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- 2021-06-11 发布
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2013届高考一轮复习 立体几何中的向量方法
一、选择题
1、如图所示,正方体ABCD-中,E、F分别是正方形和ABCD的中心,G是的中点,设GF、与AB所成的角分别为、则等于( )
A.120 B.60 C.75 D.90
2、在正方体ABCD-中,若E为的中点,则直线CE垂直于( )
A.AC B.BD
C. D.
3、如图,在长方体ABCD-中则与平面所成角的正弦值为… ( )
A. B.
C. D.
4、 设平面的法向量为(1,2,-2),平面的法向量为(-2,-4,k),若∥则k等于( )
A.2 B.-4
C.4 D.-2
5、如图,在正方体ABCD-中,棱长为a,M、N分别为和AC上的点则MN与平面的位置关系是( )
A.相交 B.平行
C.垂直 D.不能确定
6、如果平面的一条斜线和它在这个平面上的射影的方向向量分别是a=(0,2,1),b那么这条斜线与平面的夹角是( )
A.90 B.60 C.45 D.30
7、正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1,则侧棱与底面所成的角为( )
A.75 B.60 C.45 D.30
8、在正方体ABCD-中,M、N分别为棱和的中点,则sin的值为( )
A.
B.
C.
D.
9、下列命题中,正确命题的个数为( )
①若nn分别是平面的法向量,则n∥n∥;②若nn分别是平面的法向量,则nn;③若n是平面的法向量,向量a与共面,则na=0;④若两个平面的法向量不垂直,则这两个平面一定不垂直.
A.1 B.2 C.3 D.4
二、填空题
10、如图,在正三棱柱ABC中则二面角ABC的余弦值为 .
11、如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形底面ABCD,点E是棱PB的中点.则直线AD与平面PBC的距离为 .
12、长方体ABCD-中E为的中点,则异面直线与AE所成角的余弦值为 .
13、正四棱锥S-ABCD中,O为顶点在底面上的射影,P为侧棱SD的中点,且SO=OD,则直线BC与平面PAC所成的角是 .
三、解答题
14、如图,在四棱锥P-ABCD中底面ABCD,底面ABCD为正方形,PD=DC,E、F分别是AB、PB的中点.
(1)求证:;
(2)求DB与平面DEF所成角的正弦值.
15、如图,P-ABCD是正四棱锥,ABCD-是正方体,其中.
(1)求证:;
(2)求平面PAD与平面所成锐二面角的余弦值.
16、如图,已知等腰直角三角形RBC,其中,RB=BC=2.点A、D分别是RB、RC的中点,现将△RAD沿着边AD折起到△PAD位置,使连接PB、PC.
(1)求证:;
(2)求二面角A-CD-P的平面角的余弦值.
以下是答案
一、选择题
1、D
解析:建立坐标系如图,则
B(2,0,0),A(2,2,0),G(0,0,1),F(1,1,0),E(1,2,1).
则
∴cos
cos
∴cossin
cossin
∴.
2、B
解析:如图所示,易证平面又平面∴.
3、D
解析:以D点为坐标原点,以DA、DC、所在的直线为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系(图略),
则A(2,0,0),B(2,2,0),C(0
∴且为平面的一个法向量.
∴cos.
∴与平面所成角的正弦值为.
4、C
解析:∵∥∴(-2,
∴∴k=4.
5、B
解析:∵正方体棱长为
∴
∴
.
又∵是平面的法向量,
且
∴
∴MN∥平面.
6、D
解析:cos因此a与b的夹角为30.
7、C
8、B
解析:设正方体棱长为2,以D为坐标原点,DA为x轴,DC为y轴为z轴建立空间直角坐标系,可知
∴cos
∴sin.
9、C
解析:结合平面法向量的概念,易知①②③④正确,故选D.
二、填空题
10、
解析:如图建立空间直角坐标系,
则A(0
.
设n=(x,y,z)为平面的法向量,
则
取n
取m=(0,0,1),作为平面ABC的法向量.则cos.
∴二面角-AB-C的余弦值为.
11、
解析:如图,以A为坐标原点,射线AB、AD、AP分别为x轴、y轴、z轴正半轴,建立空间直角坐标系A-xyz.
设D(0,a,0),则.
因此
则所以平面PBC.
又由AD∥BC知AD∥平面PBC,
故直线AD与平面PBC的距离为点A到平面PBC的距离,即为||.
12、
解析:建立坐标系如图,
则A(1,0,0),E(0,2,1), B(1
cos.
13、30
解析:如图,以O为原点建立空间直角坐标系O-xyz.
设OD=SO=OA=OB=OC=a,
则A(a,0,0),B(0,a,0),
C(-a,0,0)
则
设平面PAC的法向量为n,可求得n=(0,1,1),
则cos
∴,
∴直线BC与平面PAC所成的角为90-60=30.
三、解答题
14、 解:以DA,DC,DP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系(如图).
设AD=a,则D(0,0,0),
A(a,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0),
0,a),.
(1)证明:∵0,
∴∴.
(2)设平面DEF的法向量为n=(x,y,z),
由 得
即 取x=1,则y=-2,z=1,
∴n=(1,-2,1),
∴cos.
设DB与平面DEF所成角为则sin.
15、 解:以为原点所在直线为x轴所在直线为y轴所在直线为z轴建立如图空间直角坐标系,
则
D(0,0,2),A(2,0,2),B(2,2,2),C(0,2,2),P(1,1,4).
(1)证明:∵
∴0,
∴.
(2)平面的法向量为.
.
设平面PAD的法向量为n=(x,y,z),则nn.
∴
∴ 取n=(0,-2,1),
设所求锐二面角为则
cos.
16、解:(1)证明:点A、D分别是RB、RC的中点,
∴AD∥
∴,
∴∴
∵
∴平面PAB.
∵平面PAB,∴.
(2)方法一:取RD的中点F,连接AF、PF.
∵RA=AD=1,
∴.
∵
∴平面RBC.
∵平面RBC,
∴.
∵
∴平面PAF.
∵平面PAF,
∴.
∴是二面角A-CD-P的平面角.
在Rt△RAD中
在Rt△PAF中
cos.
∴二面角A-CD-P的平面角的余弦值是.
方法二:建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz.
则D(-1,0,0),C(-2,1,0),P(0,0,1).
∴
设平面PCD的法向量为n=(x,y,z),则:
令x=1,得y=1,z=-1,
∴n=(1,1,-1).
显然是平面ACD的一个法向量并且二面角A-CD-P的平面角是一个锐角.
∴cos.
∴二面角A-CD-P的平面角的余弦值是.