2018届二轮复习等比数列及其前n项和课件理（全国通用） 80页

第三节 等比数列及其前 n 项和 【 知识梳理 】 1. 等比数列的有关概念 (1) 定义 : ① 文字语言 : 从 ______ 起 , 每一项与它的前一项的 ___ 都 等于 ___ 一个常数 . ② 符号语言 :______( n∈N * ,q 为非零常数 ). 第 2 项 比 同 (2) 等比中项 : 如果 a,G,b 成等比数列 , 那么 __ 叫做 a 与 b 的等比中项 . 即 :G 是 a 与 b 的等比中项⇔ a,G,b 成等比数 列⇒ G 2 =___. G ab 2. 等比数列的有关公式 (1) 通项公式 :a n =_____. (2) 前 n 项和公式 :S n = a 1 q n-1 na 1 3. 等比数列的性质 (1) 通项公式的推广 :a n =a m ·q n-m (m,n∈N * ). (2) 对任意的正整数 m,n,p,q , 若 m+n=p+q , 则 ______ =______. 特别地 , 若 m+n =2p, 则 _________. a m ·a n a p ·a q a m ·a n =a p 2 (3) 若等比数列前 n 项和为 S n , 则 S m ,S 2m -S m ,S 3m -S 2m 仍成等 比数列 , 即 (S 2m -S m ) 2 =__________(m∈N * , 公比 q≠-1). (4) 数列 {a n } 是等比数列 , 则数列 {pa n }(p≠0,p 是常数 ) 也是 _____ 数列 . S m (S 3m -S 2m ) 等比 (5) 在等比数列 {a n } 中 , 等距离取出若干项也构成一个 等比数列 , 即 a n ,a n+k ,a n+2k ,a n+3k ,… 为等比数列 , 公比为 __. q k 【 特别提醒 】 1. 等比数列的概念的理解 (1) 等比数列中各项及公比都不能为零 . (2) 由 a n+1 =qa n (q≠0), 并不能断言 {a n } 为等比数列 , 还要验证 a 1 ≠0. (3) 等比数列中奇数项的符号相同 , 偶数项的符号相同 . 2. 等比数列 {a n } 的单调性 (1) 满足 或 时 ,{a n } 是递增数列 . (2) 满足 或 时 ,{a n } 是递减数列 . (3) 当 时 ,{a n } 为常数列 . (4) 当 q<0 时 ,{a n } 为摆动数列 . 【 小题快练 】 链接教材　练一练 1.( 必修 5P54 习题 2.4A 组 T8 改编 ) 在 3 与 192 中间插入两个数 , 使它们同这两个数成等比数列 , 则这两个数为 　　　　 . 【 解析 】 设该数列的公比为 q, 由题意知 , 192=3×q 3 ,q 3 =64, 所以 q=4. 所以插入的两个数分别为 3×4=12,12×4=48. 答案 : 12,48 2.( 必修 5P62 习题 2.5B 组 T2 改编 ) 设等比数列 {a n } 的前 n 项和为 S n , 若 则 = 　　　　 . 【 解析 】 S 3 ,S 6 -S 3 ,S 9 -S 6 成等比数列 , 则 (S 6 -S 3 ) 2 =S 3 · (S 9 -S 6 ), 由 知 S 6 = S 3 , 则 =S 3 · (S 9 -S 6 ), 所以 S 9 = S 3 , 所以 答案 : 感悟考题　试一试 3.(2016· 开封模拟 ) 已知 {a n } 为正项等比数列 ,S n 是它 的前 n 项和 , 若 a 1 =16, 且 a 4 与 a 7 的等差中项为 , 则 S 5 的 值为　 ( 　　 ) A.29 B.31 C.33 D.35 【 解析 】 选 B. 由题可得 a 4 +a 7 = × 2, 即 a 1 q 3 +a 1 q 6 = , 解得 q= ( 由于数列是正项等比数列 , 负值舍去 ), 故 S 5 = 4.(2015· 安徽高考 ) 已知数列 {a n } 是递增的等比数列 , a 1 +a 4 =9,a 2 a 3 =8, 则数列 {a n } 的前 n 项和等于 　　　 . 【 解析 】 ⇒a 1 =1,q=2, 所以 S n = =2 n -1. 答案 : 2 n -1 5.(2014· 广东高考 ) 若等比数列 {a n } 的各项均为正数 , 且 a 10 a 11 +a 9 a 12 =2e 5 , 则 lna 1 +lna 2 +…+lna 20 = 　　　 . 【 解析 】 方法一 : 各项均为正数的等比数列 {a n } 中 a 10 a 11 =a 9 a 12 = … =a 1 a 20 , 则 a 1 a 20 =e 5 , lna 1 +lna 2 +…+lna 20 =ln(a 1 a 20 ) 10 =lne 50 =50. 方法二 : 各项均为正数的等比数列 {a n } 中 a 10 a 11 =a 9 a 12 =…=a 1 a 20 , 则 a 1 a 20 =e 5 , 设 lna 1 +lna 2 +…+lna 20 =S, 则 lna 20 +lna 19 +…+lna 1 =S,2S=20ln(a 1 a 20 )=100,S=50. 答案 : 50 考向一 　等比数列的性质及基本量的计算 【 典例 1】 (1)(2015· 全国卷 Ⅱ) 等比数列 {a n } 满足 a 1 =3,a 1 +a 3 +a 5 =21, 则 a 3 +a 5 +a 7 = 　 ( 　　 ) A.21 B.42 C.63 D.84 ( 本题源自 A 版必修 5P51 例 3) (2)(2016· 石家庄模拟 ) 设 {a n } 是公比大于 1 的等比数列 ,S n 为数列 {a n } 的前 n 项和 . 已知 S 3 =7, 且 a 1 +3,3a 2 ,a 3 +4 构成等差数列 , 则 a n = 　　　　 . 【 解题导引 】 (1) 根据 a 3 +a 5 +a 7 与 a 1 +a 3 +a 5 的联系求解 . (2) 将已知条件转化为 a 2 的方程组 , 求得 a 2 , 再利用 S 3 =7 求得公比 q, 进而求解 . 【 规范解答 】 (1) 选 B. 设等比数列的公比为 q, 则 a 1 +a 1 q 2 +a 1 q 4 =21, 又因为 a 1 =3, 所以 q 4 +q 2 -6=0, 解得 q 2 =2,a 3 +a 5 +a 7 =(a 1 +a 3 +a 5 )q 2 =42. (2) 由已知得 : 解得 a 2 =2. 设数列 {a n } 的公比为 q, 由 a 2 =2, 可得 a 1 = ,a 3 =2q. 又 S 3 =7, 可知 +2+2q=7, 即 2q 2 -5q+2=0, 解得 q 1 =2,q 2 = . 由题意得 q>1, 所以 q=2, 所以 a 1 =1. 故数列 {a n } 的通项为 a n =2 n-1 . 答案 : 2 n-1 【 规律方法 】 等比数列运算的思想方法 (1) 方程思想 : 设出首项 a 1 和公比 q, 然后将通项公式或前 n 项和公式转化为方程 ( 组 ) 求解 . (2) 整体思想 : 当所给条件只有一个时 , 可将已知和所求结果都用 a 1 ,q 表示 , 寻求两者联系 , 整体代换即可求 . (3) 利用性质 : 运用等比数列性质 , 可以化繁为简、优化解题过程 . 易错提醒 : 在使用等比数列的前 n 项和公式时 , 如果不确定 q 与 1 的关系 , 一般要用分类讨论的思想 , 分 q=1 和 q≠1 两种情况 . 【 变式训练 】 (2016· 芜湖模拟 ) 在等比数列 {a n } 中 , a 3 =7, 前 3 项和 S 3 =21, 则公比 q 的值为　 ( 　　 ) A.1 B.- C.1 或 - D.-1 或 【 解析 】 选 C. 根据已知条件得 ② ÷① 得 整理得 2q 2 -q-1=0, 解得 q=1 或 q=- . 【 加固训练 】 1. 已知 x,y,z∈R , 若 -1,x,y,z,-3 成等比数列 , 则 xyz 的 值为　 ( 　　 ) A.-3 　 B.±3 C.-3 　　 D.±3 【 解析 】 选 C. 由等比中项知 y 2 =3, 所以 y=± , 又因为 y 与 -1,-3 符号相同 , 所以 y=- ,y 2 =xz , 所以 xyz=y 3 =-3 . 2. 已知 {a n } 为等比数列 ,a 4 +a 7 =2,a 5 a 6 =-8, 则 a 1 +a 10 = 　 ( 　　 ) A.7 　 B.5 　 C.-5 　 D.-7 【 解析 】 选 D. 设数列 {a n } 的公比为 q, 所以 a 1 +a 10 =-7. 3.(2016· 长治模拟 ) 已知等比数列 {a n } 为递增数列 , 且 a 5 2 =a 10 ,2(a n +a n+2 )=5a n+1 , 则数列 {a n } 的通项公式 a n = 　　　　 . 【 解析 】 设公比为 q, 由 a 5 2 =a 10 得 (a 1 q 4 ) 2 =a 1 · q 9 , 即 a 1 =q. 又由 2(a n +a n+2 )=5a n+1 , 得 2q 2 -5q+2=0, 解得 所以 a n =a 1 · q n-1 =2 n . 答案 : 2 n 考向二 　等比数列前 n 项和及性质的应用 【 典例 2】 (1)(2016· 岳阳模拟 ) 设等比数列 {a n } 的前 n 项和为 S n , 若 则 = 　 ( 　　 ) (2)(2016· 成都模拟 ) 设数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ,a 1 =1, 且数列 {S n } 是以 2 为公比的等比数列 . ① 求数列 {a n } 的通项公式 ; ② 求 a 1 +a 3 +…+a 2n+1 . 【 解题导引 】 (1) 将已知及所求结果都用 a 1 ,q 表示 , 或利用等比数列的和的性质求解 . (2) 先求出 S n , 再求出 a n , 最后转化为等比数列求和 . 【 规范解答 】 (1) 选 B. 方法一 : 若公比 q=1, 则 所以公比 q≠1, 由 得 方法二 : 因为 {a n } 为等比数列 , 由 , 设 S 6 =3a,S 3 =a, 所以 S 3 ,S 6 -S 3 ,S 9 -S 6 为等比数列 , 即 a,2a,S 9 -S 6 成等比数 列 , 所以 S 9 -S 6 =4a, 解得 S 9 =7a, 所以 (2)① 因为 S 1 =a 1 =1, 且数列 {S n } 是以 2 为公比的等比数列 , 所以 S n =2 n-1 , 又当 n≥2 时 ,a n =S n -S n-1 =2 n-2 (2-1)=2 n-2 . 所以 ② a 3 ,a 5 ,…,a 2n+1 是以 2 为首项 ,4 为公比的等比数列 , 所以 a 3 +a 5 +…+a 2n+1 = 所以 a 1 +a 3 +…+a 2n+1 = 【 易错警示 】 解答典例 2(2) 会出现以下错误 : 把 a 3 ,a 5 ,…,a 2n+1 认为是以 1 为首项 , 以 2 为公比的等比数列 , 项数误认为是 2n-1. 【 规律方法 】 1. 与等比数列前 n 项和 S n 相关的分类讨论 (1) 运用求和公式时针对公比 q 的讨论 . (2) 针对项数 n 的奇偶的讨论 . 2. 与等比数列前 n 项和 S n 相关的结论 (1) 项的个数的“奇偶”性质 : 等比数列 {a n } 中 , 公比为 q. ① 若共有 2n 项 , 则 S 偶 ∶ S 奇 =q; ② 若共有 2n+1 项 , 则 S 奇 -S 偶 = (q≠1 且 q≠-1). (2) 分段求和 :S n+m =S n +q n S m ⇔q n = (q 为公比 ). 【 变式训练 】 设等比数列 {a n } 的公比为 q, 前 n 项和 S n >0(n=1,2,3,…). 则 q 的取值范围为 　　　　 . 【 解析 】 因为 {a n } 为等比数列 ,S n >0, 可以得到 a 1 =S 1 >0,q≠0, 当 q=1 时 ,S n =na 1 >0; 当 q≠1 时 ,S n = >0, 即 >0(n=1,2,3,…), 上式等价于不等式组 (n=1,2,3,…),① 或 (n=1,2,3,…).② 解①式得 q>1, 解②式 , 由于 n 可为奇数 , 可为偶数 , 得 -10, 因此 ,S 20 =30, S 20 -S 10 =20,S 40 =70+80=150. 2.(2016· 抚州模拟 ) 已知等比数列 {a n } 的首项为 1, 项数是偶数 , 所有的奇数项之和为 85, 所有的偶数项之和为 170, 则这个等比数列的项数为　 ( 　　 ) A.4 　　 B.6 　 C.8 　 D.10 【 解析 】 选 C. 由题意得 a 1 +a 3 +…=85,a 2 +a 4 +…=170, 所 以数列 {a n } 的公比 q=2, 由数列 {a n } 的前 n 项和 S n = 得 85+170= , 解得 n=8. 3. 已知 {a n } 是公差不为零的等差数列 ,a 1 =1, 且 a 1 ,a 3 ,a 9 成等比数列 . (1) 求数列 {a n } 的通项 . (2) 求数列 { } 的前 n 项和 S n . 【 解析 】 (1) 由题设知公差 d≠0, 由 a 1 =1,a 1 ,a 3 ,a 9 成等 比数列得 解得 d=1 或 d=0( 舍去 ), 故 {a n } 的通项 a n =1+(n-1)×1=n. (2) 由 (1) 知 =2 n , 由等比数列前 n 项和公式得 S n =2+2 2 +2 3 +…+2 n = =2 n+1 -2. 考向三 　等比数列的识别与证明 【 考情快递 】 命题方向 命题视角 等比数列的识别 在具体的问题情境中 , 识别数列的等比关系 , 并解决相应的问题 等比数列的证明 主要考查等比数列的定义及递推关系的处理 【 考题例析 】 命题方向 1: 等比数列的识别 【 典例 3】 (1)(2014· 重庆高考 ) 对任意等比数列 {a n }, 下列说法一定正确的是　 ( 　　 ) A.a 1 ,a 3 ,a 9 成等比数列 B.a 2 ,a 3 ,a 6 成等比数列 C.a 2 ,a 4 ,a 8 成等比数列 D.a 3 ,a 6 ,a 9 成等比数列 (2)(2016· 赣南模拟 ) 在等比数列 {a n } 中 , 若 a 1 = , a 4 =-4, 则 |a 1 |+|a 2 |+…+|a n |= 　　　　 . 【 解题导引 】 (1) 由 {a n } 是等比数列 , 寻找各选项中三个项的关系即可识别 . (2) 先求出 a n , 再求出 |a n | 后求解 . 【 规范解答 】 (1) 选 D. 设等比数列的公比为 q, 则 a 3 =a 1 q 2 ,a 6 =a 1 q 5 ,a 9 =a 1 q 8 , 满足 (a 1 q 5 ) 2 =a 1 q 2 · a 1 q 8 , 即 a 6 2 =a 3 · a 9 . (2) 因为 a 4 = q 3 =-4, 所以 q=-2, 所以 a n = 所以 |a n |=2 n-2 , 故数列 {|a n |} 是首项为 , 公比为 2 的等比数列 , 所以 |a 1 |+|a 2 |+…+|a n |= (1+2+2 2 +…+2 n-1 )= 答案 : 2 n-1 - 【 母题变式 】 1. 若本例题 (2) 条件不变 , 求 【 解析 】 因为 a n = 所以 故数列 { } 是首项为 4, 公比为 的等比数列 , 所以 2. 若本例题 (2) 条件不变 , 求 a 1 a 2 +a 2 a 3 +…+a n a n+1 . 【 解析 】 因为 a n = 所以 a n · a n+1 = · (-2) n-1 · · (-2) n = · (-2) 2n-1 . 故数列 {a n · a n+1 } 是首项为 - , 公比为 4 的等比数列 , a 1 a 2 +a 2 a 3 +a 3 a 4 +…+a n a n+1 命题方向 2: 等比数列的证明 【 典例 4】 (2016· 深圳模拟 ) 数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ,a 1 =1,S n+1 =4a n +2(n∈N * ), 设 b n =a n+1 -2a n . (1) 求证 :{b n } 是等比数列 . (2) 设 c n = 求证 :{c n } 是等比数列 . 【 解题导引 】 (1) 根据等比数列的定义证明 . (2) 先求出 a n , 再根据定义证明 . 【 规范解答 】 (1)a n+2 =S n+2 -S n+1 =4a n+1 +2-4a n -2 =4a n+1 -4a n . 因为 S 2 =a 1 +a 2 =4a 1 +2, 所以 a 2 =5. 所以 b 1 =a 2 -2a 1 =3. 所以数列 {b n } 是公比为 2, 首项为 3 的等比数列 . (2) 由 (1) 知 b n =3 · 2 n-1 =a n+1 -2a n , 所以 所以数列 { } 是等差数列 , 公差为 3, 首项为 2. 所以 =2+(n-1)×3=3n-1. 所以 a n =(3n-1) · 2 n-2 , 所以 c n =2 n-2 . 所以 所以数列 {c n } 为等比数列 . 【 技法感悟 】 1. 等比数列的识别依据 (1) 若数列 {a n },{b n }( 项数相同 ) 是等比数列 , 则 {λa n }, ,{a n 2 },{a n ·b n }, (λ≠0) 仍然是等比数列 . (2)a n =c·q n (c,q 均是不为 0 的常数 ,n∈N * )⇔{a n } 是等 比数列 . (3) 数列 {a n } 的前 n 项和 S n =k·q n -k(k 为常数且 k≠0, q≠0,1)⇒{a n } 是等比数列 . 2. 证明等比数列的两种基本方法 (1) 定义法 : 证明 为常数 . (2) 等比中项法 : 证明 a n+1 2 =a n ·a n+2 (a n ·a n+1 ·a n+2 ≠0, n∈N * ). 【 题组通关 】 1.(2016· 淮南模拟 ) 设 {a n } 是各项为正数的无穷数列 ,A i 是边长为 a i ,a i+1 的矩形的面积 (i=1,2,…), 则 {A n } 为等比数列的充要条件是　 ( 　　 ) A.{a n } 是等比数列 B.a 1 ,a 3 ,…,a 2n-1 ,… 或 a 2 ,a 4 ,…,a 2n ,… 是等比数列 C.a 1 ,a 3 ,…,a 2n-1 ,… 和 a 2 ,a 4 ,…,a 2n ,… 均是等比数列 D.a 1 ,a 3 ,…,a 2n-1 ,… 和 a 2 ,a 4 ,…,a 2n ,… 均是等比数列 , 且公比相同 【 解析 】 选 D.A n =a n a n+1 , 故 满足该条件的只有 A,D, 而显然 D 的范围较大 , 符合题意 . 2.(2016· 长沙模拟 ) 已知 {a n } 是首项为 1 的等比数列 , S n 是 {a n } 的前 n 项和 , 且 9S 3 =S 6 , 则数列 的前 5 项和 为 　　　　 . 【 解析 】 显然公比 q ≠ 1, 由 S 6 =S 3 +q 3 S 3 且由已知 S 6 =9S 3 , 所以 S 3 +q 3 · S 3 =9S 3 , 故 q 3 =8, 解得 q=2, 则数列 是以 1 为首项 , 为公比的等比数列 , 由求和公式可得数列 的前 5 项和 T 5 = . 答案 : 3.(2016· 武汉模拟 ) 设 {a n } 是公比为 q 的等比数列 ,|q|>1, 令 b n =a n +1(n=1,2,…). 若数列 {b n } 有连续四项在集合 {-53,-23,19,37,82} 中 , 则 6q= 　　　　 . 【 解析 】 因为 b n =a n +1, 所以 a n =b n -1, 而 {b n } 有连续四项在集合 {-53,-23,19,37,82} 中 , 所以 {a n } 有连续四项在集合 {-54,-24,18,36,81} 中 , 因为 {a n } 是公比为 q 的等比数列 ,|q|>1. 又 {a n } 中连续四项至少有一项为负 , 所以 q<0, 所以 {a n } 中的连续四项为 -24,36,-54,81, 因为 q= 所以 6q=-9. 答案 : -9 4.(2016· 成都模拟 ) 设数列 {a n } 的前 n 项和为 S n , 若对于任意的正整数 n 都有 S n =2a n -3n, 设 b n =a n +3(a n ≠-3). 求证 : 数列 { b n } 是等比数列 , 并求 a n . 【 解析 】 由 S n =2a n -3n 对于任意的正整数都成立 , 得 S n+1 =2a n+1 -3(n+1), 两式相减 , 得 S n+1 -S n =2a n+1 -3(n+1)-2a n +3n, 所以 a n+1 =2a n+1 -2a n -3, 即 a n+1 =2a n +3, 所以 a n+1 +3=2(a n +3), 又 a n +3≠0, 故 对一 切正整数都成立 , 所以数列 { b n } 是公比为 2 的等比数列 . 由已知得 :S 1 =2a 1 -3, 即 a 1 =2a 1 -3, 所以 a 1 =3, 所以 b 1 =a 1 +3=6, 即 b n =6 · 2 n-1 . 故 a n =6 · 2 n-1 -3=3 · 2 n -3.