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- 2021-06-11 发布
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上海市各区县2017届高三上学期期末考试数学试题分类汇编
立体几何
一、填空、选择题
1、(宝山区2017届高三上学期期末) 已知一个底面置于水平面上的圆锥,其左视图是边长为6的正三角形,则该圆锥的侧面积为
2、(崇明县2017届高三第一次模拟)已知圆锥的母线,母线与旋转轴的夹角,则圆锥的表面积为
3、(虹口区2017届高三一模)一个底面半径为的圆柱被与其底面所成角是的平面所截,截面是一个椭圆,则该椭圆的焦距等于 .
4、(黄浦区2017届高三上学期期终调研)关于直线及平面,下列命题中正确的是 ( )
A.若,则 B.若,则
C.若,则 D.若,则
5、(静安区2017届向三上学期期质量检测)若空间三条直线a、b、c满足,则直线a与c 【 】
A.一定平行; B.一定相交;
C.一定是异面直线; D.平行、相交、是异面直线都有可能.
6、(闵行区2017届高三上学期质量调研)如右图,已知正方体,,为棱的中点,则三棱锥的体积为________________.
7、(浦东新区2017届高三上学期教学质量检测)已知一个球的表面积为,则它的体积为____________.
8、(普陀区2017届高三上学期质量调研)如图,在直三棱柱中,,, 若与平面所成的角为,则三棱锥的体积 为 .
9、(青浦区2017届高三上学期期末质量调研)若圆锥的侧面积为,且母线与底面所成角为,则该圆锥的体积为 .
10、(松江区2017届高三上学期期末质量监控)如图,在棱长为1的正方体中,点在截面上,则线段的最小值等于
11、(徐汇区2017届高三上学期学习能力诊断)在长方体中,若,则异面直线与所成角的大小为____________.
12、(杨浦区2017届高三上学期期末等级考质量调研)过半径为2的球O表面上一点A作球O的截面,若OA与该截面所成的角是,则该截面的面积是__________.
13、(长宁、嘉定区2017届高三上学期期末质量调研)如图,已知正三棱柱的底面边长为,高为,
一质点自点出发,沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点
的最短路线的长为__________.
14、(奉贤区2017届高三上学期期末)如图,一个空间几何体的主视图、左视图、俯视图均为全等的等腰直角三角形,如果直角三角形的直角边长都为1,那么这个几何体的表面积____________.
15、(金山区2017届高三上学期期末)某几何体的三视图如图所示,则它的体积是( )
A. B.
C. D.
二、解答题
1、(宝山区2017届高三上学期期末)如图,已知正三棱柱的底面积为,侧面积为36;
(1)求正三棱柱的体积;
(2)求异面直线与所成的角的大小;
2、(崇明县2017届高三第一次模拟)在正三棱柱中,,求:
(1)异面直线与所成角的大小;
(2)四棱锥的体积.
3、(虹口区2017届高三一模)在正三棱锥中,已知底面等边三角形的边长为6,侧棱长为4.
(1)求证:;
(2)求此三棱锥的全面积和体积.
4、(黄浦区2017届高三上学期期终调研)在三棱锥中,底面是边长为6的正三角形,^ 底面,且与底面所成的角为.
(1)求三棱锥的体积;
(2)若是的中点,求异面直线与所成角的大小(结果用反三角函数值表示).
5、(静安区2017届向三上学期期质量检测)已知正四棱柱,,分别是棱的中点.
(1) 求异面直线所成角的大小;
(2) 求四面体的体积.
6、(闵行区2017届高三上学期质量调研)如图,在中,,斜边,是的中点.现将以直角边为轴旋转一周得到一个圆锥,点为圆锥底面圆周上的一点,且, 求:
(1)圆锥的侧面积;
(2)直线与平面所成的角的大小.(用反三角函数表示)
7、(浦东新区2017届高三上学期教学质量检测)在长方体中(如图), ,点是棱的中点.
(1)求异面直线与所成角的大小;
(2)《九章算术》中,将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑.试问四面体是否为鳖臑?并说明理由.
8、(普陀区2017届高三上学期质量调研)现有一堆规格相同的正六棱柱型金属螺帽毛坯,经测定其密度为,总重量为.其中一个螺帽的三视图如下图所示(单位:毫米).
(1)这堆螺帽至少有多少个;
(2)对上述螺帽作防腐处理,每平方米需要耗材0.11千克,
共需要多少千克防腐材料(结果精确到)
9、(青浦区2017届高三上学期期末质量调研)如图所示,三棱柱的侧面是圆柱的轴截面,是圆柱底面圆周上不与、重合的一个点.
(1)若圆柱的轴截面是正方形,当点是弧的中点时,求异面直线与的所成角的大小(结果用反三角函数值表示);
(2)当点是弧的中点时,求四棱锥与圆柱的体积比.
10、(松江区2017届高三上学期期末质量监控)如图,在正四棱锥中,,是棱的中点.
(1)求证:;
(2)求直线与所成角的余弦值.
11、(徐汇区2017届高三上学期学习能力诊断)如图,已知平面,,,
,是的中点.
(1)求与平面所成角的大小(结果用反三角函数值表示);
(2)求绕直线旋转一周所构成的旋转体的体积(结果保留).
12、(杨浦区2017届高三上学期期末等级考质量调研)如图所示,、是互相垂直的异面直线,是它们的公垂线段。点、在上,且位于点的两侧,在上,
.
(1)求证:异面直线与垂直;
(2)若四面体的体积,求异面直线、之间的距离.
13、(长宁、嘉定区2017届高三上学期期末质量调研)如图:已知平面,,与平面所成的角为,且.
(1)求三棱锥的体积;
(2)设为的中点,求异面直线与所成角的大小(结果用反三角函数值表示).
14、(奉贤区2017届高三上学期期末)已知圆锥母线长为5,底面圆半径长为4,点是母线的中点,是底面圆的直径,点是弧的中点.
(1)求三棱锥的体积;
(2)求异面直线与所成的角.
参考答案:
一、填空、选择题
1、解析:由题意,得:底面直径和母线长均为6,
S侧==18
2、 3、 4、C 5、D
6、 7、
8、【解析】如图,
在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,∵∠ABC=90°,
A1B1⊥平面BB1C1C,连接B1C,则∠A1CB1为A1C与平面B1BCC1所成的角为,
∵A1B1=AB=1,∴,
又BC=1,∴.
∴.
故答案为:.
9、 10、C 11、 12、
13、【解析】将正三棱柱ABC﹣A1B1C1沿侧棱展开,再拼接一次,其侧面展开图如图所示,
在展开图中,最短距离是六个矩形对角线的连线的长度,也即为三棱柱的侧面上所求距离的最小值.
由已知求得矩形的长等于6×2=12,宽等于5,由勾股定理d==13
故答案为:13.
14、 15、A
二、解答题
1、
2、解:(1),
是异面直线与所成角............................2分
在中,,
,........................5分
异面直线与所成角大小为................7分
(2) .......................................10分
.........................................13分
所以...................................14分
3、解:(1)取的中点,连、.
是等边三角形,.又,.
平面,.…………5分
(2)记是等边三角形的中心.则.
是边长为6的等边三角形,.,…………8分
,
…………12分
4、解:(1)因为平面,所以为与平面所成的角,
由与平面所成的角为,可得, ……………………………2分
因为平面,所以,又,可知,
故. ……………………………6分
(2)设为棱的中点,连,由分别是
棱的中点,可得∥,所以与的夹
角为异面直线与所成的角. ………………8分
因为平面,所以,,
又,,
,
所以, ……………………………12分
故异面直线与所成的角为. ……………………………14分
5、解:(1)连接,……………………………….1分
则为异面直线所成角 …………….1分
在中,可求得,
…………………….4分
(2) ……………………………….5分
6、.[解] (1) …………………………2分
…………………………6分
(2)取的中点,连接、, ………………8分
则,所以,
所以是直线与平面所成的角, …………10分
在中,, …………12分
所以
所以直线与平面所成的角的大小为()…………14分
7、解:
(1)作交于,因为,所以,故为正三角形,异面直线与所成角为60°……………………………6分
(2)是棱上的中点,则均为等腰直角三角形,
而显然均为直角三角形,故四面体四个面均为直角三角形,....... 14分
8、【解】设正六棱柱的底边边长为,高为,圆孔的半径为,并设螺帽的表面积为,根据三视图可知,,,,则(1)设螺帽的体积为,则,其中
高,螺帽的体积,个
(2)
(千克)
答:这堆零件至少有252个,防腐共需要材料千克。
9、解: (1)连接,则,
直线与的所成角等于直线与的所成角 ,
设圆柱的底面半径为,即,,
在△中,
直线与所成角等于;
(2)设圆柱的底面半径为 ,母线长度为,
当点是弧的中点时,,且平面,
,
,
∴.
10、 解: (1)证明:∵四边形ABCD为正方形,且
∴都是等边三角形 ………………2分
∵是棱的中点,
∴,又
∴平面 ………………5分
又平面 ∴ ………………6分
(2)连接AC,交BD于点O,连OE.
四边形ABCD为正方形,∴O是AC的中点………………8分
又是的中点
∴OE为△ACP的中位线,∴
∴∠BOE即为BE与PA所成的角 ……………………10分
在Rt△BOE中,, ……12分
∴ ……………………14分
11、解:(1)平面,,又,
平面,
所以就是与平面所成的角.………4分
在中,,………………………………………6分
所以,
即与平面所成的角的大小为.………………………8分
(2)绕直线旋转一周所构成的旋转体,是以为底面半径、为高的圆锥中挖去一个以为底面半径、为高的小圆锥. ………10分
所以体积. ……………14分.
12、解:(1)因为,,
所以 (2分)
因为,所以 (4分)
又因为,根据平面几何知识,知
所以(6分)
因为,所以(8分)
(2)MN就是异面直线、之间的距离(10分)
设
所以(12分)
所以,即异面直线、之间的距离为3 (14分)
13、(1)因为平面,所以就是与平面所成的角,即,且为三棱锥的高. …………………………(2分)
由,得,又由,得. …………(3分)
所以,. ……………………(5分)
(2)取中点,连结,,则∥,所以就是异面直线与所成的角(或其补角), ……………………………………(1分)
在△中,,,, …………………………(3分)
所以,, ……………………(6分)
即.
所以异面直线与所成角的大小为. ……………………(7分)
14、(1)点是弧的中点,, 2分
面 4分
三棱锥的体积 7分
(2)如图,建立空间直角坐标系,
,,, 9分
10分
13分
所以异面直线所出的角是 14分
也可以用平移法:
连,过作交于点,连.
又,.又.
,等于异面直线与所成的角或其补角.
可知,,
异面直线与所成的角