2021届浙江新高考数学一轮复习高效演练分层突破：第六章　6 第6讲　数学归纳法 7页

‎[基础题组练]‎ ‎1．凸n边形有f(n)条对角线，则凸(n＋1)边形的对角线的条数f(n＋1)为(　　)‎ A．f(n)＋n＋1　　　　　 B．f(n)＋n C．f(n)＋n－1 D．f(n)＋n－2‎ 解析：选C.边数增加1，顶点也相应增加1个，它与和它不相邻的n－2个顶点连接成对角线，原来的一条边也成为对角线，因此，对角线增加n－1条．‎ ‎2．用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”的第二步是(　　)‎ A．假设n＝2k＋1时正确，再推n＝2k＋3时正确(其中k∈N*)‎ B．假设n＝2k－1时正确，再推n＝2k＋1时正确(其中k∈N*)‎ C．假设n＝k时正确，再推n＝k＋1时正确(其中k∈N*)‎ D．假设n＝k时正确，再推n＝k＋2时正确(其中k∈N*)‎ 解析：选B.因为n为正奇数，所以n＝2k－1(k∈N*)．‎ ‎3．用数学归纳法证明：“1＋＋＋…＋1)”时，由n＝k(k>1)不等式成立，推证n＝k＋1时，左边应增加的项数是________．‎ 解析：当n＝k时，要证的式子为1＋＋＋…＋2，f(8)>，f(16)>3，f(32)>，则其一般结论为________．‎ 解析：因为f(22)>，f(23)>，f(24)>，f(25)>，所以当n≥2时，有f(2n)>.‎ 答案：f(2n)>(n≥2，n∈N*)‎ ‎5．已知数列{an}满足，a1＝1，an＝－.‎ ‎(1)求证：≤an≤1；‎ ‎(2)求证：|an＋1－an|≤.‎ 证明：(1)由已知得an＋1＝，计算a2＝，a3＝，a4＝，猜想≤an≤1.‎ 下面用数学归纳法证明．‎ ‎①当n＝1时，命题显然成立；‎ ‎②假设n＝k时，有≤an≤1成立，则当n＝k＋1时，ak＋1＝≤＜1，‎ ak＋1＝≥＝，即当n＝k＋1时也成立，‎ 所以对任意n∈N*，都有≤an≤1.‎ ‎(2)当n＝1时，|a1－a2|＝，‎ 当n≥2时，因为(an＋)(an－1＋)＝(an＋)·＝1＋≥1＋＝，‎ 所以|an＋1－an|＝‎ ＝≤|an－an－1|≤…≤|a2－a1|＝·.‎ ‎6．(2020·温州高考模拟节选)已知数列{an}，{bn}满足a1＝2，b1＝4，且2bn＝an＋an＋1，a＝bnbn＋1.‎ ‎(1)求a2，a3，a4及b2，b3，b4的值；‎ ‎(2)猜想{an}，{bn}的通项公式，并证明你的结论．‎ 解：(1)因为2bn＝an＋an＋1，a＝bnbn＋1，‎ 且a1＝2，b1＝4.‎ 令n＝1，得到解得a2＝6，b2＝9；同理令n＝2，3分别解得a3＝12，b3＝16，a4＝20，b4＝25.‎ ‎(2)证明：猜测an＝n(n＋1)，bn＝(n＋1)2.‎ 用数学归纳法证明：①当n＝1时，由上可得结论成立．‎ ‎②假设当n＝k时，结论成立，即ak＝k(k＋1)，bk＝(k＋1)2，‎ 那么当n＝k＋1时，ak＋1＝2bk－ak＝2(k＋1)2－k(k＋1)＝(k＋1)(k＋2)，‎ bk＋1＝＝(k＋2)2.所以当n＝k＋1时，结论也成立．‎ 由①②，可知an＝n(n＋1)，bn＝(n＋1)2对一切正整数都成立．‎ ‎7．(2020·台州市高三期末考试)在正项数列{an}中，已知a1＝1，且满足an＋1＝2an－(‎ n∈N*)．‎ ‎(1)求a2，a3的值；‎ ‎(2)证明：an≥.‎ 解：(1)因为在正项数列{an}中，a1＝1，且满足an＋1＝2an－(n∈N*)，‎ 所以a2＝2×1－＝，a3＝2×－＝.‎ ‎(2)证明：①当n＝1时，由已知a1＝1≥＝1，不等式成立；‎ ‎②假设当n＝k时，不等式成立，即ak≥，‎ 因为f(x)＝2x－在(0，＋∞)上是增函数，‎ 所以ak＋1＝2ak－≥2－ ‎＝＋－ ‎＝＋ ‎＝＋，‎ 因为k≥1，所以2×－3≥2×－3＝0，‎ 所以ak＋1≥，‎ 即当n＝k＋1时，不等式也成立．‎ 根据①②知不等式对任何n∈N*都成立．‎ ‎8．(2020·台州市书生中学月考)已知数列{an}中，a1＝，an≠0，Sn为该数列的前n项和，且Sn＋1＝an(1－an＋1)＋Sn，n∈N*.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)若不等式an＋an＋1＋an＋2＋…＋a3n>对一切正整数n都成立，求正整数a的最大值，并证明结论．‎ 解：(1)因为Sn＋1＝an(1－an＋1)＋Sn，n∈N*，‎ 所以Sn＋1－Sn＝an(1－an＋1)，‎ 所以an＋1＝an(1－an＋1)＝an－anan＋1，‎ 所以an－an＋1＝anan＋1.又an≠0，‎ 所以－＝1，‎ 所以构成以2为首项，以1为公差的等差数列，‎ 所以＝2＋(n－1)×1＝n＋1，‎ 所以an＝，n∈N*.‎ ‎(2)当n＝1时，＋＋>，即>，‎ 所以a<26.‎ 而a是最大的正整数，‎ 所以取a＝25.‎ 下面用数学归纳法证明：＋＋…＋>.‎ ‎①当n＝1时，已证；‎ ‎②假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时，不等式成立，即＋＋…＋>，‎ 则当n＝k＋1时，‎ 有＋＋…＋ ‎＝＋＋…＋＋＋＋－>＋.‎ 因为＋＝>＝，‎ 即＋>，‎ 所以＋－>0.‎ 所以当n＝k＋1时不等式也成立．‎ 由①②知，对一切正整数n，都有 ＋＋…＋>，‎ 所以a的最大值等于25.‎ ‎[综合题组练]‎ ‎1．(2020·宁波市诺丁汉大学附中高三期中考试)已知数列{an}满足a1＝3，an＋1＝a＋2an，n∈N*，设bn＝log2(an＋1)．‎ ‎(1)求{an}的通项公式；‎ ‎(2)求证：1＋＋＋…＋＜n(n≥2)；‎ ‎(3)若2cn＝bn，求证：2≤＜3.‎ 解：(1)由an＋1＝a＋2an，‎ 则an＋1＋1＝a＋2an＋1＝(an＋1)2，‎ 由a1＝3，则an＞0，两边取对数得到 log2(an＋1＋1)＝log2(an＋1)2＝2 log2(an＋1)，‎ 即bn＋1＝2bn.‎ 又b1＝log2(a1＋1)＝2≠0，‎ 所以{bn}是以2为公比的等比数列．‎ 即bn＝2n.‎ 又因为bn＝log2(an＋1)，‎ 所以an＝22n－1.‎ ‎(2)证明：用数学归纳法证明：①当n＝2时，左边为1＋＋＝＜2＝右边，此时不等式成立；‎ ‎②假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时，不等式成立，‎ 则当n＝k＋1时，左边＝1＋＋＋…＋＋＋＋…＋ ‎＜k＋＋＋…＋＜k＋＋＋…＋2k个,＜k＋1＝右边，‎ 所以当n＝k＋1时，不等式成立．‎ 综上可得，对一切n∈N*，n≥2，命题成立．‎ ‎(3)证明：由2cn＝bn得cn＝n，‎ 所以＝＝，‎ 首先＝C＋C＋C＋…＋C＋…‎ ‎＋C≥2，‎ 其次因为C＝＜≤＝－(k≥2)，‎ 所以＝C＋C＋C＋…＋C＋…＋C＜1＋1＋1－＋－＋…＋－＝3－＜3，‎ 当n＝1时显然成立．所以得证．‎ ‎2．已知数列{an}的各项均为正数，bn＝nan(n∈N*)，e为自然对数的底数．‎ ‎(1)求函数f(x)＝1＋x－ex的单调区间，并比较与e的大小；‎ ‎(2)计算，，，由此推测计算的公式，并给出证明．‎ 解：(1)f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f′(x)＝1－ex.‎ 当f′(x)>0，即x<0时，f(x)单调递增；‎ 当f′(x)<0，即x>0时，f(x)单调递减. ‎ 故f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，单调递减区间为(0，＋∞). ‎ 当x>0时，f(x)