新教材数学北师大版（2019）必修第二册课件：2-6-1-三-第2课时　解三角形的实际应用举例 课件（100张） 100页

第2课时　解三角形的实际应用举例 必备知识·自主学习 1.测量中的有关术语 导思 1.实际测量中的术语主要有哪些? 2.解三角形应用题主要有哪几个步骤? 术语名称 术语意义 图形表示 仰角与 俯角 在目标视线与水平视线所成的 角中,目标视线在水平视线上 方的叫做仰角,目标视线在水 平视线下方的叫做俯角. 术语名称 术语意义 图形表示 方位角 从某点的指北方向线起按顺时 针方向到目标方向线之间的夹 角叫做方位角,方位角θ的范 围是0°≤θ<360°. 方向角 正北或正南方向线与目标方向 线所成的锐角,通常表达为北 (南)偏东(西)α 坡角与 坡度 坡面与水平面的夹角叫做坡角 (α);坡面的垂直高度(h)与水 平宽度(l)的比(i)叫做坡度 【思考】 仰角、俯角、方位角有什么区别? 提示:三者的参照不同.仰角与俯角是相对水平线而言的,而方位角是相对于正 北方向而言的. 2.利用余弦定理、正弦定理解决实际测量问题时,应具备的测量数据 求距离 两点不可直达 也不可视 两点间可视但不 可达 两点都不可达 求高度 底部可达 底部不可达 【基础小测】 1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”) (1)从A处望B处的仰角为α,从B处望A处的俯角为β,则α,β的关系为α=β. (　　) (2)若点P在点Q的北偏东44°,则点Q在点P的东偏北46°. (　　) (3)方位角大小范围是[0,π). (　　) 提示:(1)√.仰角与俯角是相对的,它们是平行线内错角. (2)×.若点P在点Q的北偏东44°,则点Q在点P的南偏西44°. (3)×.方位角范围为[0,2π). 2.海事救护船A在基地的北偏东60°,与基地相距100 海里,渔船B被困海面, 已知B距离基地50 海里,而且在救护船A正西方,则渔船B与救护船A的距离是 (　　) A.100海里　　　　　　　　 B.200海里 C.100海里或200海里 D.150海里 3 3 【解析】选D.如图所示,在直角三角形ABC中,AC=100 ,BC=50 , 所以AB= =150, 所以渔船B与救护船A的距离是150海里. 3 3 2 2(100 3) (50 3)－ 3.(教材二次开发:例题改编)一艘海轮从A处出发,以每小时24海里的速度沿南 偏东40°的方向直线航行,30分钟后到达B处,在C处有一座灯塔,海轮在A处观察 灯塔,其方向是南偏东70°,在B处观察灯塔,其方向是北偏东65°,那么B,C两点 间的距离是 (　　) A.6 海里 B.6 海里 C.8 海里 D.8 海里 2 2 3 3 【解析】选A.由题意可知:∠BAC=70°-40°=30°.∠ACD=110°, 所以∠ACB=110°-65°=45°, 所以∠ABC=180°-30°-45°=105°. 又AB=24×0.5=12. 在△ABC中,由正弦定理得 即 所以BC=6 . AB BC sin 45 sin 30  ， 12 BC 12 22  ， 2 关键能力·合作学习 类型一　测量距离问题(数学建模、数据分析) 【题组训练】 1.如图,设点A,B在河的两岸,一测量者在A的同侧所在的河岸边选定一点C.测 出A,C两点间的距离为50 m.∠ACB=45°,∠CAB=105°,则A,B两点间的距离为 (　　) 25 2A m B 25 2 m C 50 2 m D 50 3 m2． ． ． ． 2.一艘轮船以18海里/时的速度沿北偏东40°的方向直线航行,在行驶到某处时, 该轮船南偏东20°方向10海里处有一灯塔,继续行驶20分钟后,轮船与灯塔的距 离为(　　) A.17海里 B.16海里 C.15海里 D.14海里 【解析】1.选C.在△ABC中,AC=50 m,∠ACB=45°,∠CAB=105°, 则∠ABC=30°, 由正弦定理得 所以AB= AB AC sin ACB sin ABC   ，   250ACsin ACB 2 50 2 m .1sin ABC 2    2.选D.记轮船行驶到某处的位置为A,灯塔的位置为B,20分钟后轮船的位置为C, 如图所示.则AB=10,AC=6,∠CAB=120°, 所以BC2=102+62-2×10×6×(- )=196, 所以BC=14,即20分钟后,轮船与灯塔的距离为14海里. 1 2 【解题策略】 (1)将追及问题转化为三角形问题,即可把实际问题转化为数学问题,这样借助 余弦定理或正弦定理,就容易解决问题了,最后要把数学问题还原到实际问题中 去. (2)测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离,一般可转化为已知两 个角和一条边解三角形的问题,从而运用正弦定理去解决. (3)测量两个不可到达的点之间的距离问题,一般是把求距离问题转化为应用余 弦定理求三角形的边长的问题,然后把求未知的另外边长问题转化为只有一点 不能到达的两点距离测量问题,然后运用正弦定理解决. 【补偿训练】 　　在某次军事演习中,红方为了准确分析战场形势,在两个相距为 a的军事 基地C和D测得蓝方两支精锐部队分别在A处和B处,且∠ADB=30°,∠BDC=30°, ∠DCA=60°,∠ACB=45°,如图所示,求蓝方这两支精锐部队之间的距离. 3 2 【解析】因为∠ADC=∠ADB+∠CDB=60°, 又∠DCA=60°,所以∠DAC=60°. 所以AD=CD=AC= a. 在△BCD中,∠DBC=45°,因为 所以BC= a. 在△ABC中,由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos 45°= a2+ a2-2× = a2,所以AB= a. 所以蓝方这两支精锐部队之间的距离为 a. 3 2 BC CD sin 30 sin 45  ， 6 4 3 4 3 8 3 6 2a a2 4 2   3 8 6 4 6 4 类型二　测量高度问题(数学建模) 【典例】某兴趣小组为了测量塔的高度,如图所示,在地面上一点A处测得塔顶B 的仰角为60°,在塔底C处测得A处的俯角为45°.已知山岭高CD为36米,则塔高 BC为 (　　) 　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 A.(36 -36)米 B.(36 -36)米 C.(36 -36)米 D.(72 -36)米 2 3 36 四步 内容 理解 题意 塔高指的是塔本身的高度,不是塔的最高点相 对地面的高度. 思路 探求 △ACD是等腰直角三角形,CD=AD; 在Rt△ABD中选择三角函数表示BD,根据CD=BD- BC得方程求解. 四步 内容 书写 表达 选B.由题意可知:∠DAB=60°,因为在塔底C处测得 A处的俯角为45°,则∠CAD=45°,在Rt△ABD中有 BD=AD×tan 60°= AD; 同理可得:DC=AD×tan 45°=AD, 所以 ,因为CD=BD-BC=36米, 所以 ,所以BC=36( -1)米. 题后 反思 正确理解题意及图形是求解的关键. 3 BD 3DC  36 BC 336   3 【解题策略】 解决测量高度问题的一般步骤 在解题中,要综合运用立体几何知识与平面几何知识,注意方程思想的运用. 【跟踪训练】 在某个位置测得某山峰仰角为θ,对着山峰在地面上前进600 m后测得仰角为 2θ,继续在地面上前进200 m以后测得山峰的仰角为4θ,则该山峰的高度 为 (　　) A.200 m B.300 m C.400 m D.100 m 3 3 【解析】选B.如图,△BED,△BDC为等腰三角形, BD=ED=600 m,BC=DC=200 m. 在△BCD中,由余弦定理可得cos 2θ= 因为0°<2θ<90°,所以2θ=30°,4θ=60°. 在Rt△ABC中,AB=BCsin 4θ=200 × =300(m). 3 2 2 2600 (200 3) (200 3) 3 .22 600 200 3     － 3 3 2 类型三　测量角度问题(数学建模) 【典例】如图,在海岸A处发现北偏东45°方向,距A处( -1)海里的B处有一艘 走私船.在A处北偏西75°方向,距A处2海里的C处的我方缉私船奉命以10 海 里/小时的速度追截走私船,此时走私船正以10海里/小时的速度从B处向北偏东 30°方向逃窜.问:缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船?并求出所需时 间. 3 3 【思路导引】缉私船要最快截获走私船,缉私船应该走直线,可借助正余弦定理 求解. 【解析】设缉私船应沿CD方向行驶t小时,才能最快截获(在D点)走私船, 则CD=10 t,BD=10t, 在△ABC中,由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos∠CAB= 所以BC= ,又因为 3 2 2( 3 1) 2 2( 3 1) 2 cos 120 6.   － － － 6 BC AC sin CAB sin ABC   ， 所以sin∠ABC= 又0°<∠ABC<60°,所以∠ABC=45°, 所以B点在C点的正东方向上, 所以∠CBD=90°+30°=120°, 在△BCD中,由正弦定理得 所以sin∠BCD= 又因为0°<∠BCD<60°,所以∠BCD=30°, 所以缉私船沿北偏东60°的方向行驶. AC sin CAB 2 sin 120 2 BC 26     ， BD CD sin BCD sin CBD   ， BD sin CBD 10t sin 120 1 .CD 210 3t     又在△BCD中,∠CBD=120°,∠BCD=30°, 所以∠D=30°,BD=BC,即10t= , 所以t= 小时≈15分钟. 所以缉私船应沿北偏东60°的方向行驶,才能最快截获走私船,大约需要15分钟. 6 6 10 【变式探究】 如图,渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处,且与岛屿A相距12海里,渔船乙 以10海里/小时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行,若渔船甲同时从B处出发沿 北偏东α的方向追赶渔船乙,刚好用2小时追上. (1)求渔船甲的速度; (2)求sin α的值. 【解析】(1)AB=12,AC=20,∠BAC=120°, 所以BC2=AB2+AC2-2AB×AC·cos∠BAC=122+202-2×12×20×(- )=784, 所以BC=28,所以v甲= =14(海里/小时). (2)在△ABC中,∠BCA=α,由正弦定理得 所以 即sin α= . 1 2 28 2 AB BC sin sin BAC   ， 12 28 sin 3 2  ， 3 3 14 【解题策略】 1.测量角度问题的基本思路 测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上,画出表示实际问题的图形,并在图 形中标注有关的角和距离,再用正弦定理或余弦定理解三角形,最后将解得的结 果转化为实际问题的解. 2.解决航海问题的三点注意 (1)要搞清方位角(方向角); (2)要弄清不动点(三角形顶点); (3)要根据条件,画出示意图,转化为解三角形问题. 【题组训练】 1.如图所示为一角槽,已知AB⊥AD,AB⊥BE,并测量得AC=3 mm,BC=2 mm, AB= mm,则∠ACB=________.  2 29 【解析】在△ABC中,由余弦定理得cos∠ACB= 因为∠ACB∈(0,π),所以∠ACB= . 答案: 2 2 23 (2 2) ( 29) 2 22 3 2 2     － － ， 3 4  3 4  2.当太阳光与水平面的倾斜角为60°时,一根长为2 m的竹竿如图所示放置,要 使它的影子最长,则竹竿与地面所成的角为 (　　) 　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 A.30° B.60° C.45° D.90° 【解析】选A.设竹竿与地面所成的角为α,影子长为x m. 由正弦定理,得 所以x= sin(120°-α), 因为30°<120°-α<120°, 所以当120°-α=90°,即α=30°时,x有最大值. 故竹竿与地面所成的角为30°时,影子最长. 2 x sin 60 sin(120 )    ，－ 4 3 3 3.某海轮以30海里/小时的速度航行,在点A测得海上面油井P在南偏东60°,向 北航行40分钟后到达B点,测得油井P在南偏东30°,海轮改为北偏东60°的航 向再航行40分钟到达C点. (1)求P,C间的距离; (2)求在点C测得油井P的位置? 【解析】(1)如题图,在△ABP中,AB=30× =20,∠APB=30°,∠BAP=120°, 根据正弦定理得: 解得BP=20 , 在△PBC中,BC=30× =20, 由已知∠PBC=90°,故PC=40. 答:P,C间的距离为40海里. 40 60 20 BP 1 3 2 2  ， 40 60 3 (2)在△PBC中,∠PBC=90°,BC=20,PC=40, 所以sin∠BPC= ,所以∠BPC=30°, 因为∠ABP=∠BPC=30°,所以CP∥AB, 所以在点C测得油井P在C的正南40海里处. 1 2 1.已知A,B两地的距离为10 km,B,C两地的距离为20 km,观测得∠ABC=120°,则 A,C两地的距离为(　　)　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 A.10 km B.10 km C.10 km D.10 km 【解析】选D.AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos 120°=700,所以AC=10 . 课堂检测·素养达标 3 5 7 7 2.如图,两座灯塔A和B与河岸观测站C的距离相等,灯塔A在观察站南偏西40°, 灯塔B在观察站南偏东60°,则灯塔A在灯塔B的 (　　) A.北偏东10° B.北偏西10° C.南偏东80° D.南偏西80° 【解析】选D.由条件及题图可知,∠A=∠B=40°, 因为∠BCD=60°,所以∠CBD=30°, 所以∠DBA=10°,因此灯塔A在灯塔B南偏西80°. 3.(教材二次开发:习题改编)如图所示,为测一树的高度,在地面上选取A,B两 点,从A,B两点分别测得树尖的仰角为30°,45°,且A,B两点之间的距离为60 m, 则树的高度为 (　　) A (15 3 3) m B (30 15 3) m C (30 30 3) m D (15 30 3) m     ． ． ． ． 【解析】选C.设树高为h,则AB= h-h=60,所以h= =30+30 (m). 3 3 60 3 1－ 4.一艘船上午9:30在A处测得灯塔S在它的北偏东30°处,之后它继续沿正北方 向匀速航行,上午10:00到达B处,此时又测得灯塔S在它的北偏东75°处,且此 时它们相距8 海里,此时的航速是________海里/小时. 2 【解析】在△ABS中,易知∠BAS=30°,∠ASB=45°,且边BS=8 , 利用正弦定理可得 即 得AB=16, 又因为从A到B匀速航行时间为半小时, 所以速度应为 =32(海里/小时). 答案:32 2 AB BS sin 45 sin 30  ， AB 8 2 12 22  ， 16 1 2 5.甲船在A处发现乙船在北偏东60°的B处,乙船以每小时a海里的速度向北行 驶,已知甲船的速度是每小时 a海里,问:甲船应沿什么方向前进才能最快与 乙船相遇? 3 【解析】如图,设经过t小时两船在C点相遇, 则在△ABC中,BC=at,AC= at,∠B=180°-60°=120°. 由正弦定理得 则sin∠CAB= 因为0°<∠CAB<90°,所以∠CAB=30°, 所以∠DAC=60°-30°=30°, 即甲船应沿北偏东30°的方向前进才能最快与乙船相遇. 3 BC AC sin CAB sin B  ， 3 BC sin B atsin 120 12 .AC 23at 3    二十五　解三角形的实际应用举例 【基础通关—水平一】 　　　　　　　　　　　　　 (15分钟　30分) 1.某船从A处向北偏东60°方向航行2 千米后到达B处,然后朝南偏西30°的 方向航行6千米到达C处,则A处与C处之间的距离为 (　　)　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 A. 千米 B.2 千米 C.3千米 D.6千米 课时素养评价 3 3 3 【解析】选B.设A处与C处之间的距离为x千米,由余弦定理可得x2=(2 )2+62- 2×2 ×6cos(60°-30°)=12,则x=2 . 3 3 3 【补偿训练】 　　在相距4千米的A,B两点处测量目标C,若∠CAB=75°,∠CBA=60°,则A,C两 点之间的距离是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.4千米 B.2 千米 C.2 千米 D.2千米 6 3 【解析】选B.由于∠CAB=75°,∠CBA=60°, 所以∠ACB=180°-75°-60°=45°, 由正弦定理得 即 解得AC=2 . AC AB sin B sin ACB   ， AC 4 3 2 2 2  ， 6 2.某建筑物上有一根长为20 m的旗杆,由地面上一点测得建筑物顶点的仰角为 45°,旗杆顶端的仰角为60°,则此建筑物的高度最接近于(　　) A.25 m　　B.27 m　　C.29 m　　D.31 m 【解析】选B.设建筑物高度为h米,根据题意画出图形: 由图可得AB=h,则tan 60°= , 解得h= =10( +1)≈27. h 20 h  20 3 1－ 3 3.如图,已知A,B,C是一条直路上的三点,AB与BC各等于1 km,从三点分别望塔M, 在A处看见塔在北偏东30°方向,在B处看见塔在正东方向,在C处看见塔在南偏 东60°方向,则塔到直路ABC的最短距离为 (　　) 3 3A. B. C.1 D. 23 2 【解析】选B.由已知得AB=BC=1,∠AMB=60°,∠CMB=30°, 所以∠CMA=90°,所以AB=BC=1=MB,∠AMB=60°=∠A, 所以AM=1,CM= ,设AC边上的高为h, 则塔到直路ABC的最短距离为h, 所以 ·AM·CM= ·AC·h,解得h= . 3 1 2 1 2 3 2 4.甲、乙两楼相距20米,从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°,从甲楼顶望乙楼顶 的俯角为30°,则甲、乙两楼的高分别为　　　　米、　　　　米.  【解析】如图,过点C作CM⊥AB,垂足为依题意有甲楼的高度为 AB=20·tan 60°=20 (米), 又CM=DB=20米,∠CAM=60°, 所以AM=CM· = 米, 故乙楼的高度为CD= (米). 答案:20 　 3 1 tan 60 20 3 3 20 3 40 320 3 3 3 － 40 3 33 5.如图,要测出山上石油钻井的井架BC的高,从山脚A测得AC=60 m,井架顶B的 仰角45°,井架底的仰角15°,则井架的高BC为　　　　m.  【解析】由题意得∠BAC=45°-15°=30°,∠ABC=45°,且AC=60 m. 在△ABC中,由正弦定理得 即 解得BC=30 . 答案:30 BC AC sin BAC sin B  ， BC 60 sin 30 sin 45  ， 2 2 6.一海轮以20海里/小时的速度向正东航行,它在A点时测得灯塔P在船的北偏 东60°方向上,2小时后船到达B点时测得灯塔P在船的北偏东45°方向上.求: (1)船在B点时与灯塔P的距离; (2)已知以点P为圆心,55海里为半径的圆形水域内有暗礁,那么船继续向正东 航行,有无触礁的危险? 【解析】(1)如图: 在△ABP中,∠PAB=30°,∠ABP=135°, 所以∠APB=15°. 由正弦定理得 所以BP=20( + ). (2)过P作PD⊥AB,D为垂足. PD=BPsin 45°=20 +20<55, 故继续航行有触礁危险. BP AB sin 30 sin 15  ， 26 3 【能力进阶—水平二】 (30分钟　60分) 一、单选题(每小题5分,共20分) 1.已知A,B两地距离为2,B,C两地距离为3,现测得∠ABC= ,则A,C两地的 距离为 (　　) 2 3  A. 13 B. 15 C. 17 D. 19 【解析】选D.因为AB=2,BC=3,∠ABC= , 所以由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos∠ABC=4+9-2×2×3cos =19, 即AC= . 2 3  2 3  19 2.如图,在限速为90 km/h的公路AB旁有一测速站P,已知点P距测速区起点A的 距离为0.08 km,距测速区终点B的距离为0.05 km,且∠APB=60°,现测得某辆 汽车从A点行驶到B点所用的时间为3 s,则此车的速度介于(　　) A.60～70 km/h B.70～80 km/h C.80～90 km/h D.90～100 km/h 【解析】选C.由余弦定理得AB= =0.07, 则此车的速度为 =7×12=84 km/h. 2 20.08 0.05 2 0.08 0.05 cos 60    － 0.07 3 3 600 3.(2020·天津高一检测)雕塑成了大学环境不可分割的一部分,有些甚至能成 为这个大学的象征,在中国科学技术大学校园中就有一座郭沫若的雕像.雕像 由像体AD和底座CD两部分组成.如图,在Rt△ABC中,∠ABC=70.5°,在Rt△DBC 中,∠DBC=45°,且CD=2.3米,则像体AD的高度为 (　　) (最后结果精确到0.1米,参考数据:sin 70.5°≈0.943, cos 70.5°≈0.334,tan 70.5°≈2.824) A.4.0米 B.4.2米 C.4.3米 D.4.4米 【解析】选B.在Rt△BCD中,BC=CD=2.3(米), 在Rt△ABC中,AC=BCtan∠ABC≈2.3×2.824≈6.5(米), 所以AD=AC-CD=6.5-2.3=4.2(米). 4.刘徽是我国魏晋时期著名的数学家,他编著的《海岛算经》中有一问题: “今有望海岛,立两表齐,高三丈,前后相去千步,令后表与前表相直.从前表却 行一百二十三步,人目著地取望岛峰,与表末参合.从后表却行一百二十七步, 人目著地取望岛峰,亦与表末参合.问岛高几何?”意思是:为了测量海岛高度, 立了两根表,高均为5步,前后相距1 000步,令后表与前表在同一直线上,从前 表退行123步,人恰观测到岛峰,从后表退行127步,也恰观测到岛峰,则岛峰的 高度为　　　　(注:3丈=5步,1里=300步) (　　)  A.4里55步 B.3里125步 C.7里125步 D.6里55步 【解析】选A.如图. 由题意BC=DE=5步,设AH=h步,BF=123,DG=127, HF= ,由题意,(HG-127)-(HF-123)=1 000, 即 -4=1 000,解得h=1 255步=4里55步. 【误区警示】不能正确作出图示是本题最易犯的错误. 5 123 h HF  ， 123h 5 127h 123h 5 5－ 二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错 的得0分) 5.某人在A处向正东方向走x km后到达B处,他向右转150°,然后朝新方向走 3 km到达C处,结果他离出发点恰好 km,那么x的可取值为(　　)3 A. 3 B.2 3 C.3 3 D.3 【解析】选AB.由题意得∠ABC=30°, 由余弦定理得cos 30°= 解得x=2 或x= . 2x 9 3 6x  － ， 3 3 6.《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作,全书十八卷共八十 一个问题,分为九类,每类九个问题,《数书九章》中记录了秦九昭的许多创造 性成就,其中在卷五“三斜求积”中提出了已知三角形三边a,b,c求面积的公 式,这与古希腊的海伦公式完全等价,其求法是:“以小斜幂并大斜幂减中斜幂, 余半之,自乘于上,以小斜幂乘大斜幂减上,余四约之,为实,一为从隅,开平方 得积.”若把以上这段文字写成公式,即S= 现有△ABC 满足sin A∶sin B∶sin C=2∶3∶ ,且△ABC的面积S△ABC=6 ,则运用上述 公式判断下列命题正确的是 (　　) 2 2 2 2 2 21 c a b[c a ) ].4 2  －－( 7 3 A.△ABC周长为10+2 B.△ABC三个内角A,C,B满足A+B=2C C.△ABC外接圆直径为 D.△ABC中线CD的长为3 7 4 21 3 2 【解析】选ABC.由正弦定理可得:a∶b∶c=2∶3∶ , 设a=2m,b=3m,c= m(m>0), 所以S= 解得:m=2, 所以△ABC的周长为a+b+c=4+6+2 =10+2 ,A正确; 由余弦定理得:cos C= 所以C= ,因为A+B+C=π, 7 7 2 2 2 2 2 2 21 7m 4m 9m 3 3[7m 4m ) ] m 6 34 2 2   －－( ， 77 2 2 2a b c 16 36 28 1 2ab 2 4 6 2     － － ， 3  所以A+B= ,即A+B=2C,B正确; 由正弦定理知外接圆直径为2R= C正确; 由中线定理得a2+b2= c2+2CD2, 即CD2= × =19, 所以CD= ,D错误. 【光速解题】本题B中可以直接令a=2,b=3,c= ,从而可快速判断. 2 3  c 2 7 4 21 sin C 3sin 3   ， 1 2 1 2 1(16 36 28)2  － 19 7 三、填空题(每小题5分,共10分) 7.如图,一栋建筑物AB高(30-10 )m,在该建筑物的正东方向有一个通信塔CD. 在它们之间的地面M点(B,M,D三点共线)测得对楼顶A、塔顶C的仰角分别是15° 和60°,在楼顶A处测得对塔顶C的仰角为30°,则通信塔CD的高为　　　　m.  3 【解析】由题意可知∠CAM=45°,∠AMC=105°, 由三角形内角和定理可知∠ACM=30°. 在Rt△ABM中,sin∠AMB= ⇒AM= . 在△ACM中,由正弦定理可知: 所以CM= 在Rt△DCM中,sin∠CMD= ,所以CD=CM·sin 60°= =60. 答案:60 AB AM AB sin 15 AM CM sin ACM sin CAM   ， AM sin 45 AB sin 45 .sin 30 sin 15 sin 30        CD CM AB sin 45 sin 60sin 15 sin 30      【补偿训练】 　　如图,为了测量山坡上灯塔CD的高度,某人从高为h=40的楼AB的底部A处 和楼顶B处分别测得仰角为β=60°,α=30°,若山坡高为a=32,则灯塔高度 是　　　　.  【解析】如图,BN⊥DC于N,DC延长线交地面于M, 则DN=BNtan α,DM=AMtan β,而BN=AM,所以BNtan β-BNtan α=h, 即BN(tan 60°-tan 30°)=40,BN= 所以DC=AMtan 60°-CM=BNtan 60°-32 =20 × -32=28. 答案:28 40 20 3tan 60 tan 30   ，－ 3 3 8.海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象,被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密 的最后遗产”,我国拥有世界上最深的海洋蓝洞,若要测量如图所示的蓝洞的 口径A,B两点间的距离,现在珊瑚群岛上取两点C,D,测得CD=80,∠ADB=135°, ∠BDC=∠DCA=15°,∠ACB=120°,则A,B两点的距离为　　　　.  【解析】由已知,△ACD中,∠ACD=15°,∠ADC=150°, 所以∠DAC=15°,由正弦定理得AC= △BCD中,∠BDC=15°,∠BCD=135°, 所以∠DBC=30°,由正弦定理, 80sin 150 40 40( 6 2).sin 15 6 2 4     － CD BC sin CBD sin BDC   ， CD sin BDC 80 sin 15BC 40( 6 2).1sin CBD 2      所以 － 在△ABC中,由余弦定理AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos∠ACB=1 600(8+4 )+ 1 600(8-4 )+2×1600( + )( - )× =1 600×16+1 600×4 =1600×20=32 000,故AB=80 , 即A,B间的距离为80 . 答案:80 3 3 26 26 1 2 5 5 5 四、解答题(每小题10分,共20分) 9.某船在海面A处测得灯塔C在北偏东30°方向,与A相距10 海里,测得灯塔B 在北偏西75°方向,与A相距15 海里,船由A向正北方向航行到D处,测得灯塔 B在南偏西60°方向,这时灯塔C与D相距多少海里?C在D的什么方向? 3 6 【解析】作AE⊥BD于E,CF⊥AD于F, 由题意得AB=15 海里,AC=10 海里, ∠BAD=75°,∠ADB=60°,则∠B=45°, 所以AE= AB=15 海里, 因为∠ADB=60°,所以∠DAE=30°,所以AD=30海里. 因为∠DAC=30°,AC=10 海里, 36 2 2 3 3 所以CF= AC=5 海里,AF=15海里, 所以DF=15海里,又FC=5 海里, 所以CD= =10 海里, 则∠CDF=30°,所以灯塔C与D相距10 海里,C在D南偏东30°方向. 3 1 2 3 2 2CF DF 3 3 10.如图,甲船以每小时30 n mile的速度向正北方航行,乙船按固定方向匀 速直线航行,当甲船位于A1处时,乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1处,此时 两船相距20 n mile,当甲船航行20分钟到达A2处时,乙船航行到甲船的北偏西 120°方向的B2处,此时两船相距10 n mile,问乙船每小时航行多少海里? 2 2 【解析】如图,连接A1B2, 由题意知,A2B2=10 n mile,A1A2=30 × =10 n mile, 所以A1A2=A2B2.又∠A1A2B2=180°-120°=60°, 所以△A1A2B2是等边三角形. 所以A1B2=A1A2=10 n mile. 由题意知A1B1=20 n mile,∠B1A1B2=105°-60°=45°, 2 2 20 60 2 2 在△A1B2B1中,由余弦定理得B1B22=A1B12+A1B22-2A1B1·A1B2·cos 45° =202+(10 )2-2×20×10 × =200,所以B1B2=10 n mile. 因此,乙船速度的大小为 ×60=30 (n mile/h). 答:乙船每小时航行30 n mile. 2 2 2 2 2 10 2 20 2 2 【创新迁移】 根据国际海洋安全公约规定:两国军舰正常状况下(联合军演除外)在公海上的 安全距离为20 mile(即距离不得小于20 mile),否则违反了国际海洋安全规定. 如图,在某公海区域有两条相交成60°的直航线XX′,YY′,交点是O,现有两国 的军舰甲,乙分别在OX,OY上的A,B处,起初OA=30 mile,OB=10 mile,后来军舰 甲沿XX′的方向,乙军舰沿Y′Y的方向,同时以40 mile/h的速度航行. (1)起初两军舰的距离为多少? (2)试判断这两艘军舰是否会违反国际海洋安全规定?并说明理由. 【解析】(1)连接AB,在△ABO中, 由余弦定理得 AB= 所以,起初两军舰的距离为10 mile. 100 900 2 10 30 cos 60 10 7.     － 7 (2)设t小时后,甲、乙两军舰分别运动到C,D, 连接CD,当0 时,CD= 3 4    22 2 (30 40t) 10 40t 2(30 40t) 10 40t cos 60 10 48t 24t 7.       － － － － 3 4    22 2 (40t 30) 10 40t 2(40t 30) 10 40t cos 120 10 48t 24t 7       － － － － ， 所以经过t小时后,甲、乙两军舰距离CD= . 因为CD= 又t>0,所以当t= 时,甲、乙两军舰距离最小为20 mile. 又20≥20,所以甲、乙这两艘军舰不会违反国际海洋安全规定. 210 48t 24t 7t－ 2 2110 48t 24t 7 10 48(t ) 44   － － ， 1 4 【补偿训练】 　　为保障高考的公平性,高考时每个考点都要安装手机屏蔽仪,要求在考点 周围1千米处不能收到手机信号,检查员抽查某市一考点,在考点正西 千米 有一条北偏东60°方向的公路,在此处检查员用手机接通电话,以每小时12千 米的速度沿公路行驶,问最长需要多少分钟检查员开始收不到信号,并至少持 续多长时间该考点才算合格? 3 【解析】如图所示,考点为A,检查开始处为B. 设检查员行驶到公路上C,D两点之间时收不到信号, 即公路上C,D两点到考点的距离均为1千米. 在△ABC中,AB= 千米,AC=1千米,∠ABC=30°, 由正弦定理得sin∠ACB= 所以∠ACB=120°(∠ACB=60°不合题意), 3 sin 30 3ABAC 2    ， 所以∠BAC=30°,所以BC=AC=1千米. 在△ACD中,AC=AD=1千米,∠ACD=60°, 所以△ACD为等边三角形,所以CD=1千米. 因为 ×60=5, 所以在BC上需5分钟,CD上需5分钟. 所以最长需要5分钟检查员开始收不到信号,并持续至少5分钟才算合格. BC 12