数学理卷·2017届辽宁省大连市高三第一次模拟考试（2017 22页

大连市2017年高三第一次模拟考试 数学（理科）能力测试 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知复数，则（ ）‎ A．5 B． C． -3 D．‎ ‎2.已知集合，，则（ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎3.设均为实数，则“”是“”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B． 必要不充分条件 ‎ C．充要条件 D． 既不充分也不必要条件 ‎4.若点为抛物线上的动点，为抛物线的焦点，则的最小值为（ ）‎ A． 2 B． C. D．‎ ‎5.已知数列满足，，则（ ）‎ A． 9 B15． C. 18 D．30‎ ‎6.在平面内的动点满足不等式，则的最大值是（ ）‎ A． 6 B．4 C. 2 D．0‎ ‎7.某几何体的三视图如图所示，则其体积为（ ）‎ A． 4 B． C. D．‎ ‎8.将一枚硬币连续抛掷次，若使得至少有一次正面向上的概率不小于，则的最小值为（ ）‎ A． 4 B．5 C. 6 D．7‎ ‎9.运行如图所示的程序框图，则输出结果为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎10.若方程在上有两个不相等的实数解，则（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎11.已知向量，，，若，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎12.已知定义在上的函数，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C. D．‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.现将5张连号的电影票分给甲乙等5个人，每人一张，且甲乙分得的电影票连号，则共有 种不同的分法（用数字作答）．‎ ‎14.函数的图象在点处的切线方程是 ．‎ ‎15.我国古代数学专著《孙子算法》中有“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”如果此物数量在100至200之间，那么这个数是 ．‎ ‎16.过双曲线的焦点且与一条渐近线垂直的直线与两条渐近线相交于两点，若，则双曲线的离心率为 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 已知点，，为坐标原点，函数.‎ ‎（1）求函数的最小值及此时的值；‎ ‎（2）若为的内角，，，求的周长的最大值.‎ ‎18. 某手机厂商推出一次智能手机，现对500名该手机使用者（200名女性，300名男性）进行调查，对手机进行打分，打分的频数分布表如下：‎ ‎（1）完成下列频率分布直方图，并比较女性用户和男性用户评分的方差大小（不计算具体值，给出结论即可）；‎ ‎（2）根据评分的不同，运用分层抽样从男性用户中抽取20名用户，在这20名用户中，从评分不低于80分的用户中任意取3名用户，求3名用户评分小于90分的人数的分布列和期望.‎ ‎19. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，为棱中点.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）若为中点，，试确定的值，使二面角的余弦值为.‎ ‎20. 已知点是长轴长为的椭圆：上异于顶点的一个动点，为坐标原点，为椭圆的右顶点，点为线段的中点，且直线与的斜率之积恒为.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设过左焦点且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于两点，线段的垂直平分线与轴交于点，点横坐标的取值范围是，求的最小值.‎ ‎21. 已知函数.‎ ‎（1）若是的单调递增函数，求实数的取值范围；‎ ‎（2）当时，求证：函数有最小值，并求函数最小值的取值范围.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.选修4-4：坐标系与参数方程 已知在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，直线的参数方程为（为参数）.‎ ‎（1）求曲线的直角坐标方程及直线的普通方程；‎ ‎（2）若曲线的参数方程为（为参数），曲线上点的极角为，为曲线上的动点，求的中点到直线距离的最大值.‎ ‎23.选修4-5：不等式选讲 已知，函数的最小值为1.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若恒成立，求实数的最大值.‎ ‎2017年大连市高三一模测试 数学（理科）参考答案与评分标准 一．选择题 ‎（1）A；（2）D；（3）A；（4）D；（5）C；（6）A；（7）D ；（8）A；（9）B；（10）C；（11）B；（12）D．‎ 二.填空题 ‎（13）48；（14） ；（15）；（16） ．‎ 三.解答题 ‎（17）‎ 解：（I）∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴当时，取得最小值2．‎ ‎ (2) ∵，∴， ‎ 又∵，∴，∴． ‎ ‎，∴，． ‎ ‎∴，当且仅当取等号，‎ ‎∴三角形周长最大值为. ‎ ‎ (18)‎ 解：（Ⅰ）女性用户和男性用户的频率分布直方图分别如下左、右图：‎ 由图可得女性用户的波动小，男性用户的波动大. ‎ ‎（Ⅱ）运用分层抽样从男性用户中抽取名用户，评分不低于分有人，其中评分小于分的人数为，从人人任取人，记评分小于分的人数为，则取值为，‎ ‎；；.‎ 所以的分布列为 或.‎ ‎ (19) ‎ 解：(I)证明：∵底面，底面，∴，‎ 又∵底面为矩形，∴，，平面，平面，‎ ‎∴平面，又平面，∴，，为中点，∴，，平面，平面，∴平面. ‎ ‎(II) 以为原点，以为轴正方向，建立空间直角坐标系，令，‎ 则，，，，，，，　　　，，‎ 设平面的法向量，，即，‎ 设平面的法向量，，‎ 即，‎ ‎，解得. ‎ ‎ (20) ‎ 解：（Ⅰ）∵椭圆的长轴长为，∴．‎ 设，‎ ‎∵直线与的斜率之积恒为，∴，‎ ‎∴，∴，‎ 故椭圆的方程为.‎ ‎(Ⅱ) 设直线方程为，代入有， ‎ 设，中点，‎ ‎∴.‎ ‎∴‎ ‎∴的垂直平分线方程为，‎ 令，得 ‎∵，∴，∴．‎ ‎，‎ ‎．‎ ‎ (21)‎ 解：（Ⅰ）‎ ‎∵函数在区间上单调递增，‎ ‎. ∴，∴，‎ 令，，‎ ‎∴，∴.‎ ‎（Ⅱ） ∴‎ ‎ ∴‎ ‎∴，，，‎ ‎， ‎ ‎ ，∴．‎ 由（Ⅰ）知在上单调递减，‎ ‎，且，∴．‎ ‎∴，‎ ‎，‎ ‎∴，, ‎ ‎∴的最小值的取值范围是．‎ ‎ (22)‎ 解：（Ⅰ）由. ‎ ‎（Ⅱ）直角坐标为，‎ ‎，．‎ 到的距离，‎ 从而最大值为. ‎ ‎(23)‎ 解：（Ⅰ）法一：，‎ ‎∵且，‎ ‎∴，当时取等号，即的最小值为，‎ ‎∴，. ‎ 法二：∵，‎ ‎∴，‎ 显然在上单调递减，在上单调递增，‎ ‎∴的最小值为， ‎ ‎∴，. ‎ ‎（Ⅱ）∵恒成立，‎ ‎∴恒成立， ‎ ‎ ‎ 当时，取得最小值，‎ ‎∴，即实数的最大值为.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎2017年大连市高三一模测试 数学（理科）参考答案与评分标准 说明：‎ 一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．‎ 二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．‎ 三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．‎ 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．‎ 一．选择题 ‎（1）A；（2）D；（3）A；（4）D；（5）C；（6）A；（7）D ；（8）A；（9）B；（10）C；（11）B；（12）D．‎ 二.填空题 ‎（13）48；（14） ；（15）；（16） ．‎ 三.解答题 ‎（17）(本小题满分12分)‎ 解：（I）∵， 3分∴， 5分 ‎∴当时，取得最小值2． 6分 ‎ (2) ∵，∴， 7分 又∵，∴，∴． 9分，∴，． 10分 ‎∴，当且仅当取等号，‎ ‎∴三角形周长最大值为. 12分 ‎(18)(本小题满分12分)‎ 解：（Ⅰ）女性用户和男性用户的频率分布直方图分别如下左、右图：‎ ‎ 12分 ‎………………………………………………………………………………………4分 由图可得女性用户的波动小，男性用户的波动大. ……………………………………6分 ‎（Ⅱ）运用分层抽样从男性用户中抽取名用户，评分不低于分有人，其中评分小于分的人数为，从人人任取人，记评分小于分的人数为，则取值为，‎ ‎；；.…………9分 所以的分布列为 或.…………………………12分 ‎ (19)(本小题满分12分) ‎ 解：(I)证明：∵PA⊥底面ABCD，AB底面ABCD，∴PA⊥AB，又∵底面 ABCD为矩 形，∴AB⊥AD，PA∩AD=A，PA平面PAD，AD平面PAD，∴AB⊥平面PAD，‎ 又PD平面PAD，∴AB⊥PD，AD=AP，E为PD中点，∴AE⊥PD，AE∩AB=A，‎ ‎　AE平面ABE，AB平面ABE，∴PD⊥平面ABE. ………………………………6分 ‎(II) 以为原点，以为轴正方向，建立空间直角坐标系，令，‎ 则，，，，，，，　　　，，‎ 设平面的法向量，，即，‎ 设平面的法向量，，即，‎ ‎，解得. ‎ ‎ (20) （本小题满分12分）‎ 解：（Ⅰ）∵椭圆的长轴长为，∴．‎ ‎ 设，∵直线与的斜率之积恒为，∴，…………………………………………2分 ‎∴，∴，‎ 故椭圆的方程为.…………………………………………4分 ‎ (Ⅱ) 设直线方程为，代入有， ………………………………5分 设，中点，‎ ‎∴.…………………………………6分 ‎∴……………………7分 ‎∴的垂直平分线方程为，‎ 令，得………………………………9分 ‎∵，∴，∴．………………10分 ‎，‎ ‎．…………………………………………………………12分 ‎ ‎ ‎(21)（本小题满分12分）‎ 解：（Ⅰ） 1分 ‎，. ∴，∴， 2分 令，，‎ ‎∴，∴. 4分 ‎（Ⅱ） ∴‎ ‎ ∴‎ ‎∴，，，‎ ‎， …………………………6分 ‎ ，∴．……………………6分 由（Ⅰ）知在上单调递减，‎ ‎，且，∴．……………………………………8分∴，…………………10分 ‎，………………………………………………………11分 ‎∴，, ‎ ‎∴的最小值的取值范围是．………………………………………12分． ‎ ‎ (22)（本小题满分10分）‎ 解：（Ⅰ）由………………………………………2分 ‎. ……………………………………………………5分 ‎（Ⅱ）直角坐标为，…………………………………6分，．……8分 到的距离，…9分 从而最大值为. ………………………………………10分 ‎ (23)（本小题满分10分）‎ 解：（Ⅰ）法一：， ……2分∵且，‎ ‎∴，当时取等号，即的最小值为，……4分∴，. …………5分 法二：∵，‎ ‎∴，……………3分 显然在上单调递减，在上单调递增，‎ ‎∴的最小值为， … …………4分 ‎∴，. ………………………5分 ‎（Ⅱ）∵恒成立，∴恒成立， ……………7分 …………………………………………9分当时，取得最小值，‎ ‎∴，即实数的最大值为.………………………………………5分 ‎ ‎