数学理卷·2017届安徽省黄山市高三上学期第一次质量检测（期末）（2017 13页

‎ ‎ 数学（理科）试题 第Ⅰ卷（选择题 满分60分）‎ 一、选择题：(本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)‎ ‎1.复数（为虚数单位）的虚部为（ ）‎ A． B．2 C． D．-1‎ ‎2.设集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3.已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，长轴长等于圆的半径，则椭圆的方程为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎4.等比数列中，，为方程的两根，则（ ）‎ A．4 B．5 C. 4 D．5‎ ‎5.按照图中的程序框图执行，若处条件是，则输出结果为（ ）‎ A．15 B．16 C. 31 D．32‎ ‎6.下列命题中真命题是（ ）‎ A．‎ B．设 表示不同的直线，表示平面，若且，则 ‎ C.利用计算机产生0和l之间的均匀随机数 ，则事件“”发生的概率为 ‎ D．“”是“”的充分不必要条件 ‎7.中国传统文化中不少优美的古诗词很讲究对仗，如“明月松间照，清泉石上流”中明月对清泉同为自然景物，明和清都是形容词，月和泉又都是名词，数学除了具有简洁美、和谐美、奇异美外，也具有和古诗词中对仗类似的对称美．请你判断下面四个选项中，体现数学对称美的是（ ）‎ A．“”表示成“”‎ B．平面上所有二次曲线的一般形式均可表示成：‎ C.正弦定理：‎ D．‎ ‎8.已知函数是偶函数，记则的大小关系为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎9.已知中，且是的中点，则中线的长为（ ）‎ A．2 B．4 C. D．‎ ‎10.已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥外接球的表面积是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎11.设双曲线的右定点为，右焦点为 ，弦过且垂直于轴，过点、点分别作直线 、的垂线，两垂线交于点，若到直线的距离小于，则该双曲线离心率的取值范围是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎12.已知函数，则关于的方程（为实数)根个数不可能为（ ）‎ A．1 B．3 C. 5 D．6‎ 第Ⅱ卷（非选择题 满分90分）‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置上）‎ ‎13.多项式展开式中的常数项是 ．‎ ‎14.若点坐标满足不等式组 ，则的取值范围 ．‎ ‎15.直角三角形中，若，，，，则 ‎ ‎ ．‎ ‎16.数列各项均为正数，且满足，.记，数列前项的和为 ，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的指定区域内.） ‎ ‎17.（本小题满分12分）‎ 为了调查黄山市某校高中部学生是否愿意在寒假期间参加志愿者活动，现用简单随机抽样方法，从该校高中部抽取男生和女生共60人进行问卷调查，问卷结果统计如下：‎ ‎ ‎ ‎（1）若用分层抽样的方法在愿意参加志愿者活动的学生抽取8人，则应从愿意参加志愿者活动的女生中抽取多少人？‎ ‎（2）在（1）中抽取出的8人中任选3人，求被抽中的女生人数的分布列和数学期望.‎ ‎18. （本小题满分12分）‎ 如图，四棱锥中，底面为直角梯形，,,,平面.‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）若侧棱上存在点 ，使得，求二面角的余弦值.‎ ‎19. （本小题满分12分）‎ ‎“中国齐云山国际养生万人徒步大会”得到了国内外户外运动爱好者的广泛关注，为了使基础设施更加完善，现需对部分区域进行改造．如图，在道路 北侧准备修建一段新步道，新步道开始部分的曲线段是函数，（，），的图像，且图像的最高点为 ．中间部分是长为1千米的直线段，且 ．新步道的最后一部分是以原点为圆心的一段圆弧．‎ ‎（1）试确定的值 ‎（2）若计划在扇形区域内划出面积尽可能大的矩形区域建服务站，并要求矩形一边紧靠道路，顶点罗总半径上，另一顶点落在圆弧上．记，请问矩形面积最大时应取何值，并求出最大面积？‎ ‎20. （本小题满分12分）‎ 在平面直角坐标系中，位于轴上方的动圆与轴相切，且与圆 相外切．‎ ‎（1）求动圆圆心轨迹 的方程式．‎ ‎（2）若点 是平面上的一个动点，且满足条件：过点 可作曲线 的两条切线和，切点，连线与垂直 求证：直线 过定点，并求出定点坐标．‎ ‎21.（本小题满分12分）‎ 已知函数，，，记函数.‎ ‎（1）讨论函数 的单调性；‎ ‎（2）试比较与的大小．‎ 考生注意：请考生在第22、23两题中任选一题做答，只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分.作答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题目后的方框涂黑.‎ ‎22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 已知在平面直角坐标系中，直线 的参数方程是(是参数)‎ 以原点为极点，为极轴建立极坐标系，圆 的极坐标方程为.‎ ‎（1）求直线的普通方程和圆心 的直角坐标；‎ ‎（2）求圆上的点到直线 距离的最小值．‎ ‎23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数，且不恒为0.‎ ‎（1）若为奇函数，求值；‎ ‎（2）若当 时，恒成立，求实数的取值范围．‎ 黄山市2017届高中毕业生班第一次质量检测 数学(理科)参考答案及评分标准 一、选择题 ‎1-5: BCCAC 6-10: DCACB 11、12：AD 二、填空题 ‎13. 18 14. 15. 3 16.‎ 三、解答题 ‎17.（本小题满分12分）‎ 解：（1）在愿意参加志愿者活动的学生中抽取8人，则抽取比例为 ┉┉┉┉┉┉┉┉ 2分 所以从愿意参加志愿者活动的女生中抽取出 人． ┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉ 5分 ‎（2）被抽中的女生人数可能取0,1,2,3.‎ ‎；；‎ ‎；. ┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉ 10分 被抽中的女生人数 的分布列为：‎ ‎. ┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉ 12分 ‎18.（1）证明：,‎ 又,所以 直角梯形中，,‎ ‎,‎ 所以,‎ 所以 所以，即 又，所以. ┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉ 5分 又,所以. ┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉ 6分 ‎（2）由，得,‎ 如图，分别以所在的直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，则．‎ 设到平面距离分别为，则.‎ 设平面法向量为，又，‎ 由得，取，得.‎ 又平面法向量为，‎ ‎ ┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉ 11分 又二面角为锐角，所以二面角的余弦值为 ┉┉┉┉┉┉┉ 12分 ‎19. （本小题满分12分）‎ 解：（1）. ┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉ 2分 图像过,，‎ 又. ┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉ 4分 ‎（2）由（1）知，交轴于，‎ 又，.又 ‎， ┉┉┉┉7分 ‎ ┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉10分 又，时，此时矩形面积最大为. ┉┉12分 ‎20.（本小题满分12分）‎ 解：（1）设动圆圆心，，因为动圆与轴相切，且与圆相外切，所以，又，化简得：． ┉┉┉┉┉┉┉┉6分 ‎（2）设，由方程得，两边对求导得．设切点，则点处切线方程为 ．又，整理得：，又切线过，所以．‎ 同理可得： ┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉9分 所以过的直线方程为：‎ 又，所以，，所以． ┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉11分 直线：过轴上的定点． ┉┉┉┉┉┉┉12分 ‎21.（本小题满分12分）‎ 解：（1），‎ 所以 ┉┉┉2分 ‎①当时，则，在和上，是增函数；‎ 在上，，是减函数． ┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉4分 ‎②当时，则，在和上，是增函数；‎ 在上，，是减函数．‎ ‎③当时， 恒成立，且图像连续不断，所以在 是增函数． ┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉6分 ‎（2），即比较与大小．‎ ‎①当时，显然有； ┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉7分 ‎②当时，，即比较与大小．‎ 设，，，‎ 所以在递增，而，，‎ 在有位移的实数根，且，，．‎ 在递减，在递增， ┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉10分 即有，即，即有．‎ 综上可得． ┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉‎ ‎12分 注：当时，要证，也可转化为证：（等号不能同时取到）‎ ‎22.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程 解：（1）直线的普通方程为； ┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉2分 ‎ 又，，‎ 圆的普通方程为，即，‎ 圆心的直角坐标为. ┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉5分 ‎（2）圆的半径，圆心到直线的距离，┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉7分 又，圆上的点到直线距离最小值为2． ┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉10分 ‎23. （本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 解：（1）因为，若为奇函数，则由，得，‎ 又不恒为0，得． ┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉4分 此时，符合为奇函数，所以． ┉┉┉┉┉┉┉┉┉5分 ‎（2）当时，恒成立，即在时恒成立 故在时恒成立， ┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉8分 即.‎ 而，，所以． ┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉10分