【数学】2019届一轮复习人教A版圆锥曲线的几何性质及其综合应用学案（文） 37页

母题十九 圆锥曲线的几何性质及其综合应用 ‎【母题原题1】【2018天津，文19】‎ 设椭圆 的右顶点为，上顶点为．已知椭圆的离心率为，．‎ ‎（I）求椭圆的方程；‎ ‎（II）设直线与椭圆交于两点，与直线交于点，且点均在第四象限．若的面积是面积的2倍，求的值．‎ ‎【考点分析】本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程等基础知识．考查用代数方法研究圆锥曲线的性质．考查运算求解能力，以及用方程思想解决问题的能力．满分14分．‎ ‎【答案】(Ⅰ)；（II）．‎ 试题解析：（I）设椭圆的焦距为，由已知得，又由，可得．由，从而．所以，椭圆的方程为．‎ ‎（II）设点的坐标为，点的坐标为，由题意，，点的坐标为．由的面积是面积的2倍，可得，从而 ‎，即．‎ 易知直线的方程为，由方程组消去，可得．由方程组消去，可得．由，可得，两边平方，整理得，解得，或．x// w ‎ 当时，，不合题意，舍去；当时，，符合题意．‎ 所以，的值为．‎ ‎【名师点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：‎ ‎（1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；‎ ‎（2）强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．‎ ‎【母题原题2】【2017天津，文20】‎ 设椭圆的左焦点为，右顶点为，离心率为．已知是抛物线的焦点，到抛物线的准线的距离为．‎ ‎（I）求椭圆的方程和抛物线的方程；‎ ‎（II）设上两点，关于轴对称，直线与椭圆相交于点（异于点），直线与轴相交于点．若的面积为，求直线的方程．‎ ‎【答案】（1），；（2），或．‎ ‎【解析】试题分析：由于为抛物线焦点，到抛物线的准线的距离为，则，又椭圆的离心率为，求出，得出椭圆的标准方程和抛物线方程；则，设直线方程为设，解出两点的坐标，把直线方程和椭圆方程联立解出点坐标，写出 ‎ 所在直线方程，求出点的坐标，最后根据的面积为解方程求出，得出直线的方程．‎ 试题解析：（Ⅰ）设的坐标为．依题意，，，，解得，，，于是．∴椭圆的方程为，抛物线的方程为．‎ ‎（II）解法一：设直线的方程为，与直线的方程联立，可得点，，解得，∴．∴直线的方程为，或．‎ 解法二：设则从而直线的方程为，代入椭圆方程，整理得．两根之积为 代入，得．∴直线的方程为：，即．令，得，解得．‎ 解得直线的方程为或，即，或．‎ ‎【考点】直线与椭圆综合问题 ‎【名师点睛】圆锥曲线问题在历年高考都是较有难度的压轴题，不论第一步利用椭圆的离心率及椭圆与抛物线的位置关系的特点，列方程组，求出椭圆和抛物线方程，还是第二步联立方程组求出点的坐标，写直线方程，利用面积求直线方程，都是一种思想，就是利用大熟地方法解决几何问题，坐标化，方程化，代数化是解题的关键．‎ ‎【母题原题3】【2016天津，文19】‎ 已知椭圆的左焦点为，离心率为，点M在椭圆上且位于第一象限，直线FM被圆截得的线段的长为c，．‎ ‎（I）求直线FM的斜率；‎ ‎（II）求椭圆的方程；‎ ‎（III）设动点P在椭圆上，若直线FP的斜率大于，求直线OP（O为原点）的斜率的取值范围．‎ ‎【答案】（I）；（II）；（III） ．‎ 试题解析：（I） 由已知有，又由，可得，，‎ 设直线的斜率为，则直线的方程为，由已知有 ‎，解得．‎ ‎（II）由（I）得椭圆方程为，直线的方程为，两个方程联立，消去，整理得，解得或，因为点在第一象限，可得的坐标为，由，解得，所以椭圆方程为．‎ ‎(III)设点的坐标为，直线的斜率为，得，即，与椭圆方程 综上，直线的斜率的取值范围是．‎ ‎【母题原题4】【2015天津，文19】‎ 已知椭圆的上顶点为B，左焦点为，离心率为，‎ ‎（I）求直线BF的斜率；‎ ‎（II）设直线BF与椭圆交于点P（P异于点B），故点B且垂直于BF的直线与椭圆交于点Q（Q异于点B）直线PQ与x轴交于点M，．‎ ‎（i）求的值；‎ ‎（ii）若，求椭圆的方程．‎ ‎【答案】（I）2；（II）（i） ；（ii）‎ ‎【解析】试题分析：（I）先由 及得，直线BF的斜率；（II）先把直线BF，BQ的方程与椭圆方程联立，求出点P，Q横坐标，可得（ii）先由得=，由此求出c=1，故椭圆方程为 试题解析：（I），由已知 及 可得，又因为，故直线BF的斜率．（II）设点，（i）由（I）可得椭圆方程为 直线BF的方程为，两方程联立消去y得 解得．因为，所以直线BQ方程为，与椭圆方程联立消去y得 又因为，所以，因此 所以椭圆方程为 ‎【命题意图】本类题通常主要考查对椭圆的离心率、椭圆的几何性质、双曲线的离心率、双曲线的几何性质、双曲线的渐近线、抛物线的几何性质等基本知识的理解，以及对直线与圆锥曲线间的交点问题（含切线问题）、与圆锥曲线定义有关的问题、与曲线有关的最值问题（含三角形和四边形面积）等知识的理解与简单的应用． ‎ ‎【命题规律】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题与填空题的形式出现，也会出现在解答题中第一问，难度一般中等，有时中等偏上，一般不会作为把关题，在考查内容上一般以求离心率，求双曲线的渐近线，求最值，求范围，利用性质求曲线方程等，着重考查对基本概念和基本性质的理解与应用，题型稳定，中规中矩，不偏不怪，内容及位置也很稳定，计算量比过去减少，但思考量增大，思维层次的要求并没有降低． 若再按以前的“解几套路”解题显然难以成功．‎ ‎【答题模板】以2017年高考题为例，求取椭圆或双曲线离心率，一般可由下面三个方面着手： ‎ ‎（1）根据已知条件确定的等量关系，然后把用代换，求的值；‎ ‎（2）已知条件构造出的等式或不等式，结合化出关于的式子，再利用，化成关于的等式或不等式，从而解出的值或范围．‎ ‎（3）求离心率的范围问题关键是确立一个关于的不等式，再根据的关系消掉得到关于的不等式，由这个不等式确定的关系．‎ 总体来说，基本思路有两种：一是根据圆锥曲线的定义、方程、性质等分别求出，然后根据离心率的定义式求解；二是根据已知条件构造关于的方程，多为二次齐次式，然后通过方程的变形转化为离心率e的方程求解，要灵活利用椭圆、双曲线的定义求解相关参数． ‎ ‎【方法总结】‎ ‎1．圆锥曲线的定义反映了它们的基本特征，理解定义是掌握其性质的基础．因此，对于圆锥曲线的定义不仅要熟记，还要深入理解细节部分：比如椭圆的定义中要求，双曲线的定义中要求，抛物线的定义的实质可归结为“一动三定”：一个动点M；一个定点F(抛物线的焦点)；一条定直线l(抛物线的准线)；一个定值1(点M与定点F的距离和它到定直线l的距离之比等于1)，常常利用抛物线的定义将抛物线上一点到焦点的焦半径问题与焦点到准线的距离问题互相转化．‎ ‎2．求圆锥曲线标准方程常用的方法：（I）定义法；(2)待定系数法，若顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线，可设为或 ()，避开对焦点在哪个半轴上的分类讨论，此时不具有 的几何意义．若椭圆的焦点位置不确定，椭圆的标准方程可设为，也可设椭圆方程为，若双曲线的焦点位置不确定，双曲线的标准方程可设为，也可设双曲线的方程为，其中异号且都不为0，若已知双曲线的渐近线方程为，则可设双曲线的标准方程为（）可避免分类讨论，这样可以避免讨论和繁琐的计算． ‎ ‎3． 求解与二次曲线性质有关的问题时要结合图像进行分析，即使不画图形，思考时也要联想到图像．对椭圆当涉及到顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系．对双曲线应围绕双曲线中的“六点”（两个顶点、两个焦点、虚轴的两个端点），“四线”（两条对称轴，两条渐近线），“两形”（中心、焦点、虚轴端点构成的特征三角形，双曲线上一点与两个交点构成的三角形），研究它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系． ‎ ‎4．椭圆取值范围实质实质是椭圆上点的横坐标、纵坐标的取值范围，在求解一些最值、取值范围以及存在性、判断性问题中有着重要的应用，椭圆上一点到椭圆一个焦点的距离的取值范围为[ ．在椭圆中，如果一个三角形的两个顶点是焦点，另一个顶点在椭圆上，称该三角形为焦点三角形，则三角形的周长为定值等于，面积等于，其中是短半轴的长；过焦点垂直于对称轴的弦长即通径长为． 双曲线取值范围实质实质是双曲线上点的横坐标、纵坐标的取值范围，在求解一些最值、取值范围以及存在性、判断性问题中有着重要的应用，双曲线上一点到双曲线一个焦点的距离的取值范围为[)．在双曲线中，如果一个三角形的两个顶点是焦点，另一个顶点在双曲线上，称该三角形为焦点三角形，则面积等于，其中是虚半轴的长；过焦点垂直于对称轴的弦长即通径长为．抛物线中：抛物线上一点，F为抛物线的焦点，对于四种抛物线的焦半径公式分别为（p＞0）：　 ．‎ 焦点弦长公式：对于过抛物线焦点的弦长，可以用焦半径公式推导出弦长公式．设过抛物线y2=2px（p＞O）的焦点F的弦为AB，A，B， AB的倾斜角为，则有或，以上两公式只适合过焦点的弦长的求法，对于其它的弦，只能用“弦长公式”来求．在抛物线中，以抛物线的焦点弦为直径的圆与该抛物的对应准线相切． ‎ ‎5． 求椭圆、双曲线的离心率，关键是根据已知条件确定的等量关系，然后把用代换，求的值；椭圆求离心率问题，关键是先根据题中的已知条件构造出的等式或不等式，结合化出关于的式子，再利用，化成关于的等式或不等式，从而解出的值或范围．离心率与的关系为：=．双曲线求离心率问题，关键是先根据题中的已知条件构造出的等式或不等式，结合化出关于的式子，再利用，化成关于的等式或不等式，从而解出的值或范围．离心率与的关系为：=，在双曲线中由于，故双曲线的渐近线与离心率密切相关．求离心率的范围问题关键是确立一个关于的不等式，再根据的关系消掉得到关于的不等式，由这个不等式确定的关系．求解圆锥曲线的离心率，基本思路有两种：一是根据圆锥曲线的定义、方程、性质等分别求出，然后根据离心率的定义式求解；二是根据已知条件构造关于的方程，多为二次齐次式，然后通过方程的变形转化为离心率e的方程求解，要灵活利用椭圆、双曲线的定义求解相关参数．‎ ‎6．抛物线（）上点的坐标可设为（），在计算时，可以降低计算量．‎ ‎7． 焦点三角形问题的求解技巧 ‎（I）所谓焦点三角形，就是以椭圆或双曲线的焦点为顶点，另一个顶点在椭圆或双曲线上的三角形．‎ ‎(2)解决此类问题要注意应用三个方面的知识：‎ ‎①椭圆或双曲线的定义； ‎ ‎②勾股定理或余弦定理；‎ ‎③基本不等式与三角形的面积公式．‎ ‎1．【2018天津部分区二模】已知椭圆：的离心率为，椭圆的一个顶点与两个焦点构成的三角形面积为2．‎ ‎（1）求椭圆的方程； ； ‎ ‎（2）已知直线与椭圆交于两点，且与轴，轴交于两点．‎ ‎（i）若，求的值；‎ ‎（ii）若点的坐标为，求证：为定值．‎ ‎【答案】（I） （II）（i）（ii）见解析 ‎【解析】分析：（1）根据椭圆的离心率和三角形的面积即可求出a2=4，b2=2，则椭圆方程可得，‎ ‎（2）（i）根据根与系数的关系以及向量的数量积的运算即可求出，‎ ‎（ii）根据根与系数的关系以及向量的数量积的运算即可求出．‎ ‎（2）（i）直线与轴交点为，与轴交点为，‎ 联立消去得，‎ ‎，‎ 设，则 又，由得 解得，由得 ‎（ii）由（i）知，‎ 所以为定值．‎ ‎【名师点睛】求定值问题常见的方法 ‎①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．‎ ‎②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．‎ ‎2．【2018天津河东区二模】已知椭圆的一个焦点为，且离心率为．‎ ‎（I）求椭圆方程；‎ ‎(2)斜率为 的直线l过点F，且与椭圆交于A，B两点，P为直线x=3上的一点，‎ 若△ABP为等边三角形，求直线l的方程．‎ ‎【答案】（I） ．‎ ‎（II）或．‎ ‎【解析】分析：（1）列方程组求出a和b即得椭圆的方程．（II）设直线的方程为，根据△ABP为等边三角形求出 的值，即得直线的方程．‎ 详解：（1）由已知 ，，可得，，‎ 所以椭圆的方程为．‎ ‎（2）设直线的方程为，直线与椭圆交点坐标为，，‎ ‎ 整理为，所以所以 所以直线的方程为或．‎ ‎【名师点睛】（1）本题主要考查椭圆方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，意在考查 生对这些基础知识的掌握能力、分析推理能力和计算能力．(2)解答本题的关键是求 ，本题是根据等边三角形得到找到 的方程的，当然先要求出|AB|和|MP|．计算量比较大．‎ ‎3．【2018天津河北区二模】设椭圆C：的左、右焦点分别为、，上顶点为A，在x轴负半轴上有一点B，满足为线段的中点，且AB⊥．‎ ‎（I）求椭圆C的离心率；‎ ‎（II）若过A、B、三点的圆与直线：相切，求椭圆C的方程；‎ ‎（III）在（I）的条件下，过右焦点作斜率为 的直线与椭圆C交于M，N两点，在x轴上是否存在点P(m，0)使得以PM，PN为邻边的平行四边形是菱形？如果存在，求出m的取值范围；如果不存在，说明理由．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）．‎ ‎【解析】分析：（Ⅰ）由题意可得在在直角三角形中有，即，整理可得．（Ⅱ）由题意可得过A、B、F2三点的圆的圆心为F1(-c，0)，半径r=‎ ‎=2c，根据直线与圆相切可得，解得c=1，从而，，可得椭圆的方程．（Ⅲ）‎ 由条件可设直线MN的方程为，与椭圆方程联立消元后得到一元二次方程，结合根据系数的关系可得MN的中点Q的坐标为，若以PM，PN为邻边的平行四边形是菱形，则，‎ ‎∵直线：相切，∴，解得c=1．‎ 又，∴，∴，∴椭圆C的方程为．‎ ‎（III）由（I）知，F2(1，0)，直线MN的方程为，‎ 由 消去y整理得 ‎ ‎∵直线与椭圆C交于M，N两点，∴． ‎ 设M(，)，N(，)，则，‎ ‎∴，‎ ‎∴MN的中点Q的坐标为，若以PM，PN为邻边的平行四边形是菱形，则，‎ ‎∴整理得，∵，∴，∴．‎ ‎∴．故存在满足题意的点P，且m的取值范围是(．‎ ‎【名师点睛】（1）存在性问题通常采用“肯定顺推法”，‎ 将不确定性问题明朗化．其步骤为：假设满足条件的元素(点或参数)存在，并用待定系数法设出，根据题意列出关于待定系数的方程（方程组），若方程（组）有实数解，则元素(点或参数)存在；否则元素(点或参数)不存在．‎ ‎（2）解析几何中求范围或最值时，首先建立关于某一参数为为变量的目标函数，再根据函数的特征求出范围或最值．‎ ‎4．【2018天津十二校二模】已知椭圆的两个焦点分别为和，过点的直线与椭圆交于轴上方的，两点，且．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的离心率；‎ ‎（Ⅱ）（ⅰ）求直线的斜率；‎ ‎（ⅱ）设点与点关于坐标原点对称，直线上有一点在的外接圆上，求的值．‎ ‎【答案】（I） 离心率；（II）．‎ ‎【解析】分析：（I）由得，化为，从而可得结果；（II）（I）由（I）可设圆的方程可写，设直线AB的方程为，联立，结合点B为线段AE的中点可得，，从而可得结果；（II）由（I）可知 当时，得，由已知得，求出外接圆方程与直线的方程，联立可得结果．‎ 详解：（I）由得，从而，整理，得，故离心率．‎ ‎（II）解法一：（I）由（I）得，所以椭圆的方程可写 设直线AB的方程为，即．‎ 由题设知，点B为线段AE的中点，所以 ‎ ③‎ 联立①③解得 ， ‎ 将代入②中，解得．‎ 解法二：利用中点坐标公式求出，带入椭圆方程 ‎ 消去，解得 解出 ‎(依照解法一酌情给分)‎ ‎（II）由（I）可知 当时，得，由已知得．‎ 线段的垂直平分线l的方程为 ‎ 直线l与x轴的交点是外接圆的圆心，因此外接圆的方程为． ‎ 直线的方程为，于是点H（m，n）的坐标满足方程组 ‎，‎ 由解得故 ‎【名师点睛】本题主要考查椭圆与直线的位置关系以及椭圆离心率，属于难题．离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出；②构造的齐次式，求出；③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解；④根据圆锥曲线的统一定义求解．‎ ‎5．【2018天津9校联考】已知过点的椭圆的左右焦点分别为、，为椭圆上的任意一点，且，，成等差数列．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）直线交椭圆于，两点，若点始终在以为直径的圆外，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（I）．‎ ‎(2)或．‎ ‎【解析】试题分析：（1）由题意，利用等差数列和椭圆的定义求出a、c的关系，再根据椭圆C过点A，求出a、b的值，即可写出椭圆C的标准方程；‎ ‎（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），根据题意知x1=﹣2，y1=0；联立方程消去y，由方程的根与系数关系求得x2、y2，由点A在以PQ为直径的圆外，得∠PAQ为锐角，•＞0；由此列不等式求出 的取值范围．‎ 试题解析：‎ ‎（1）∵，，成等差数列，‎ ‎∴，‎ 由椭圆定义得，∴；‎ 依题意：恒过点，此点为椭圆的左顶点，∴，，①‎ 由方程的根与系数关系可得，；②‎ 可得；③‎ 由①②③，解得，；‎ 由点在以为直径的圆外，得为锐角，即；‎ 由，，‎ ‎∴；即，‎ 整理得，，解得：或．‎ ‎∴实数的取值范围是或．‎ ‎【名师点睛】在圆锥曲线中研究范围，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时，常从以下方面考虑：①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的关键是两个参数之间建立等量关系；③利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；④利用基本不等式求出参数的取值范围；⑤利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．‎ ‎6．【2018天津滨海新区七校联考】已知，椭圆的离心率，‎ 是椭圆的右焦点，直线的斜率为，为坐标原点． ‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设过点的动直线与椭圆相交于，两点，当的面积最大时，求直线的方程．‎ ‎【答案】（1）；（2）或 ‎【解析】试题分析：（1）由离心率与斜率可求得a，b，c．（II）设，与椭圆组方程组，由弦长 ‎，‎ ‎，‎ 设，，‎ ‎，‎ ‎ ‎ 又点到直线的距离，‎ ‎∴△OPQ的面积，‎ 设，则，∴，‎ ‎【名师点睛】弦长公式：（已知直线上的两点距离）设直线，上两点，所以或．‎ ‎7．【2018天津十二校联考一】如图，已知椭圆的左右顶点分别是，离心率为，设点，连接交椭圆于点，坐标原点是．‎ ‎（1）证明： ；‎ ‎（2）设三角形的面积为，四边形的面积为，若 的最小值为1，求椭圆的标准方程．‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）．‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据离心率为，可得，联立直线与椭圆的方程即可求出点的坐标，从而可得直线的斜率，再根据直线的斜率，即可证明；（2）由（1）知，‎ ‎，根据的最小值为1，即可求出的值，从而求出椭圆的标准方程．‎ 试题解析：（1）由 得，，∴，即．∴椭圆的方程为，‎ ‎（2）由（1）知，， ‎ ‎∴，∴当时，，∴，‎ ‎∴椭圆方程为．‎ ‎8．【2018天津静海一中模拟】设椭圆C： 的一个顶点与抛物线的焦点重合，分别是椭圆的左、右焦点，且离心率，过椭圆右焦点的直线l与椭圆C交于两点．‎ ‎（I）求椭圆C的方程； ‎ ‎(2)若，求直线l的方程；‎ ‎(3)若是椭圆C经过原点O的弦，，求证： 为定值．‎ ‎【答案】（I） ；（II）y＝ (x－1)或y＝－ (x－1)；(3)见解析．‎ ‎【解析】试题分析：（1）由题意，椭圆的标准方程为＋＝1；（2）设直线l的方程为y＝ (x－1)( ≠0)，·＝x1x2＋y1y2＝－2，利用韦达定理，解得答案；（3）|MN|＝|x1－x2|，|AB|＝|x3－x4|，代入韦达定理计算，得到答案．‎ 试题解析：‎ ‎（I）椭圆的顶点为(0，)，即b＝，e＝＝，∴a＝2，∴椭圆的标准方程为＋＝1．‎ ‎(2)由题可知，直线l与椭圆必相交．‎ ‎(3)证明：设M(x1，y1)，N(x2，y2)，A(x3，y3)，B(x4，y4)，‎ 由(2)可得|MN|＝|x1－x2|＝‎ ‎＝＝，‎ 由消去y并整理得x2＝，|AB|＝|x3－x4|＝4，‎ ‎∴＝＝4，为定值．‎ ‎9．【2018天津一中月考五】已知椭圆的左右焦点与其短轴的一个端点是正三角形的三个顶点，点在椭圆上，直线与椭圆交于，两点，与轴、轴分别相交于点和点，且，点是点关于轴的对称点，的延长线交椭圆于点，过点、分别做轴的垂线，垂足分别为、．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）是否存在直线，使得点平分线段，？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】（I）；(2)答案见解析．‎ ‎【解析】试题分析： （I）由正三角形的高与边长的关系可求出，再由点 在椭圆上，可求出 ‎∵在椭圆上，∴，‎ 所以椭圆方程为．‎ ‎（2）存在 设，∵‎ ‎∴‎ ‎ ∴①‎ ‎∴，‎ 联立 ∴②‎ 即，， ∴‎ ‎∵ 把①，②代入，得 所以直线的方程为或 ‎【名师点睛】本题主要考查了椭圆的方程以及直线与椭圆的位置关系，属于中档题．第一问求椭圆方程很容易，大部分 生能做对； 在第二问中，假设存在，当点平分线段点为的中点，利用中点坐标公式，求出的值，得出直线方程．注意本题涉及的点线位置关系比较复杂，容易弄错．‎ ‎10．【2018天津静海一中期末考】设椭圆： 的左、右焦点分别为，上顶点为A，过点A与垂直的直线交轴负半轴于点，且，若过，，三点的圆恰好与直线相切．过定点的直线与椭圆交于，两点（点在点，之间）． ‎ ‎   （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）若实数满足，求的取值范围．‎ ‎【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ）．‎ ‎【解析】试题分析：（1）由题意，得椭圆方程为．；（2）设直线方程为，，所以，利用韦达定理，就出的取值范围．‎ ‎ ‎ ‎（Ⅱ）①当直线斜率存在时，‎ 设直线方程为，代入椭圆方程 得．‎ 由，得．       设，，‎ 则，．   ‎ 又，所以． 所以．‎ 所以，． ‎ 所以．  所以．‎ 整理得． 因为，所以，即． 所以．‎ 解得且．‎ ‎【名师点睛】本题考查直线和椭圆的位置关系．圆锥曲线问题关键是分析解题思路，逻辑思维要清晰．本题中要求线段长的比值，转化为横坐标的比值关系，则需要韦达定理，所以通过设直线，得到整个题目的思路．‎ ‎11．【2018天津静海一中模拟】设椭圆C： ，定义椭圆C的“相关圆”方程为，若抛物线的焦点与椭圆C的一个焦点重合，且椭圆C短轴的一个端点和其两个焦点构成直角三角形．‎ ‎（I）求椭圆C的方程和“相关圆”E的方程；‎ ‎（II）过“相关圆”E上任意一点P作“相关圆”E的切线l与椭圆C交于A，B两点，O为坐标原点．‎ ‎（i）证明∠AOB为定值；‎ ‎（ii）连接PO并延长交“相关圆”E于点Q，求△ABQ面积的取值范围．‎ ‎【答案】（I） （II）（i）见解析（ii） ‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）由抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合，且椭圆C短轴的一个端点和两个焦点构成直角三角形，得到 由此能求出椭圆的方程． 进而求出“相关圆”的方程．‎ ‎（Ⅱ）当直线的斜率不存在时，直线方程为 ；当直线的斜率存在时，设其方程为，代入椭圆方程，得 由此利用根的判别式、韦达定理、直线与圆相切，结合已知条件推导出为定值．‎ ‎（ii）要求的面积的取值范围，只需求弦长的范围，由此利用椭圆弦长公式能求出面积的取值范围．‎ 当直线的斜率存在时，设其方程设为，设 联立方程组得，即，‎ ‎△=，即 因为直线与相关圆相切，所以 ‎ ‎ 为定值 ‎ ‎（ii）由于是“相关圆”的直径，所以，所以要求面积的取值范围，只需求弦长的取值范围 当直线AB的斜率不存在时，由（i）知 ‎ 所以，所以 当且仅当时取”=” ‎ ‎②当时，．|AB |的取值范围为 ‎ 面积的取值范围是．‎ ‎【点睛】本题考查椭圆及圆的方程的求法，考查角为定值及三角形面积的求法，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理、直线与圆相切、椭圆弦长公式的合理运用．‎ ‎12．【2018天津一中期末考试】已知点分别是椭圆的左右顶点，为其右焦点，与的等比中项是，椭圆的离心率为．‎ ‎（I）求椭圆的方程；‎ ‎(2)设不过原点的直线与该轨迹交于两点，若直线的斜率依次成等比数列，求的面积的取值范围．‎ ‎【答案】（I） ；（II）．‎ ‎【解析】试题分析：（I）利用，，是与的等比中项，得到，结合椭圆得离心率求解即可；(2)依题意知直线的斜率存在且不为0，设直线 ‎，，，联立直线和椭圆消去可得，利用判别式以及韦达定理，通过，，的斜率依次成等比数列，推出，求出，，且，然后求出点到直线的距离，‎ 由题意可知，，即，‎ 且，， ‎ 又直线，，的斜率依次成等比数列，所以，‎ 将，代入并整理得，因为，，，且，‎ 设为点到直线的距离，则有，，‎ ‎∴，∴三角形面积的取值范围为．‎ ‎13．【2018天津和平区期末考】已知椭圆的方程为 （ ）的离心率为，圆的方程为，若椭圆与圆 相交于， 两点，且线段 恰好为圆 的直径．‎ ‎（1）求直线 的方程；‎ ‎（2）求椭圆 的标准方程．‎ ‎【答案】（1） ；（2） ．‎ ‎【解析】试题分析：（I） 由椭圆的离心率为，可设椭圆 的方程为，设，弦长公式列方程可得，从而得，进而可得椭圆 的标准方程．‎ 试题解析：（1）由 得， ‎ ‎∴，即，∴椭圆 的方程为，‎ 设，，∵线段 恰好为圆 的直径，‎ ‎∴线段 的中点恰好为圆心，于是有，，‎ 由于，，两式相减，并整理得，‎ ‎ ‎ 有，∴ ‎ ‎∴直线 的方程为，即．‎ ‎（2）解：由（1）知，代入并整理得，‎ ‎，‎ ‎∵椭圆 与圆 相交于， 两点，‎ ‎∴，解得，‎ 于是， ‎ ‎ ‎ ‎∴‎ ‎∴所求椭圆 的标准方程 ．‎ ‎【方法点晴】本题主要考查待定系数求椭圆方程以及直线与椭圆的位置关系和“点差法”的应用，属于难题． 用待定系数法求椭圆方程的一般步骤；①作判断：根据条件判断椭圆的焦点在轴上，还是在轴上，还是两个坐标轴都有可能；②设方程：根据上述判断设方程或 ；③找关系：根据已知条件，建立关于、、的方程组；④得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求．‎ ‎14．【2018天津红桥区期末考】已知椭圆的一个顶点坐标为，若该椭圆的离心等于，‎ ‎（I)求椭圆的方程；‎ ‎（II）点是椭圆上位于轴下方一点，分别是椭圆的左、右焦点，直线的倾斜角为，求 的面积．‎ ‎【答案】(Ⅰ) 椭圆方程；（II） ．‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）易知b=1，由离心率为，再由a2=b2+c2可求得a，于是得到椭圆方程； （II）易求直线QF1的方程，与椭圆方程联立可求得点Q的坐标，由三角形面积公式得，，代入即可求得答案．‎ ‎==．‎ ‎15．【2018天津新华中 期中考】平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，左右焦点分别为和，以点为圆心，以为半径的圆与以点为圆心，以为半径的圆相交，且交点在椭圆上．‎ ‎（）求椭圆的方程．‎ ‎（）设椭圆，为椭圆上任意一点，过点的直线交椭圆于、两点，射线交椭圆于点．‎ ‎①求的值．‎ ‎②求面积的最大值．‎ ‎【答案】（I） （II）①2②‎ ‎【解析】试题分析：（1）利用椭圆定义可得，再结合离心率得到椭圆的方程；（2）（i）设P（x0，y0），|=λ，求得Q的坐标，分别代入椭圆C，E的方程，化简整理，即可得到所求值；‎ ‎（ii）设A（x1，y1），B（x2，y2），将直线y= x+m代入椭圆E的方程，运用韦达定理，三角形的面积公式，‎ ‎（）①椭圆为方程为，设，‎ 则有，在射线上，设，代入椭圆可得，‎ 解得，即，．‎ ‎②（理）由①可得为中点，在直线上，则到直线的距离与到直线的距离相等，‎ 故，联立，可得，‎ 当且仅当时等号成立，故最大值为．‎ ‎16．【2018天津河西区模拟】平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为 ‎，左右焦点分别为和，以点为圆心，以为半径的圆与以点为圆心，以为半径的圆相交，且交点在椭圆上．‎ ‎（）求椭圆的方程．‎ ‎（）设椭圆，为椭圆上任意一点，过点的直线交椭圆于、两点，射线交椭圆于点．‎ ‎①求的值．‎ ‎②当时，面积的最大值．‎ ‎【答案】（1）；（2）①2，②．‎ ‎【解析】试题分析：（）利用椭圆的定义进行求解；（）①设点，利用点在椭圆上和三点共线进行求解；②先利用点到直线的距离公式求得，再联立直线和椭圆的方程，得到关于的一元二次方程，利用根与系数的关系和弦长公式、三角形的面积公式进行求解．‎ 试题解析：（）设两圆的一个交点为，则，，由在椭圆上可得，则，，得，则，故椭圆方程为．‎ ‎（）①椭圆为方程为，设，则有，‎ 在射线上，设，代入椭圆可得，‎ 则，，，‎ 联立，得，，．故最大值为．‎ ‎17．【2018天津一中月考三】在平面直角坐标系中，焦点在轴上的椭圆经过点，其中为椭圆的离心率．过点作斜率为的直线交椭圆于两点（在轴下方）．‎ ‎（1）求椭圆的方程； ； ‎ ‎（2）过原点且平行于的直线交椭圆于点，，求的值；‎ ‎（3）记直线与轴的交点为．若，求直线的斜率．‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）‎ ‎【解析】试题分析：（1）将点坐标代入椭圆方程，化简可得（2）根据投影可得，联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理代入化简可得定值（3）先求交点坐标，再根据，得，利用（2）韦达定理得等量关系，解出直线的斜率．‎ 联立直线与椭圆方程，消去，得，所以．因为，所以直线方程为，‎ 联立直线与椭圆方程，消去得，解得．‎ ‎，． ，‎ ‎，所以 ．‎ ‎（3）在中，令，则，所以，‎ 从而，．‎ 因为，所以，即．‎ 由（2）知，．由，解得，．‎ 因为，所以，‎ 整理得，解得或（舍）．又因为，所以．‎ ‎【名师点睛】定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的． 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现．‎ ‎18．【2018天津耀华中 月考三】已知椭圆的一个焦点在直线上，且离心率．‎ ‎（1）求该椭圆的方程；‎ ‎（2）若与是该椭圆上不同的两点，且线段的中点在直线上，试证： 轴上存在定点，对于所有满足条件的与，恒有；‎ ‎【答案】（1）（2）见解析 ‎【解析】试题分析：（1）利用椭圆的性质、离心率计算公式及焦点即可得方程；‎ 试题解析：（1）∵椭圆的一个焦点在直线上，∴，‎ 又，∴，∴该椭圆的方程为．‎ ‎（2）当直线的斜率存在时，设直线的方程为，‎ ‎ ，，‎ ‎∴ ，‎ ‎∴ ，即，当直线的斜率不存在时，直线垂直于轴，此时显然成立，综上，轴上存在定点．‎ ‎【名师点睛】圆锥曲线中定点问题的常见解法：‎ ‎（1）根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，根据该方程与参数无关，可得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点；‎ ‎（2）从特殊位置入手，找出定点，再证明该点符合题意．‎