2018-2019学年吉林省长春市第十一高中高一上学期期末考试数学（文）试题（解析版） 17页

‎2018-2019学年吉林省长春市第十一高中高一上学期期末考试数学（文）试题 一、单选题 ‎1．设P是△ABC所在平面内的一点，，则( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由向量的加减法运算化简即可得解.‎ ‎【详解】‎ ‎,移项得．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了向量的加减法运算，属于基础题.‎ ‎2．设函数，x∈R，则f（x）是（　　）‎ A．最小正周期为π的偶函数 B．最小正周期为π的奇函数 C．最小正周期为的偶函数 D．最小正周期为的奇函数 ‎【答案】B ‎【解析】利用诱导公式化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性和奇偶性，得出结论．‎ ‎【详解】‎ ‎∵函数=sin2x，x∈R，则f（x）是周期为=π的奇函数，‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查诱导公式的应用，正弦函数的周期性和奇偶性，属于基础题．‎ ‎3．函数在区间上的所有零点之和等于（ ）‎ A．-2 B．0 C．3 D．2‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：首先确定函数的零点，然后求解零点之和即可.‎ 详解：函数的零点满足：，‎ 解得：，‎ 取可得函数在区间上的零点为：，‎ 则所有零点之和为.‎ 本题选择C选项.‎ 点睛：本题主要考查三角函数的性质，函数零点的定义及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎4．已知是以为圆心的圆上的动点，且，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】运用勾股定理的逆定理，可得可得△OAB为等腰直角三角形，则的夹角为45°，再由向量的数量积的定义计算即可得到．‎ ‎【详解】‎ 由A，B是以O为圆心的单位圆上的动点，且，‎ 即有||2+||2＝||2，‎ 可得△OAB为等腰直角三角形，‎ 则的夹角为45°，‎ 即有＝||•||•cos45°＝1××＝1．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查向量的数量积公式的应用，运用勾股定理的逆定理得到向量的夹角是解题的关键．平面向量数量积公式有两种形式，一是，二是，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角， （此时往往用坐标形式求解）；（2）求投影， 在 上的投影是；（3）向量垂直则;(4)求向量 的模（平方后需求）.‎ ‎5．函数的最大值为，‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据三角函数的两角和的正弦公式和化一公式得到函数表达式为：从而得到最大值.‎ ‎【详解】‎ 函数 ‎ ‎ ‎ ‎ 故最大值为：.‎ 故答案为：A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ ）的部分图象求函数的解析式，正弦函数的对称性，考查了函数y=Asin（ω x +φ ）的图像和性质，在研究函数的单调性和最值时，一般采用的是整体思想，将ω x +φ看做一个整体，地位等同于sinx中的x.‎ ‎6．函数的图象大致是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析函数的奇偶性，零点个数及x＝2时的函数值，可得答案．‎ ‎【详解】‎ 函数为奇函数，故图象关于原点对称，故排除D；‎ 通过函数解析式得到函数有﹣1，0，1三个零点，故排除A；‎ 当x＝2时，函数值f(x)>0为正数，故排除B，‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查的知识点是函数的图象和性质，已知函数表达式求函数的图像，一般采用排除法．通过函数解析式研究函数的奇偶性，可排除选项；通过代入特殊点或者函数的极限值，均可以进行选项的排除.‎ ‎7．为了得到函数的图象，只需将函数图象上所有的点（ ）‎ A．向左平行移动个单位长度 B．向右平行移动个单位长度 C．向左平行移动个单位长度 D．向右平行移动个单位长度 ‎【答案】B ‎【解析】根据诱导公式将函数变为正弦函数，再减去得到.‎ ‎【详解】‎ 函数 ‎ 故将函数图像上的点向右平移个单位得到。‎ 故答案为：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查的是三角函数的平移问题，首先保证三角函数同名，不是同名通过诱导公式化为同名，在平移中符合左加右减的原则，在写解析式时保证要将x的系数提出来，针对x本身进行加减和伸缩.‎ ‎8．实数，满足，则下列关系正确的是 A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由，可得，，根据对数的运算法则可得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎ ，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查对数的性质与对数的运算法则，以及换底公式的应用，意在考查对基础知识掌握的熟练程度，考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.‎ ‎9．函数的部分图象如图所示，则的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】首先求得函数的解析式，然后求解的值即可.‎ ‎【详解】‎ 由函数的最小值可知：，‎ 函数的周期：，则，‎ 当时，，‎ 据此可得：，令可得：，‎ 则函数的解析式为：，‎ ‎.‎ 本题选择D选项.‎ ‎【点睛】‎ 已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A比较容易看图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：‎ ‎(1)由ω＝即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x0，则令ωx0＋φ＝0(或ωx0＋φ＝π)，即可求出φ.‎ ‎(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.‎ ‎10．已知函数，且，则（ ）‎ A．3 B． C．9 D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】利用函数的奇偶性以及已知条件转化求解即可．‎ ‎【详解】‎ 函数g（x）＝ax3+btanx是奇函数，且,‎ 因为函数f（x）＝ax3+btanx+6（a，b∈R），且，可得＝﹣3，‎ 则＝﹣g（）+6＝3+6＝9．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数的奇偶性的应用，函数值的求法，考查计算能力．已知函数解析式求函数值，可以直接将变量直接代入解析式从而得到函数值，直接代入较为繁琐的题目，可以考虑函数的奇偶性的应用，利用部分具有奇偶性的特点进行求解，就如这个题目.‎ ‎11．设函数定义在实数集上,,且当≥1时,,则有（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由f（2﹣x）＝f（x）得到函数的对称轴为x＝1，再由x≥1时，f（x）＝lnx得到函数的单调性，从而得到答案．‎ ‎【详解】‎ ‎∵f（2﹣x）＝f（x）∴函数的对称轴为x＝1‎ ‎∵x≥1时，f（x）＝lnx∴函数以x＝1为对称轴且对称轴左侧函数减，对称轴右侧函数增，‎ 故当x＝1时函数有最小值，离x＝1越远，函数值越大，因为：f(2)=f(0),0< ‎ 进而得到.‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本题考查的是由f（a﹣x）＝f（b+x）求函数的对称轴的知识与对数函数的图象的性质；属于比较大小的题目，这类题型，首先观察能否直接求出函数值，进而直接比较大小；否则，一般是通过研究函数的单调性，奇偶性得到大小关系.‎ ‎12．已知定义在R上的奇函数满足当时， ,则关 于的函数的所有零点之和为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：由题意得，当时， ，即时，；时，；时，，画出函数的图象， 在利用函数为奇函数函数，可得上的图象，如图所示，则直线与的图象有个交点，则方程有五个实根，最左边两根和为，左右边两根之和为，因为时，，所以，又，所以，所以中间的一个根满足，即，解得，所以所有根的和为，故选C.‎ ‎【考点】函数的图象与函数的零点问题.‎ ‎【方法点晴】本题主要考查了分段函数的图象与性质的应用及函数的零点的判断，着重考查了利用函数的零点与方程应用问题、数形结合法思想和转化与化归思想的应用，试题综合性较强，有一定的难度，本题的解答中作出当时，函数的图象，再利用函数为奇函数，可得上的图象，根据直线与的图象有个交点，即可得到求解.‎ 二、填空题 ‎13．已知点P(tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在第________象限．‎ ‎【答案】二 ‎【解析】试题分析：‎ 由点P（tanα，cosα）在第三象限，得到tanα＜0，cosα＜0，从而得到α所在的象限．‎ 解：因为点P（tanα，cosα）在第三象限，所以，tanα＜0，cosα＜0，则角α的终边在第二象限，‎ 故答案为：二．‎ 点评：本题考查第三象限内的点的坐标的符号，以及三角函数在各个象限内的符号．‎ ‎14．已知向量， ，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据题意得到 ‎ ‎ ‎ 故答案为： .‎ ‎15．在正方形ABCD中,E是线段CD的中点,若,则________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由图可知，，‎ 所以 ‎)‎ ‎)‎ 所以，‎ 故，即，‎ 即得 ‎16．已知，若函数在上有两个不同零点，则_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】通过两角和的正弦公式得到函数的解析式，再通过换元结合正弦函数的图像得到两根之和，进而得到结果.‎ ‎【详解】‎ ‎ ‎ 已知=，令，‎ 函数在上有两个不同零点,‎ 即函数和y=m两个图像有两个不同的交点，‎ 做出函数y=sint，和y=m的图像,‎ 通过观察得到 ‎ 进而得到= ‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数方程的转化思想，函数零点问题的解法，考查三角函数的恒等变换，同角基本关系式的运用，属于中档题．对于函数的零点问题通常转化为两个函数图像的交点问题或者方程的解的问题.‎ 三、解答题 ‎17．已知向量的夹角为.‎ ‎（1）求 ；‎ ‎（2）若，求的值.‎ ‎【答案】（1）-12；（2）12.‎ ‎【解析】(1)按照向量的点积公式得到，再由向量运算的分配律得到结果；（2）根据向量垂直得到，按照运算公式展开得到结果即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意得，‎ ‎∴‎ ‎（2）∵，∴，∴，‎ ‎∴，∴‎ ‎【点睛】‎ 这个题目考查了向量的点积运算，以及向量垂直的转化；向量的两个作用：①载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题.‎ ‎18．已知,‎ ‎(1)求的值；‎ ‎(2)求的值；‎ ‎(3)求的值.‎ ‎【答案】(1);(2)4;(3) .‎ ‎【解析】（1）根据同角函数关系得到正弦值，结合余弦值得到正切值；（2）‎ 根据诱导公式化简，上下同除余弦值即可；（3）结合两角和的正弦公式和二倍角公式可得到结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）∵， ,∴∴ ‎ ‎（2）.‎ ‎（3）=，根据二倍角公式得到; 。‎ 代入上式得到=.‎ ‎【点睛】‎ 这个题目考查了三角函数的同角三角函数的诱导公式和弦化切的应用，以及二倍角公式的应用，利用诱导公式化简三角函数的基本思路:(1)分析结构特点,选择恰当公式;(2)利用公式化成单角三角函数;(3)整理得最简形式.‎ ‎19．已知A(2,0)，B(0,2)，，O为坐标原点．‎ ‎（1），求sin 2θ的值；‎ ‎（2）若，且θ∈(－π,0)，求与的夹角．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】分析：(1) 先根据向量数量积得sin θ＋cos θ值，再平方得结果，(2)先根据向量的模得cos θ，即得C点坐标，再根据向量夹角公式求结果.‎ 详解：(1)∵＝(cos θ，sinθ)－(2,0)＝(cos θ－2，sin θ)，‎ ‎＝(cos θ，sin θ)－(0,2)＝(cos θ，sin θ－2)，‎ ‎＝cos θ(cos θ－2)＋sin θ(sin θ－2)＝cos2θ－2cos θ＋sin2θ－2sin θ＝1－2(sin θ＋cos θ)＝－‎ ‎∴sin θ＋cos θ＝，‎ ‎∴1＋2sin θcos θ＝，‎ ‎∴sin 2θ＝－1＝－.‎ ‎(2)∵＝(2,0)，＝(cos θ，sin θ)，‎ ‎∴＋＝(2＋cos θ，sin θ)，‎ ‎∵|＋|＝，所以4＋4cos θ＋cos2θ＋sin2θ＝7，‎ ‎∴4cos θ＝2，即cos θ＝.‎ ‎∵－π＜θ＜0，∴θ＝－，‎ 又∵＝(0,2)，＝，‎ ‎∴cos〈，〉＝，∴〈，〉＝.‎ 点睛：向量的平行、垂直、夹角、数量积等知识都可以与三角函数进行交汇.对于此类问题的解决方法就是利用向量的知识将条件转化为三角函数中的“数量关系”，通过解三角求得结果.‎ ‎20．已知函数为偶函数．‎ ‎（1）求实数的值；‎ ‎（2）记集合，，判断与的关系；‎ ‎（3）当时，若函数值域为，求的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）由恒成立，可得恒成立，进而得实数的值；（2）化简集合 ，得；（3）先判定的单调性，再求出时的范围，与等价即可求出实数的值.‎ 试题解析：（1）为偶函数，.‎ ‎（2）由（1）可知：，当时，；当时，.‎ ‎ ，.‎ ‎（3）.‎ 在上单调递增，，‎ 为的两个根，又由题意可知：，且.‎ ‎【考点】1、函数的奇偶性及值域；2、对数的运算.‎ ‎21．已知函数.‎ ‎（1）求函数的单调递增区间；‎ ‎（2）若，求的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】试题分析：（1）将解析式化成 的形式，利用正弦函数的性质求增区间；（2）由得 ，利用角的变换可得，再用两角差的余弦公式求解。‎ 试题解析：（1）＝‎ ‎…………4分 所以，函数的单调递增区间为： …………7分 ‎（2）， ，…………9分 又， ， …………11分 ‎……14分 ‎22．已知函数．‎ ‎（1）求的最小正周期；‎ ‎（2）设，若在上的值域为，求实数的值；‎ ‎（3）若对任意的和恒成立，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）;（2）或;（3）‎ ‎【解析】试题分析：（1）化简 最小正周期；（2）当时， ．令，则．‎ 原函数可化为， ．再利用分类讨论思想，对求得或；（3）由（2）可知，当时， ‎ ‎．①当为偶数时， ． ．②当为奇数时， 的取值范围是．‎ 试题解析：（1）‎ ‎．‎ 的最小正周期．‎ ‎（2）由（1）知．‎ 当时， ， ，‎ 即．‎ 令，则．‎ ‎， ．‎ 令， ．易知．‎ ‎①当时， 在上为增函数，‎ 因此，即．解得．‎ ‎②当时， 在上为减函数，‎ 因此，即．解得．‎ 综上所述， 或．‎ ‎（3）由（2）可知，当时， ．‎ ‎①当为偶数时， ．‎ 由题意，只需．‎ 因为当时， ，所以．‎ ‎②当为奇数时， ．‎ 由题意，只需．‎ 因为当时， ，所以．‎ 综上所述，实数的取值范围是．‎