2021高考数学人教版一轮复习多维层次练：第八章 第4节 直线与圆、圆与圆的位置关系 9页

www.ks5u.com 多维层次练47‎ ‎[A级　基础巩固]‎ ‎1．已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是(　　)‎ A．相切 B．相交 ‎ C．相离 D．不确定 解析：由题意知点M在圆外，则a2＋b2>1，圆心到直线的距离d＝<1，故直线与圆相交．‎ 答案：B ‎2．已知圆x2＋y2＋2x－2y＋a＝0截直线x＋y＋2＝0所得弦的长度为4，则实数a的值是(　　)‎ A．－2 B．－4 ‎ C．－6 D．－8‎ 解析：由x2＋y2＋2x－2y＋a＝0，‎ 得(x＋1)2＋(y－1)2＝2－a，‎ 所以圆心坐标为(－1，1)，半径r＝，‎ 圆心到直线x＋y＋2＝0的距离为＝，‎ 所以22＋()2＝2－a，解得a＝－4.‎ 答案：B ‎3．(2020·宜昌市期末)圆C1：(x＋1)2＋(y＋2)2＝4与圆C2：(x－1)2＋(y＋1)2＝9的位置关系是(　　)‎ A．内切 B．相交 ‎ C．外切 D．相离 解析：圆C1的圆心为(－1，－2)，半径为r1＝2，‎ 圆C2的圆心为(1，－1)，半径为r2＝3，‎ 两圆的圆心距d＝＝，‎ 所以r2－r10)截直线x＋y＝0所得线段的长度是2，则圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是(　　)‎ A．内切 B．相交 ‎ C．外切 D．相离 解析：圆M的标准方程为：x2＋(y－a)2＝a2(a>0)，‎ 则圆心为(0，a)，半径R＝a，‎ 圆心到直线x＋y＝0的距离d＝，‎ 因为圆M：x2＋y2－2ay＝0(a>0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是2，‎ 所以2＝2＝2＝2，‎ 即＝，即a2＝4，a＝2，‎ 则圆M的圆心为M(0，2)，半径R＝2，‎ 圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的圆心为N(1，1)，半径r＝1，‎ 则MN＝＝，‎ 因为R＋r＝3，R－r＝1，所以R－r0，b>0)被圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0截得弦长为4，则＋的最小值是(　　)‎ A．9 B．4 ‎ C. D. 解析：圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0，即圆(x＋1)2＋(y－2)2＝4，‎ 它表示以(－1，2)为圆心、半径为2的圆．‎ 因为弦长等于直径，‎ 所以直线经过圆心，故有－2a－2b＋2＝0，‎ 即a＋b＝1，再由a>0，b>0，可得：‎ ＋＝(a＋b)＝5＋＋≥5＋2＝9，‎ 当且仅当＝，即a＝，b＝时取等号，‎ 所以＋的最小值是9.‎ 答案：A ‎7．从圆x2－2x＋y2－2y＋1＝0外一点P(3，2)向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为________．‎ 解析：由x2－2x＋y2－2y＋1＝0，得(x－1)2＋(y－1)2＝1，则圆心为C(1，1)，|PC|＝＝.‎ 设两切点分别为B，D，则|CD|＝1，所以sin ∠CPD＝，‎ 则cos ∠DPB＝1－2 sin2∠CPD＝1－＝，‎ 即两条切线夹角的余弦值为.‎ 答案： ‎8．已知圆C1：x2＋y2－6x－7＝0与圆C2：x2＋y2－6y－27＝0相交于A，B两点，则线段AB的中垂线方程为______________．‎ 解析：因为圆C1的圆心C1(3，0)，圆C2的圆心C2(0，3)，‎ 所以直线C1C2的方程为x＋y－3＝0，‎ AB的中垂线即直线C1C2，故其方程为x＋y－3＝0.‎ 答案：x＋y－3＝0‎ ‎9．(2020·芜湖二中月考)过点(1，0)且与直线x－y＋3＝0平行 的直线l被圆(x－6)2＋(y－)2＝12所截得的弦长为________．‎ 解析：设与直线x－y＋3＝0平行的直线l的方程为x－y＋c＝0，‎ 因为直线过点(1，0)，‎ 所以c＝－1，‎ 所以直线l的方程为x－y－1＝0.‎ 所以圆心(6，)到直线l的距离为＝，‎ 所以直线l被圆(x－6)2＋(y－)2＝12截得的弦长为2＝6.‎ 答案：6‎ ‎10．(2020·潍坊一中月考)已知直线l：x－y＋3＝0被圆C：(x－a)2＋(y－2)2＝4(a>0)截得的弦长为2，求 ‎(1)a的值；‎ ‎(2)求过点(3，5)并与圆C相切的切线方程．‎ 解：(1)依题意可得圆心C(a，2)，半径r＝2，‎ 则圆心到直线l：x－y＋3＝0的距离d＝＝，‎ 由勾股定理可知d2＋＝r2，代入化简得|a＋1|＝2，‎ 解得a＝1或a＝－3，‎ 又a>0，所以a＝1.‎ ‎(2)由(1)知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝4，‎ 又(3，5)在圆外，‎ 所以①当切线方程的斜率存在时，设方程为y－5＝k(x－3)，‎ 由圆心到切线的距离d＝r＝2，‎ 解得k＝，‎ 所以切线方程为5x－12y＋45＝0.‎ ‎②当过(3，5)的切线斜率不存在，易知直线x＝3与圆相切，‎ 综合①②可知切线方程为5x－12y＋45＝0或x＝3.‎ ‎[B级　能力提升]‎ ‎11．(2020·临沂市调研)已知圆C1：(x－1)2＋(y＋1)2＝1，圆C2：(x－4)2＋(y－5)2＝9.点M、N分别是圆C1、圆C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PN|－|PM|的最大值是(　　)‎ A．2＋4 B．9‎ C．7 D．2＋2‎ 解析：圆C1：(x－1)2＋(y＋1)2＝1的圆心E(1，－1)，半径为1，‎ 圆C2：(x－4)2＋(y－5)2＝9的圆心F(4，5)，半径是3.‎ 要使|PN|－|PM|最大，需|PN|最大，且|PM|最小，|PN|最大值为|PF|＋3，|PM|的最小值为|PE|－1，‎ 故|PN|－|PM|的最大值是(|PF|＋3)－(|PE|－1)＝|PF|－|PE|＋4.‎ F(4，5)关于x轴的对称点F′(4，－5)，|PF|－|PE|＝|PF′|－|PE|≤|EF′|＝＝5，‎ 故|PN|－|PM|的最大值为5＋4＝9.‎ 答案：B ‎12．(2020·青岛二中月考)已知圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝9，P(2，2)是该圆内一点，过点P的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积是________．‎ 解析：因为圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝9，‎ 所以圆心坐标为M(1，1)，半径r＝3.‎ 因为P(2，2)是该圆内一点，‎ 所以经过P 点的直径是圆的最长弦，且最短的弦是与该直径垂直的弦．‎ 结合题意，得AC是经过P点的直径，BD是与AC垂直的弦．‎ 因为|PM|＝＝，‎ 所以由垂径定理，得|BD|＝2.‎ 因此，四边形ABCD的面积是S＝|AC|·|BD|＝×6×2＝6.‎ 答案：6 ‎13．已知直线l：4x＋3y＋10＝0，半径为2的圆C与l相切，圆心C在x轴上且在直线l的右上方．‎ ‎(1)求圆C的方程．‎ ‎(2)过点M(1，0)的直线与圆C交于A，B两点(A在x轴上方)，问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分∠ANB？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．‎ 解：(1)设圆心C(a，0)，‎ 则＝2，解得a＝0或a＝－5(舍)．‎ 所以圆C的方程为x2＋y2＝4.‎ ‎(2)当直线AB⊥x轴时，x轴平分∠ANB.‎ 当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝k(x－1)，N(t，0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 由 消去y得(k2＋1)x2－2k2x＋k2－4＝0，‎ 所以x1＋x2＝，x1x2＝.‎ 若x轴平分∠ANB，‎ 则kAN＝－kBN，即＋＝0，‎ 则＋＝0，‎ 即2x1x2－(t＋1)(x1＋x2)＋2t＝0，‎ 即－＋2t＝0，解得t＝4，‎ 所以当点N坐标为(4，0)时，能使得x轴平分∠ANB.‎ ‎[C级　素养升华]‎ ‎14．(多选题)已知两点M，N，下列曲线方程中，存在点P满足|MP|＝|NP|的曲线方程是(　　)‎ A．4x＋2y－1＝0 B．x2＋y2＝3‎ C.＋y2＝1 D.－y2＝1‎ 解析：要使这些曲线上存在点P满足|MP|＝|NP|，需曲线与MN的垂直平分线相交．‎ MN的中点坐标为，MN斜率为＝，‎ 所以MN的垂直平分线为y＝－2，‎ 因为4x＋2y－1＝0与y＝－2斜率相同，两直线平行，可知两直线无交点，进而可知A不符合题意；‎ x2＋y2＝3与y＝－2联立，消去y得5x2＋12x＋6＝0，‎ Δ＝144－4×5×6>0，可知B中的曲线与MN的垂直平分线有交点；‎ 将C中的方程与y＝－2联立，消去y得9x2＋24x＋16＝0，‎ Δ＝0，可知C中的曲线与MN的垂直平分线有交点；‎ 将D中的方程与y＝－2联立，消去y得7x2＋24x＋20＝0，Δ>0，可知D中的曲线与MN的垂直平分线有交点．‎ 答案：BCD