2017-2018学年云南民族大学附属中学高二下学期期中考试数学（理）试题（Word版） 8页

‎2017-2018学年云南民族大学附属中学高二下学期期中考试数学理科试卷 ‎（考试时间120分钟 ， 满分150分）‎ ‎ 命题人： 审题人：‎ 注意事项：‎ ‎1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的考号、姓名、考场、座位号、班级在答题卡上填写清楚。‎ ‎2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。在试卷上作答无效。‎ 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）.‎ ‎1. 设全集，函数的定义域为，则为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎2.复数满足，，则 （ ） ‎ A. 1 B. C. 2 D. ‎ ‎3. 《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位所著，该作完善了珠算 口诀，确立了算盘用法，完成了由筹算到珠算的彻底转变，该作中有题为“李白沽酒”‎ ‎“ 李白街上走，提壶去买酒。遇店加一倍，见花喝一斗,三遇店和花，喝光壶中酒。借 问此壶中，原有多少酒？”，如图为该问题的程序框图，若输出的值为0，则开始输 入的值为（ ） ‎ ‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎4. 5名学生和2名老师排成一排照相，2名老师不在两边且不相邻的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎5. 在△中，角的对边分别是，若，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎6. 函数的大致图象为（ ）‎ ‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎7. 函数的最小正周期为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8. 如图,测量河对岸的塔高时,可以选与塔底在同一水平面内 的两个观测点与,测得,,米,‎ 并在测得塔顶的仰角为,则塔的高度为（ ）‎ A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 ‎9. 若等差数列前项和有最大值，且，则当数列的前项和取最大值时，=（ ）‎ A. 11 B. 12 C. 22 D. 23‎ ‎10. 函数 在点处的切线斜率的最小值是（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎11. 已知是双曲线的两个焦点，是上一点，若，且的最小内角为，则双曲线的离心率是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎12. 已知函数（），若，则的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ 第Ⅱ卷 ‎　　本卷包括必考题和选考题两部分，第13题－21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题－24题为选考题，考生根据要求作答.‎ 二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上).‎ ‎13. 的展开式中，的系数等于 .‎ ‎14. 若，则的值为 ．‎ ‎15．在平面直接坐标系中，若满足，则当取得最大值时，点的坐标是________.‎ ‎16. 如图，在三棱锥中，与是全等的等腰三角形，且平面平面，,则该三棱锥的外接球的表面积为________.‎ 第Ⅱ卷 三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.‎ ‎17.（本小题满分12分）‎ 已知数列的前项和为，且满足. ‎ ‎(1) 求数列的通项公式；‎ ‎(2) 设，求数列的前项和. ‎ ‎18.（本小题满分12分）‎ 某城市随机监测一年内100天的空气质量PM2.5的数据API，结果统计如下：‎ API 天数 ‎6‎ ‎12‎ ‎22‎ ‎30‎ ‎14‎ ‎16‎ ‎(1) 若将API值低于150的天气视为“好天”，并将频率视为概率，根据上述表格，预测今年高考6月7日、8日两天连续出现“好天”的概率；‎ ‎(2) API值对部分生产企业有着重大的影响，假设某企业的日利润与API值的函数关系为：（单位；万元），利用分层抽样的方式从监测的100天中选出10天，再从这10天中任取3天计算企业利润之和，求离散型随机变量的分布列以及数学期望和方差. ‎ ‎19.（本小题满分12分）‎ 在三棱柱中，，侧棱平面，为棱上的动点，为的中点，点在棱上，且.‎ ‎(1) 设，当为何值时，平面；‎ ‎(2) 在（1）条件下，求二面角的余弦值. ‎ ‎20.（本小题满分12分）‎ 已知点，点为平面上的动点，过点作直线的垂线，垂足为，且.‎ ‎(1) 求动点的轨迹的方程；[]‎ ‎(2) 设点的轨迹与轴交于点，点是轨迹上异于点的不同D的两点，且满足，在处分别作轨迹的切线交于点，求点的轨迹的方程；‎ ‎(3)在（2）的条件下，求证：为定值 ‎21.（本小题满分12分）‎ ‎ 已知函数. ‎ ‎ (1) 若函数在区间上存在极值，求正实数的取值范围；‎ ‎ (2) 如果当时，不等式恒成立，求实数的取值范围. ‎ ‎ (3)求证：‎ 请考生在22、23、两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程选讲.‎ 在直角坐标系中，曲线的参数方程为，以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.‎ ‎(1) 求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；‎ ‎(2) 求曲线上的任意一点到曲线的最小距离，并求出此时点的坐标. ‎ ‎23.（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲.‎ 设函数. ‎ ‎(1) 若不等式的解集为，求实数的值；‎ ‎(2) 在(1)条件下，若存在实数，使得恒成立，求实数的取值范围. ‎ 数学(理科)参考答案及评分参考 一、选择题(本大题包括12小题，每小题5分，共60分)‎ ‎1. A ‎ ‎2. A ‎ ‎3. C ‎ ‎4. B ‎ ‎5. A ‎ ‎6. A ‎ ‎7. C ‎ ‎8. D ‎ ‎9. C ‎ ‎10. A ‎ ‎11. C ‎ ‎12. C【命题意图】本小题主要考查对数函数的性质和运算，并对基本不等式的考查也提出很高要求，本题作为选择的压轴题，属于较难题，对学生的运算求解能力和推理论证能力提出一定要求.‎ ‎【试题解析】C 由可得，，而=，当且仅当 时取“=”，从而， ，故选C. ‎ 二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分)‎ ‎13. ‎ ‎14. 或1‎ ‎15. 【命题意图】本小题是线性规划的简单应用，对可行域的求取、对目标函数的理解都是考生必须掌握的基本技能.‎ ‎【试题解析】令，由可行域可知其在第一象限，‎ 故可看成从点向轴，轴引垂线段，所围成矩形的面积，‎ 故其可能取最大值的位置应在线段上，‎ ‎，当时取最大值，此时 ‎16. 【命题意图】本小题主要考查球的内接几何体的相关计算问题，对考生的空间想象能力与运算求解能力以及数形结合思想都提出很高要求，本题是一道综合题，属于较难题. ‎ ‎【试题解析】取中点分别为，连接，由题意知，，易知三棱锥的外接球球心在线段上，连接，有，求得，所以其表面积为. ‎ 三、解答题 ‎17.(本小题满分12分)‎ ‎【命题意图】本题考查数列通项公式及其前项和公式的求法，其中涉及错位相减法在数列求和问题中的应用. ‎ ‎【试题解析】解：(1) 当时，，解得 当时，，有，‎ 所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，有. （6分）‎ ‎(2) 由（1）知，有 ①‎ ①，②‎ ①-②，得 整理得. []‎ ‎18.【命题意图】本小题主要考查统计与概率的相关知识，其中包括概率的求法、离散型随机变量的数学期望以及方差. 本题主要考查学生的数据处理能力和运算求解能力.‎ ‎【试题解析】解：(1) 根据统计数据出现好天的概率为0.4，‎ 则连续两天出现“好天”的概率为. (4分)‎ ‎(2) 的所有可能取值为45,70,95,120.‎ ‎45‎ ‎70‎ ‎95‎ ‎120‎ ‎0.216‎ ‎0.432‎ ‎0.288‎ ‎0.064‎ ‎ (12分)‎ ‎19.【命题意图】本小题主要考查立体几何的相关知识，具体涉及到线面的平行关系、二面角的求法及空间向量在立体几何中的应用. 本小题对考生的空间想象能力与运算求解能力有较高要求.‎ ‎【试题解析】解：(1) 证明：‎ ‎，则，即.‎ ‎ (6分)‎ ‎ (2) 取中点，可知，. ‎ 以为原点，以方向为轴，以方向为轴，以方向为轴，建立如图所示坐标系. ‎ ‎ ，，，‎ ‎ 平面中，，，‎ ‎ 平面中，，，‎ ‎ .‎ ‎ 即二面角的余弦值为. (12分)‎ ‎20.【命题意图】本小题主要考查抛物线的性质，直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到抛物线标准方程的求取，直线与圆锥曲线的相关知识以及圆锥曲线中定值的求取. 本小题对考生的化归与转化思想、运算求解能力都有很高要求.‎ ‎【试题解析】解：(1) 由可得：，‎ 即，可知点为线段中垂线上的点，即，故动点的轨迹为以为焦点的抛物线，其方程为. ‎ ‎ (4分)‎ ‎(2) 设直线的斜率为，易得，可求得切线的方程为，化简整理得 ①‎ 因为，所以，故直线的方程为.‎ 联立直线和抛物线方程解得，‎ 所以切线的方程为，化简整理得 ②‎ ‎①-②得，所以(定值).‎ 故点的轨迹为是垂直轴的一条定直线. (8分)‎ ‎(3) 由(2)有，所以，.‎ 故(定值). (12分)‎ ‎21.【命题意图】本小题主要考查函数与导数的综合应用能力，具体涉及到用导数来描述函数的极值等情况. 本小题主要考查考生分类讨论思想的应用，对考生的逻辑推理能力与运算求解有较高要求.‎ ‎【试题解析】解：(1)函数的定义域为，.‎ 令，得；当时，，单调递增；‎ 当时，，单调递减. 所以，为极大值点，‎ 所以，故，即实数的取值范围为. (4分)‎ ‎(2)当时，，令，‎ 则.再令，‎ 则，所以，所以，‎ 所以为单调增函数，所以，故. (8分)‎ ‎(3) 由(2)知，当时，，.‎ 令，则，所以，，所以 ‎，‎ 所以 所以. (12分)‎ ‎22.【命题意图】本小题主要考查极坐标系与参数方程的相关知识，具体涉及到参数方程与普通方程的转化、极坐标方程与平面直角坐标方程的互化、平面内直线与曲线的位置关系、利用三角函数相关知识解决点线距离问题等内容. 本小题考查考生的方程思想与数形结合思想，对运算求解能力有一定要求.‎ ‎【试题解析】解：(1) 由题意知，的普通方程为 的直角坐标方程为. (5分)‎ ‎(2) 设，则到的距离，当，即时，取最小值，‎ 此时点坐标为. (10分)‎ ‎23.【命题意图】本小题主要考查含绝对值不等式求解的相关知识以及不等式证明的相关知识.‎ ‎ 本小题重点考查考生的逻辑思维能力与推理论证能力.‎ ‎【试题解析】解：(1) 由，得，即其解集为，由题意知的解集为，所以. (5分)‎ ‎(2) 原不等式等价于，存在实数，使得恒成立，即，而由绝对值三角不等式，，‎ 从而实数. (10分)‎