2018-2019学年山西大学附中高二下学期2月模块诊断 数学（文） Word版 9页

山西大学附中 ‎2018～2019学年高二第二学期2月（总第一次）‎ 模块诊断 数学（文）试题 时间：120分钟 考试范围：（必修二、选修1-1）‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）‎ ‎1．双曲线的虚轴长为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．到两定点、的距离之差的绝对值等于的点的轨迹为（　　）‎ A．椭圆 B．线段 C．双曲线 D．两条射线 ‎3．已知，则是的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎4．若直线与圆有公共点，则实数取值范围是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．设是两个不同的平面，是两条不同直线，则下列结论中错误的是（　　）‎ A．若，则 ‎ B．若，则 与所成的角相等 ‎ C．若，则 ‎ D．若，则 ‎6．若命题，则为（　　）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎7．已知，是双曲线的两个焦点，且直线是该双曲线的一条渐近线，则此双曲线的标准方程为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是（　　）‎ A．或 B． ‎ C． D．或 ‎9．过双曲线左焦点的弦长为，则（为右焦点）的周长是（ ） ‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎10．已知抛物线的焦点为，准线为，过点作倾斜角为的直线交抛物线于两点（点在第一象限），过点作准线的垂线，垂足为，则的面积为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．定义在上的函数满足：，，则不等式 ‎（其中为自然对数的底数）的解集为（　　）‎ A．B．C．D．‎ ‎12．已知椭圆的左顶点为，上顶点为，过椭圆的右焦点作轴的垂线交直线于点，若直线的斜率是直线的斜率的倍，其中为坐标原点，且，则椭圆的离心率的取值范围为（　　）‎ A． B． C． D．‎ 二、填空题题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．若函数的导函数为，且，则_______．‎ ‎14．已知两条直线，则与的距离为　 　．‎ ‎15．若直线与曲线有公共点，则的取值范围是________．‎ ‎16．已知有公共焦点的椭圆和双曲线的离心率分别为，点为两曲线的一个公共点，且满足，则的值为________．‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分）‎ ‎17．（本小题满分10分）已知圆外有一点，过点作直线．‎ ‎（1）当直线与圆相切时,求直线的方程；‎ ‎（2）当直线的倾斜角为时,求直线被圆所截得的弦长．‎ ‎18．（本小题满分12分）已知函数，求：‎ ‎（1）函数的图象在点处的切线方程；‎ ‎（2）的单调递减区间．‎ ‎19．（本小题满分12分）如图，在三棱锥中，正三角形所在平面与等腰三角形所在平面互相垂直，，是中点，于．‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）若，求三棱锥的体积．‎ ‎20．（本小题满分12分）已知椭圆的两焦点分别为，其短半轴长为．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设不经过点的直线与椭圆相交于两点．若直线与的斜率之和为，求实数的值．‎ ‎21．（本小题满分12分）已知椭圆的焦点为，且椭圆过点，直线不过点，且与椭圆交于不同的两点．‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）求证：直线与轴总围成一个等腰三角形．‎ ‎22．（本小题满分12分）已知函数．‎ ‎（1）当时，求函数的单调区间和极值；‎ ‎（2）若不等式恒成立，求的值．‎ 一． 选择题 1. A 2.D 3.A 4.C 5.D 6.B 7.A 8.D 9.D 10.C 11. D 12.B 二．填空题 12. ‎__﹣12___； 14.________； 15.__[1﹣，3]______；16.____2____.‎ 三．简答题 ‎17．已知圆M：x2+(y-1)2=16外有一点A(4，-2)，过点A作直线l。‎ ‎(1)当直线l与圆M相切时,求直线l的方程;‎ ‎(2)当直线l的倾斜角为135°时,求直线l被圆M所截得的弦长。‎ ‎（1）当直线的斜率不存在时，直线的方程为，满足题意. ‎ 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，‎ 则，解得，‎ 此时直线的方程为 ‎ 所以直线的方程为或 ‎（2）当直线的倾斜角为时，‎ 直线的方程为，‎ 即 ‎ 圆心到直线的距离为. ‎ 所以直线被圆所截得的弦长 ‎18．已知函数，求：‎ ‎（1）函数的图象在点处的切线方程；‎ ‎（2）的单调递减区间．‎ ‎【解析】试题分析：（1）求导得，故，又，‎ 根据点斜式方程可得切线方程；（2）令，解不等式可得函数的单调递减区间。‎ 试题解析：‎ ‎（1）∵‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 又，‎ ‎∴函数的图象在点处的切线方程为，‎ 即。‎ ‎（2）由（1）得，‎ 令，解得或。‎ ‎∴函数的单调递减区间为。‎ ‎19．如图，在三棱锥P﹣ABC中，正三角形PAC所在平面与等腰三角形ABC所在平面互相垂直，AB＝BC，O是AC中点，OH⊥PC于H．‎ ‎（1）证明：PC⊥平面BOH；‎ ‎（2）若，求三棱锥A﹣BOH的体积．‎ ‎【解答】解：（1）∵AB＝BC，O是AC中点，‎ ‎∴BO⊥AC，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）‎ 又平面PAC⊥平面ABC，‎ 且BO⊂平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，‎ ‎∴BO⊥平面PAC，‎ ‎﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）‎ ‎∴BO⊥PC，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）‎ 又OH⊥PC，BO∩OH＝O，‎ ‎∴PC⊥平面BOH；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）‎ ‎（2）∵△HAO与△HOC面积相等，‎ ‎∴VA﹣BOH＝VB﹣HAO＝VB﹣HOC，‎ ‎∵BO⊥平面PAC，∴，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）‎ ‎∵，∠HOC＝30°∴HC＝1，‎ ‎∴，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）‎ ‎∴，即．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）‎ ‎20．已知椭圆的两焦点分别为，其短半轴长为．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设不经过点的直线与椭圆相交于两点．若直线与的斜率之和为，求实数的值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）曲线C的方程为：；‎ ‎（Ⅱ）设M（x1，y1），N（x2，y2），‎ 由，消去y得，‎ ‎37x2+36tx+9（t2﹣1）＝0，‎ 由△＝（36t）2﹣4×37×9（t2﹣1）＞0，‎ 可得﹣，‎ 又直线y＝2x+t不经过点H（0，1），‎ 且直线HM与HN的斜率存在，‎ ‎∴t≠±1，‎ 又，，‎ ‎∴kHM+kHN＝‎ ‎＝‎ ‎＝4﹣＝1，‎ 解得t＝3，‎ 故t的值为3．‎ ‎21．已知椭圆C的焦点为（，0），（，0），且椭圆C过点M（4，1），直线l：y＝x+m不过点M，且与椭圆交于不同的两点A，B．‎ ‎（1）求椭圆C的标准方程；‎ ‎（2）求证：直线MA，MB与x轴总围成一个等腰三角形．‎ ‎【分析】（1）利用椭圆的定义先求出2a的值，可得出的值，再利用a、b、c之间的关系求出b的值，从而得出椭圆C的标准方程；‎ ‎（2）将直线l的方程与椭圆C的方程联立，列出韦达定理，利用斜率公式以及韦达定理计算出直线MA、MB的斜率互为相反数来证明结论成立．‎ ‎【解答】解：（1）设椭圆C的标准方程为，‎ 由椭圆的定义可得＝，‎ ‎∴，b2＝a2﹣15＝5，‎ 因此，椭圆C的标准方程为；‎ ‎（2）设点A（x1，y1）、B（x2，y2），将直线l的方程代入椭圆方程，消去y并化简得5x2+8mx+4m2﹣20＝0，‎ 由韦达定理可得，，‎ ‎∵直线l与椭圆交于不同的两点A、B，所以，△＝64m2﹣20（4m2﹣20）＝16（25﹣m2）＞0，解得﹣5＜m＜5，‎ 所以，直线MA、MB的斜率都存在且不为零，‎ 设直线MA、MB的斜率分别为k1、k2，‎ 则＝‎ ‎＝＝‎ ‎＝，‎ 故原命题成立．‎ ‎22．已知函数，a≠0．‎ ‎（1）当a＝1时，求：①函数f（x）在点P（1，f（1））处的切线方程；②函数f（x）的单调区间和极值；‎ ‎（2）若不等式恒成立，求a的值．‎ ‎【分析】（1）①a＝1时，f（x）＝，f′（x）＝，可得f′（1）＝1，又f（1）＝0．利用点斜式即可得出f（x）在点P（1，f（1））处的切线方程．‎ ‎②令f′（x）＝＝0，解得x＝e．通过列表可得函数f（x）的单调递区间及其极值．‎ ‎（2）由题意可得：x＞0，由不等式恒成立，即x﹣1﹣alnx≥0恒成立．令g（x）＝x﹣1﹣alnx≥0，g（1）＝0，x∈（0，+∞）．g′（x）＝1﹣＝．对a分类讨论，利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出．‎ ‎【解答】解：（1）①a＝1时，f（x）＝，f′（x）＝，∴f′（1）＝1，又f（1）＝0．‎ ‎∴函数f（x）在点P（1，f（1））处的切线方程为y﹣0＝1×（x﹣1），即x﹣y﹣1＝0．‎ ‎②令f′（x）＝＝0，解得x＝e． ‎ ‎ x ‎ （0，e）‎ ‎ e ‎ （e，+∞）‎ ‎ f′（x）‎ ‎+‎ ‎ 0‎ ‎﹣‎ ‎ f（x）‎ ‎ 单调递增 ‎ 极大值 ‎ 单调递减 可得函数f（x）的单调递增区间为（0，e），单调递减区间为（e，+∞），可得极大值为f（e）＝，为极小值．‎ ‎（2）由题意可得：x＞0，由不等式恒成立，即x﹣1﹣alnx≥0恒成立．‎ 令g（x）＝x﹣1﹣alnx≥0，g（1）＝0，x∈（0，+∞）．‎ g′（x）＝1﹣＝．‎ ‎①若a＜0，则函数g（x）在（0，+∞）上单调递增，又g（1）＝0，∴x∈（0，1）时，g（x）＜0，不符合题意，舍去．‎ ‎②若0＜a＜1，则函数g（x）在（a，+∞）上g′（x）＞0，即函数g（x）单调递增，又g（1）＝0，∴x∈（a，1）时，g（x）＜0，不符合题意，舍去．‎ ‎③若a＝1，则函数g（x）在（1，+∞）上g′（x）＞0，即函数g（x）单调递增，x∈（a，1）时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减．‎ ‎∴x＝1时，函数g（x）取得极小值即最小值，又g（1）＝0，∴x＞0时，g（x）≥0恒成立．‎ ‎③若1＜a，则函数g（x）在（0，a）上g′（x）＜0，即函数g（x）单调递减，又g（1）＝0，∴x∈（1，a）时，g（x）＜0，不符合题意，舍去．‎ 综上可得：a＝1．‎