点的距离的和等于常数(大于之间的距离)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做焦点，两焦点间的距离叫做焦距．‎ ‎2．椭圆的标准方程 ‎(1)，焦点，其中．‎ ‎(2)，焦点，其中 ‎3．椭圆的几何性质以为例 ‎(1)范围：．‎ ‎(2)对称性：对称轴：轴，轴；对称中心：‎ ‎(3)顶点：长轴端点：，短轴端点：；长轴长，短轴长，焦距.‎ ‎(4)离心率越大，椭圆越扁，越小，椭圆越圆．‎ ‎(5) 的关系：.‎ ‎4．双曲线的定义： ‎ 平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于常数(小于之间的距离)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做焦点，两焦点间的距离叫做焦距．‎ ‎5．双曲线的标准方程 ‎(1)，焦点，其中．‎ ‎(2)，焦点，其中 ‎6．双曲线的几何性质以为例 ‎(1)范围：．‎ ‎(2)对称性：对称轴：轴，轴；对称中心：‎ ‎(3)顶点：实轴端点：，虚轴端点：；实轴长，虚轴长，焦距.‎ ‎(4)离心率 ‎(5) 渐近线方程. ‎ ‎（Ⅱ）由题意可知直线的斜率存在.设，，，‎ 由得：‎ 由得：，‎ ‎∵，∴即 ‎∴，结合得：∵，∴‎ 从而， ，‎ ‎∵点在椭圆上，∴，整理得：‎ 即，∴，或.‎ 练习1．已知椭圆直线，若椭圆上存在两个不同的点，关于对称，设的中点为.‎ ‎（1）证明：点在某定直线上；（2）求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1)见证明；(2) 或.‎ 练习2．已知椭圆的离心率为，且过点．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆方程；‎ ‎（Ⅱ）设不过原点的直线，与该椭圆交于两点，直线的斜率分别为，满足．‎ ‎（i）当变化时，是否为定值？若是，求出此定值，并证明你的结论；若不是，请说明理由；‎ ‎（ii）求面积的取值范围．‎ ‎【答案】（Ⅰ）y2＝1；（Ⅱ）（i）见解析；（ii）（0，1）.‎ ‎【解析】（Ⅰ）由题设条件，设ck，a＝2k，则b＝k，‎ ‎∴椭圆方程为1，把点（，）代入，得k2＝1，∴椭圆方程为y2＝1．‎ ‎（Ⅱ）（i）当k变化时，m2是定值．‎ 证明如下：由，得（1+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣1）＝0，设 ‎∴，．∵直线OP，OQ的斜率依次为k1，k2，‎ ‎∴4k＝k1+k2，‎ ‎∴2kx1x2＝m（x1+x2），由此解得，验证△＞0成立．∴当k变化时，是定值．‎ ‎②S△OPQ|x1﹣x2|•|m|，令t＞1，得S△OPQ1，‎ ‎∴△OPQ面积的取值范围S△OPQ∈（0，1）．‎ 练习3．已知椭圆C：的左右顶点为A、B，右焦点为F，一条准线方程是，短轴一端点与两焦点构成等边三角形，点P、Q为椭圆C上异于A、B的两点，点R为PQ的中点 求椭圆C的标准方程；‎ 直线PB交直线于点M，记直线PA的斜率为，直线FM的斜率为，求证：为定值；‎ 若，求直线AR的斜率的取值范围．‎ ‎【答案】（1）（2）见解析（3）‎ ‎【解析】椭圆的一条准线方程是，可得，‎ 短轴一端点与两焦点构成等边三角形，可得，‎ 解得，，，即有椭圆方程为；学!科网 证明：由，，设直线PB的方程为，联立椭圆方程，‎ 可得，解得或，即有，‎ ‎，，则，即为定值；‎ 由，可得，即，‎ 设AP的方程为，代入椭圆方程，可得，‎ 解得或，即有，将t换为可得，‎ 则R的坐标为，即有直线AR的斜率 ‎，可令，则，则，‎ 当时，，当且仅当时上式取得等号，‎ 同样当时，，时，，，则AR的斜率范围为