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- 2021-06-11 发布
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咸阳市2018~2019学年度第二学期期末教学质量检测
高二数学(文科)试题
第Ⅰ卷(选择题共60分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)
1.已知复数满足(其中为虚数单位),则( )
A. 1 B. 2 C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
先求出复数z,然后根据公式,求出复数的模即可.
【详解】,,.故选D.
【点睛】本题主要考查复数的模计算,较基础.
2.已知函数在处的导数为l,则( )
A. 1 B. C. 3 D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据导数的定义可得到, ,然后把原式等价变形可得结果.
【详解】因为,且函数在处的导数为l,所以,故选B.
【点睛】本题主要考查导数的定义及计算,较基础.
3.已知抛物线的准线方程为,则的值为( )
A. 8 B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据抛物线的方程,得出,即可求解,得到答案.
【详解】由抛物线的准线方程为,所以,解得,故选C.
【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程,以及抛物线的几何性质的应用,其中解答中熟记抛物线的几何性质是解答的关键,着重考查了推理与运算能,属于容易题.
4.若命题“”是假命题,“”也是假命题,则( )
A. 命题“”为真命题,命题“”为假命题
B. 命题“”为真命题,命题“”为真命题
C. 命题“”为假命题,命题“”为假命题
D. 命题“”为假命题,命题“”为真命题
【答案】D
【解析】
【分析】
根据复合命题“”是假命题,“”是假命题,判断出的真假,即可求解.
【详解】根据复合命题“”是假命题,“”是假命题,
可得至少有一个为假命题,且是真命题,所以为假命题,
故选D.
【点睛】本题主要考查了复合命题的真假判定及应用,其中解答中复合命题的真假判定方法是解答的关键,着重考查了推理能力,属于基础题.
5.设函数,则( )
A. 函数无极值点 B. 为的极小值点
C. 为的极大值点 D. 为的极小值点
【答案】A
【解析】
【分析】
求出函数的导函数,即可求得其单调区间,然后求极值.
【详解】解:由函数可得:,
∴函数在R上单调递增.
∴函数的单调递增区间为.
∴函数无极值点.
故选:A.
【点睛】本题主要考查了利用导数求函数的极值,属于基础题。
6.已知是虚数单位,,则“”是“为纯虚数”的( )
A. 充分而不必要条件
B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出.
【详解】因为=,
当时,=2i,是纯虚数,
当为纯虚数时,,
故选:A
【点睛】本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义,考查充分必要条件的判定,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.
7.下列关于命题的说法正确的是( )
A. 命题“若,则”的否命题是“若,则”
B. 命题“若,则,互为相反数”的逆命题是真命题
C. 命题“,”的否定是“,”
D. 命题“若,则”的逆否命题是“若,则”
【答案】B
【解析】
【分析】
利用四种命题的逆否关系以及命题的否定,判断选项的正误,即可求解.
【详解】由题意,命题“若,则”的否命题是:“若,则”所以A不正确;
命题“若,则互为相反数”的逆命题是:若互为相反数,则,是真命题,正确;
命题“,”的否定是:“,”所以C不正确;
命题“若,则”的逆否命题是:“若,则”所以D不正确;
故选:B.
【点睛】本题主要考查了命题的真假的判断与应用,涉及命题的真假,命题的否定,四种命题的逆否关系,,着重考查了推理能力,属于基础题.
8.已知椭圆的左、右焦点分别为、,短轴长为,离心率为,过点的直线交椭圆于,两点,则的周长为( )
A. 4 B. 8 C. 16 D. 32
【答案】C
【解析】
分析】
利用椭圆的定义,结合,即可求解,得到答案.
【详解】由题意,椭圆的短轴长为,离心率为,
所以,,则,所以,
所以的周长为,
故选:C.
【点睛】本题主要考查了椭圆的定义、标准方程,以及简单的几何性质的应用,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.
9.二维空间中圆的一维测度(周长),二维测度(面积),观察发现;三维空间中球的二维测度(表面积),三维测度(体积),观察发现.则由四维空间中“超球”的三维测度,猜想其四维测度( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
因为,,由此类比可得,,从而可得到结果.
【详解】因为二维空间中圆的一维测度(周长),二维测度(面积),观察发现;三维空间中球的二维测度(表面积),三维测度(体积),观察发现.所以由四维空间中“超球”的三维测度,猜想其四为测度W,应满足 ,又因为,所以,故选A.
【点睛】本题主要考查类比推理以及导数的计算.
10.执行如图所示的程序框图,输出的值等于( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
模拟执行程序框图,依次写出每次循环得到的的值,当时不满足条件,退出循环,输出的值为,即可得解.
【详解】模拟执行程序框图,可得,
执行循环体,,
满足条件;
满足条件;
…
观察规律可知,当时,满足条件,;
此时,不满足条件,退出循环,输出.
故选:C.
【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图,解题时应模拟程序框图的运行过程,即可得出正确的结论,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.
11.已知关于的线性回归方程为,且变量,之间的一组相关数据如下表所示,则下列说法错误的是( )
0
1
2
3
0.8
3.1
4.3
A 变量,之间呈正相关关系
B 可以预测当时,
C. 由表中数据可知,该回归直线必过点
D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据线性回归方程的定义以及相关的结论,逐项判断,可得结果.
【详解】选项A,因为线性回归方程为,其中,所以变量,之间呈正相关关系,正确;选项B,当时,,正确;选项C,根据表格数据可得, , ,因为回归直线必过点,所以,正确;选项D,
,解得,错误.故选D.
【点睛】本题主要考查线性相关与线性回归方程的应用.
12.已知定义在上的可导函数的图象如图所示为函数的导函数,则关于的不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
通过图象得到函数的单调性,从而得到导数在某区间的符号,通过讨论的符号即可得到不等式的解集,得到答案.
【详解】由图象,可知的解为和,
函数在上增,在上减,在上增,
∴在上大于0,在小于0,在大于0,
当时,解得;
当时,解得.
综上所述,不等式的解集为.
故选:B.
【点睛】本题主要考查了函数的图象,导数的运算以及其他不等式的解法,分类讨论的思想的渗透,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.
第Ⅱ卷(非选择题共90分)
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.已知复数满足(为虚数单位),则________.
【答案】
【解析】
【分析】
把已知等式变形,再由复数代数形式的乘除运算化简得答案.
【详解】由题意,复数,可得,
所以.
故答案为:.
【点睛】本题主要考查了复数代数形式的乘除运算,考查复数的基本概念,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.
14.已知双曲线的一条渐近线方程为,则该双曲线的离心率为________.
【答案】
【解析】
【分析】
由双曲线渐近线方程得,从而可求,最后用离心率的公式,可算出该双曲线的离心率,即可求解.
【详解】由题意,双曲线的一条渐近线方程为,
所以,所以,
所以.
故答案为:.
【点睛】本题主要考查了双曲线的渐近线方程,求双曲线的离心率,着重考查了双曲线的标准方程、基本概念和简单几何性质等知识,属于基础题.
15.先后抛掷三次一枚质地均匀的硬币,落在水平桌面上,设事件
为“第一次正面向上”,事件为“后两次均反面向上”,则________.
【答案】
【解析】
【分析】
先列出事件与事件的基本事件的个数,再利用独立事件与条件概率的求法可得,即可求解.
【详解】由题意,先后抛掷三次一枚质地均匀的硬币,事件A为“第一次正面向上”,
其基本事件为(正,正,正),(正,正,反),(正,反,正),(正,反,反)共4个,
在第一次正面向上的条件下,“后两次均反面向上”,其基本事件为(正,反,反)共1个,
即,
故答案为:.
【点睛】本题主要考查了独立事件与条件概率的计算,其中解答中熟记条件概率的计算公式,合理计算是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.
16.现将甲、乙、丙、丁四个人安排到座位号分别是1,2,3,4的四个座位上,他们分别有以下要求:甲:我不坐座位号为1和2的座位;乙:我不坐座位号为1和4的座位;丙:我的要求和乙一样;丁:如果乙不坐座位号为2的座位,那么我就不坐座位号为1的座位.那么坐在座位号为3的座位上的是________.
【答案】丙
【解析】
【分析】
根据题意,分类讨论,即可得出符合题意的结果,得到答案.
【详解】由题意,若乙坐3号位置,则丁坐2号或4号位置,甲、丙两人必定有1人坐1号位置,与题意矛盾,
若乙坐2号位置,则丙坐3号位置,甲坐4号位置,丁坐1号位置,符合题意,
故答案为:丙.
【点睛】本题主要考查了合情推理的应用,其中解答中认真审题,合理分类讨论是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.求下列函数的导数:
(Ⅰ);
(Ⅱ).
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ).
【解析】
【分析】
(1)由导数的计算公式,进而计算,即可求解,得到答案;
(2)由导数的乘法法则,进行计算、变形,即可求解,得到答案.
【详解】(Ⅰ)由导数的计算公式,可得.
(Ⅱ)由导数的乘法法则,可得.
【点睛】本题主要考查了导数的计算,其中解答中熟练掌握导数的计算公式是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.
18.一个正三角形等分成4个全等的小正三角形,将中间的一个小正三角形挖掉(如图1),再将剩余的每个正三角形分成4个全等的小正三角形,并将中间的一个小正三角形挖掉,得图2,如此继续下去……
(Ⅰ)图3共挖掉多少个正三角形?
(Ⅱ)第次挖掉多少个正三角形?第个图形共挖掉多少个正三角形?
【答案】(Ⅰ)13;(Ⅱ).
【解析】
【分析】
(1)根据图(3)共挖掉正三角形个数,即可求解,得到答案;
(2)求得,得到,求得数列的通项公式和前n项公式,即可求解.
【详解】(Ⅰ)由题意,图3共挖掉正三角形个数为.
(Ⅱ)设第次挖掉正三角形的个数为,则,,,
可得,即,可得∴,
所以第个图形共挖掉正三角形个数为.
【点睛】本题主要考查了合情推理的应用,其中解答中认真观察,得到图形的计算规律是解答的关键,着重考查了分析解决问题的能力,属于基础题.
19.设抛物线的焦点为,直线与抛物线交于不同的两点,,线段中点的横坐标为2,且.
(Ⅰ)求抛物线的标准方程;
(Ⅱ)若真线(斜率存在)经过焦点,求直线的方程.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ).
【解析】
【分析】
(I)设出点的坐标,求出线段中点的横坐标,再利用焦点弦求得的值,即可得出抛物线的标准方程;
(II)设出过焦点的直线方程,与抛物线方程联立,消去,利用根与系数的关系求出斜率,即可写出直线的方程.
【详解】(Ⅰ)由题意,设点,,
则线段中点的横坐标为,所以,
又,得,
所以抛物线的标准方程为.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,抛物线的焦点为,
故设直线的方程为,,
联立,消去得,
∴,解得,所以直线的方程为.
【点睛】本题主要考查了抛物线的定义与性质,以及直线与抛物线的位置关系的应用,解答此类题目,通常联立直线方程与抛物线联立方程组,应用一元二次方程根与系数的关系进行求解,此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足,导致错解,能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.
20.某社区为了解居民参加体育锻炼的情况,从该社区随机抽取了18名男性居民和12名女性居民,对他们参加体育锻炼的情况进行问卷调查.现按是否参加体育锻炼将居民分成两类:甲类(不参加体育锻炼)、乙类(参加体育锻炼),结果如下表:
甲类
乙类
男性居民
3
15
女性居民
6
6
(Ⅰ)根据上表中的统计数据,完成下面的列联表;
男性居民
女性居民
总计
不参加体育锻炼
参加体育锻炼
总计
(Ⅱ)通过计算判断是否有90%的把握认为参加体育锻炼与否与性别有关?
附:,其中.
0.10
0.05
0.01
2.706
3.841
6.635
【答案】(Ⅰ)列联表见解析;(Ⅱ)有90%的把握认为参加体育锻炼与否与性别有关.
【解析】
【分析】
(Ⅰ)直接根据给出的数据填入表格即可;(Ⅱ)根据列联表,代入公式,计算出的观测值与临界值进行比较,进而得出结论.
【详解】解:(Ⅰ)填写的列联表如下:
男性居民
女性居民
总计
不参加体育锻炼
3
6
9
参加体育锻炼
15
6
21
总计
18
12
30
(Ⅱ)计算,
∴有90%的把握认为参加体育锻炼与否与性别有关.
【点睛】本题主要考查列联表及独立性检验,较基础.
21.已知椭圆的离心率为,直线与圆相切.
(1)求椭圆的方程;
(2)设直线与椭圆的交点为,求弦长.
【答案】(1);(2).
【解析】
【分析】
(1)利用直线与圆相切,先求出的值,再结合椭圆的离心率求出的值,最终确定椭圆的方程;(2)先设点,联立直线与椭圆的方程,消去可得,然后根据二次方程根与系数的关系得到,最后利用弦长计算公式求解即可.
【详解】(1)由直线与圆相切得,
由得,
∴椭圆方程为;
(2),
,
设交点坐标分别为,
则,
从而
所以弦长.
考点:1.直线与圆的位置关系;2.椭圆的标准方程及其几何性质;3.直线与椭圆的位置关系.
22.已知函数.
(Ⅰ)若曲线在点处的切线方程为,求的单调区间;
(Ⅱ)若方程在上有两个实数根,求实数取值范围.
【答案】(Ⅰ)的单调递增区间为,单调递减区间为;(Ⅱ).
【解析】
【分析】
(Ⅰ)利用点是直线和的公共点,求得,再利用导数求解.
(Ⅱ)方程在上有俩个实数根,即方程在上有两个实数根,令,利用导数即可求解.
【详解】(Ⅰ)由函数,则,
由题意可得,且,
解得,,所以,则,
当时,,函数单调递增,
当时,,函数单调递减,
所以的单调递增区间为,单调递减区间为.
(Ⅱ)方程在上有两个实数根,
即方程在上有两个实数根,
令,则,
当时,,单调递增;
当时,,单调递减,
所以,又,,所以,
即实数的取值范围是.
【点睛】本题主要考查了导数几何意义,以及利用导数研究函数的单调性与最值的应用,着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力,通常要构造新函数,利用导数研究函数的单调性,求出最值,进而得出相应的含参不等式,从而求出参数的取值范围;也可分离变量,构造新函数,直接把问题转化为函数的最值问题.