数学卷·2018届河北省衡水市冀州中学高二上学期第三次月考数学试卷（理科） （解析版） 17页

‎2016-2017学年河北省衡水市冀州中学高二（上）第三次月考数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题共13个小题，每小题5分，共65分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．设全集U=R，集合A={x|}，B={x|1＜2x＜8}，则（∁UA）∩B等于（　　）‎ A．[﹣1，3） B．（0，2] C．（1，2] D．（2，3）‎ ‎2．已知幂函数y=f（x）的图象过点（，），则log4f（2）的值为（　　）‎ A． B．﹣ C．2 D．﹣2‎ ‎3．已知P是△ABC所在平面内一点，，现将一粒红豆随机撒在△ABC内，则红豆落在△PBC内的概率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．已知正数x，y满足，则z=4﹣x•（）y的最小值为（　　）‎ A．1 B． C． D．‎ ‎5．一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图是菱形，则该几何体的侧面积为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．我校在模块考试中约有1000人参加考试，其数学考试成绩ξ～N（90，a3）（a＞0），统计结果显示数学考试成绩在70分到110分之间的人数约为总人数的，则此次数学考试成绩不低于110分的学生人数约为（　　）‎ A．600 B．400 C．300 D．200‎ ‎7．下表是降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为=0.7x+0.35，那么表中m值为（　　）‎ x ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ y ‎2.5‎ m ‎4‎ ‎4.5‎ A．4 B．3.15 C．4.5 D．3‎ ‎8．已知正四棱锥的侧棱与底面的边长都为，则这个四棱锥的外接球的表面积为（　　）‎ A．12π B．36π C．72π D．108π ‎9．将标号为1，2，3，4，5，6的6个小球放入3个不同的盒子中，若每盒放2个，则标号为1，6的小球不在同一盒中的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．已知函数f（x）=|ln（x﹣1）|，若f（a）=f（b），则a+2b的取值范围为（　　）‎ A．（4，+∞） B． C．[6，+∞） D．‎ ‎11．在二项式的展开式中，各项系数之和为A，各项二项式系数之和为B，且A+B=72，则展开式中常数项的值为（　　）‎ A．6 B．9 C．12 D．18‎ ‎12．按图所示的程序框图运算：若输出k=2，则输入x的取值范围是（　　）‎ A．（20，25] B．（30，32] C．（28，57] D．（30，57]‎ ‎13．数列{an} 中，an+1+（﹣1）nan=2n﹣1，则数列{an}前12项和等于（　　）‎ A．76 B．78 C．80 D．82‎ ‎　‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎14．的展开式中的常数项为　　．‎ ‎15．若α∈（0，π），且3cos2α=sin（﹣α），则sin2α的值为　　．‎ ‎16．过点（3，1）作圆（x﹣1）2+y2=1的两条切线，切点分别为A、B，则直线AB的方程为　　．‎ ‎17．已知O为△ABC的外心，||=16，||=10，若，且32x+25y=25，则||=　　•‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎18．已知函数．‎ ‎（1）求f（x）的最大值及取得最大值时的x集合；‎ ‎（2）设△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=1，f（A）=0．求b+c的取值范围．‎ ‎19．设数列{an}的前n项和为Sn，己知a1═1，Sn+1=2Sn+n+1（n∈N*）．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）若bn=，数列{bn}的前n项和为Tn，n∈N*，求Tn．‎ ‎20．如图，在底面是直角梯形的四棱锥P﹣ABCD中，∠DAB=90°，PA⊥平面ABCD，PA=AB=BC=3，梯形上底AD=1．‎ ‎（1）求证：BC⊥平面PAB；‎ ‎（2）求面PCD与面PAB所成锐二面角的余弦值．‎ ‎21．电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查．下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”‎ ‎（1）根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料你是否认为“体育迷“与性别有关？（注：0.95以上把握说明有关）‎ 非体育迷 体育迷 合计 男 女 ‎10‎ ‎55‎ 合计 ‎（2）将上述调查所得到的频率视为概率．现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样方法每次抽取1名观众，抽取3次，记被抽取的3名观众中的“体育迷“人数为X．若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列，期望E（X）和方差D（X）‎ 附：X2=，‎ P（X2≥k）‎ ‎0.05‎ ‎0.01‎ k ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎22．已知函数f（x）=m+logax（a＞0且a≠1）的图象过点（8，2），点P（3，﹣1）关于直线x=2的对称点Q在f（x）的图象上．‎ ‎（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；‎ ‎（Ⅱ）令g（x）=2f（x）﹣f（x﹣1），求g（x）的最小值及取得最小值时x的值．‎ ‎23．已知圆C：x2+y2+2x﹣4y+3=0．‎ ‎（1）若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等，求此切线的方程；‎ ‎（2）从圆C外一点P（x1，y1）向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|=|PO|，求使得|PM|取得最小值的点P的坐标．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年河北省衡水市冀州中学高二（上）第三次月考数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共13个小题，每小题5分，共65分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．设全集U=R，集合A={x|}，B={x|1＜2x＜8}，则（∁UA）∩B等于（　　）‎ A．[﹣1，3） B．（0，2] C．（1，2] D．（2，3）‎ ‎【考点】指数函数单调性的应用；交、并、补集的混合运算．‎ ‎【分析】分别解出集合A，B，然后根据集合的运算求解即可．‎ ‎【解答】解：因为集合A={x|}=（﹣∞，﹣1]∪（2，+∞），‎ B={x|1＜2x＜8}=（0，3），‎ 又全集U=R，‎ ‎∴∁UA=（﹣1，2]，‎ ‎∴（∁UA）∩B=（0，2]，‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎2．已知幂函数y=f（x）的图象过点（，），则log4f（2）的值为（　　）‎ A． B．﹣ C．2 D．﹣2‎ ‎【考点】幂函数图象及其与指数的关系；对数的运算性质；函数的零点．‎ ‎【分析】先利用待定系数法将点的坐标代入解析式求出函数解析式，再将x用2代替求出函数值．‎ ‎【解答】解：由设f（x）=xa，图象过点（，），‎ ‎∴（）a=，解得a=，‎ ‎∴log4f（2）=log42=．‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎3．已知P是△ABC所在平面内一点，，现将一粒红豆随机撒在△ABC内，则红豆落在△PBC内的概率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】几何概型．‎ ‎【分析】根据P是△ABC所在平面内一点，，得点P是△ABC的重心．再根据几何概型公式，将△PBC的面积与△ABC的面积相除可得本题的答案．‎ ‎【解答】解：∵P是△ABC所在平面内一点，，‎ ‎∴P是△ABC的重心，‎ ‎∴点P到BC的距离等于A到BC的距离的．‎ ‎∴S△PBC=S△ABC，‎ 将一粒黄豆随机撒在△ABC内，黄豆落在△PBC内的概率为P=．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎4．已知正数x，y满足，则z=4﹣x•（）y的最小值为（　　）‎ A．1 B． C． D．‎ ‎【考点】简单线性规划的应用．‎ ‎【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识进行求解即可．‎ ‎【解答】解： =2﹣2x•2﹣y=2﹣2x﹣y，‎ 设m=﹣2x﹣y，要使z最小，则只需求m的最小值即可．‎ 作出不等式组对应的平面区域如图：‎ 由m=﹣2x﹣y得y=﹣2x﹣m，‎ 平移直线y=﹣2x﹣m，由平移可知当直线y=﹣2x﹣m，经过点B时，‎ 直线y=﹣2x﹣m的截距最大，此时m最小．‎ 由，‎ 解得，即B（1，2），‎ 此时m=﹣2﹣2=﹣4，‎ ‎∴的最小值为，‎ 故选：C ‎　‎ ‎5．一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图是菱形，则该几何体的侧面积为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】由三视图求面积、体积．‎ ‎【分析】通过三视图判断几何体的特征，利用三视图的数据，求出几何体的侧面积即可．‎ ‎【解答】解：该几何体是高为1，底面对角线长为2的菱形构成的四棱锥A﹣BCDE，如图所示，‎ 在直角三角形ABE中，AB=1，BE=，∴AE=，‎ 在三角形AED中，AE=，ED=，AD=，‎ ‎∴AE2+DE2=AD2，∴三角形AED是直角三角形，‎ 则该几何体的侧面积为S=2×（）+2×（）=+，‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎6．我校在模块考试中约有1000人参加考试，其数学考试成绩ξ～N（90，a3）（a＞0），统计结果显示数学考试成绩在70分到110分之间的人数约为总人数的，则此次数学考试成绩不低于110分的学生人数约为（　　）‎ A．600 B．400 C．300 D．200‎ ‎【考点】古典概型及其概率计算公式．‎ ‎【分析】由已恬得考试成绩在70分到110分之间的人数为600，落在90分到110分之间的人数为300人，由此能求出数学考试成绩不低于110分的学生人数．‎ ‎【解答】解：∵我校在模块考试中约有1000人参加考试，其数学考试成绩ξ～N（90，a3）（a＞0），‎ 统计结果显示数学考试成绩在70分到110分之间的人数约为总人数的，‎ ‎∴考试成绩在70分到110分之间的人数为1000×=600，‎ 则落在90分到110分之间的人数为300人，‎ 故数学考试成绩不低于110分的学生人数约为500﹣300=200．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎7．下表是降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为=0.7x+0.35，那么表中m值为（　　）‎ x ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ y ‎2.5‎ m ‎4‎ ‎4.5‎ A．4 B．3.15 C．4.5 D．3‎ ‎【考点】线性回归方程．‎ ‎【分析】根据表格中所给的数据，求出这组数据的横标和纵标的平均值，表示出这组数据的样本中心点，根据样本中心点在线性回归直线上，代入得到关于m的方程，解方程即可．‎ ‎【解答】解：∵根据所给的表格可以求出==4.5， ==‎ ‎∵这组数据的样本中心点在线性回归直线上，‎ ‎∴=0.7×4.5+0.35，‎ ‎∴m=3，‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎8．已知正四棱锥的侧棱与底面的边长都为，则这个四棱锥的外接球的表面积为（　　）‎ A．12π B．36π C．72π D．108π ‎【考点】球的体积和表面积；球内接多面体．‎ ‎【分析】先画出图形，正四棱锥外接球的球心在它的底面的中心，然后根据勾股定理解出球的半径，最后根据球的表面积公式解之即可．‎ ‎【解答】解：如图，设正四棱锥底面的中心为O，则 在直角三角形ABC中，AC=×AB=6，∴AO=CO=3，‎ 在直角三角形PAO中，PO==3，‎ ‎∴正四棱锥的各个顶点到它的底面的中心的距离都为3，‎ ‎∴正四棱锥外接球的球心在它的底面的中心，且球半径r=3，‎ 球的表面积S=4πr2=36π 故选B．‎ ‎　‎ ‎9．将标号为1，2，3，4，5，6的6个小球放入3个不同的盒子中，若每盒放2个，则标号为1，6的小球不在同一盒中的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】古典概型及其概率计算公式．‎ ‎【分析】将标号为1，2，3，4，5，6的6个小球放入3个不同的盒子中，每盒放2个，基本事件总数n==90，标号为1，6的小球不在同一盒中，包含的基本事件个数m=﹣3C42=90﹣18=72，由此能求出标号为1，6的小球不在同一盒中的概率．‎ ‎【解答】解：将标号为1，2，3，4，5，6的6个小球放入3个不同的盒子中，每盒放2个，‎ 基本事件总数n==90，‎ 先从3个盒子中选一个放标号为1，6的小球，有3种不同的选法，‎ 再从剩下的4个小球中选两个，放一个盒子有C42=6种放法，‎ 余下放入最后一个盒子，‎ ‎∴1，6的小球在同一盒中的放法共有3C42=18种，‎ 故标号为1，6的小球不在同一盒中，包含的基本事件个数为：‎ m=﹣3C42=90﹣18=72，‎ ‎∴标号为1，6的小球不在同一盒中的概率为：‎ p===．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎10．已知函数f（x）=|ln（x﹣1）|，若f（a）=f（b），则a+2b的取值范围为（　　）‎ A．（4，+∞） B． C．[6，+∞） D．‎ ‎【考点】函数的图象．‎ ‎【分析】根据函数的解析式德，得到b=+1，再利用基本不等式即可求出2a+b的范围 ‎【解答】解：∵函数f（x）=|ln（x﹣1）|，f（a）=f（b），且x＞1，‎ ‎∴﹣ln（a﹣1）=ln（b﹣1），‎ ‎∴=b﹣1，‎ ‎∴b=+1，‎ ‎∴a+2b=a++2=a﹣1++3≥3+2=3+2，当且仅当a=+1取等号，‎ ‎∴a+2b的取值范围是[3+2，+∞）‎ 故选：B ‎　‎ ‎11．在二项式的展开式中，各项系数之和为A，各项二项式系数之和为B，且A+B=72，则展开式中常数项的值为（　　）‎ A．6 B．9 C．12 D．18‎ ‎【考点】二项式定理的应用．‎ ‎【分析】通过给x 赋值1得各项系数和，据二项式系数和公式求出B，列出方程求出n，利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为0得常数项．‎ ‎【解答】解：在二项式的展开式中，‎ 令x=1得各项系数之和为4n ‎∴A=4n 据二项展开式的二项式系数和为2n ‎∴B=2n ‎∴4n+2n=72解得n=3‎ ‎∴=的展开式的通项为=‎ 令得r=1‎ 故展开式的常数项为T2=3C31=9‎ 故选项为B ‎　‎ ‎12．按图所示的程序框图运算：若输出k=2，则输入x的取值范围是（　　）‎ A．（20，25] B．（30，32] C．（28，57] D．（30，57]‎ ‎【考点】程序框图．‎ ‎【分析】根据框图的流程计算k=1时输出x值与k=2时输出x的值，利用k=1时不满足条件x＞115，k=2时满足条件x＞11，求得x的范围．‎ ‎【解答】解：由程序框图知：第一次循环x=2x+1，k=1；‎ 第二次循环x=2（2x+1）+1，k=2，‎ 当输出k=2时，应满足，得28＜x≤57．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎13．数列{an} 中，an+1+（﹣1）nan=2n﹣1，则数列{an}前12项和等于（　　）‎ A．76 B．78 C．80 D．82‎ ‎【考点】数列的求和；数列递推式．‎ ‎【分析】由题意可得 a2﹣a1=1，a3+a2=3，a4﹣a3=5，a5+a4=7，a6﹣a5=9，a7+a6=11，…a12﹣a11=21，变形可得 a3+a1=2，a4+a2=8，a7+a5=2，a8+a6=24，a9+a11=2，a12+a10=40，利用数列的结构特征，求出{an}的前12项和．‎ ‎【解答】解：∵an+1+（﹣1）nan=2n﹣1，‎ ‎∴a2﹣a1=1，a3+a2=3，a4﹣a3=5，a5+a4=7，a6﹣a5=9．a7+a6=11，…a11+a10=19，a12﹣a11=21‎ ‎∴a1+a3=2，a4+a2=8…a12+a10=40‎ ‎∴从第一项开始，依次取2个相邻奇数项的和都等于2，从第二项开始，依次取2个相邻偶数项的和构成以8为首项，以16为公差的等差数列．‎ 以上式子相加可得，S12=a1+a2+…+a12‎ ‎=（a1+a3）+（a5+a7）+（a9+a11）+（a2+a4）+（a6+a8）+（a10+a12）=3×2+8+24+40=78‎ 故选B．‎ ‎　‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎14．的展开式中的常数项为　﹣5　．‎ ‎【考点】二项式定理．‎ ‎【分析】展开式的常数项为展开式的常数项与x﹣2的系数和；利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数分别为0，﹣2即得．‎ ‎【解答】解：的展开式的通项为Tr+1=C6r（﹣1）rx6﹣2r，‎ 当r=3时，T4=﹣C63=﹣20，的展开式有常数项1×（﹣20）=﹣20，‎ 当r=4时，T5=﹣C64=15，的展开式有常数项x2×15x﹣2=15，‎ 因此常数项为﹣20+15=﹣5‎ 故答案为﹣5‎ ‎　‎ ‎15．若α∈（0，π），且3cos2α=sin（﹣α），则sin2α的值为　1，或﹣　．‎ ‎【考点】二倍角的正弦．‎ ‎【分析】由题意可得3cos2α﹣3sin2α=cosα﹣sinα，求得cosα﹣sinα=0，或3（cosα+sinα）=，分类讨论求得sin2α 的值．‎ ‎【解答】解：∵α∈（0，π），且3cos2α=sin（﹣α），‎ ‎∴3cos2α﹣3sin2α=cosα﹣sinα，‎ ‎∴cosα﹣sinα=0，或3（cosα+sinα）=．‎ 若cosα﹣sinα=0，则α=，sin2α=1；‎ 若3（cosα+sinα）=，平方求得sin2α=﹣，‎ 故答案为：1，或﹣．‎ ‎　‎ ‎16．过点（3，1）作圆（x﹣1）2+y2=1的两条切线，切点分别为A、B，则直线AB的方程为　2x+y﹣3=0　．‎ ‎【考点】圆的切线方程．‎ ‎【分析】求出以（3，1）、C（1，0）为直径的圆的方程，将两圆的方程相减可得公共弦AB的方程．‎ ‎【解答】解：圆（x﹣1）2+y2=1的圆心为C（1，0），半径为1，‎ 以（3，1）、C（1，0）为直径的圆的方程为（x﹣2）2+（y﹣）2=，‎ 将两圆的方程相减可得公共弦AB的方程2x+y﹣3=0，‎ 故答案为：2x+y﹣3=0．‎ ‎　‎ ‎17．已知O为△ABC的外心，||=16，||=10，若，且32x+25y=25，则||=　10　•‎ ‎【考点】三角形五心；向量的模；平面向量的基本定理及其意义．‎ ‎【分析】若，则，根据向量数量积的几何意义分别求出，后，得出关于x，y的代数式，利用32x+25y=25整体求解．‎ ‎【解答】解：如图．‎ 若，则，‎ O为外心，D，E为中点，OD，OE分别为两中垂线．‎ ‎=||（||cos∠DAO）=||×AD=||××||=16×8=128‎ 同样地， =||2=100‎ 所以2=128x+100y=4（32x+25y）=100‎ ‎∴||=10‎ 故答案为：10．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎18．已知函数．‎ ‎（1）求f（x）的最大值及取得最大值时的x集合；‎ ‎（2）设△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=1，f（A）=0．求b+c的取值范围．‎ ‎【考点】解三角形；三角函数中的恒等变换应用；三角函数的最值．‎ ‎【分析】（1）把函数解析式的第三项利用二倍角的余弦函数公式化简，整理后，再利用两角和与差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的余弦函数，根据余弦函数的值域可得出f（x）的值域，进而确定出函数f（x）的最大值，根据余弦函数的图象与性质可得出取得最大值时x的范围，确定出此时x的集合；‎ ‎（2）由第一问得到的解析式，根据f（A）=0，利用余弦函数的图象与性质得出A=kπ+（k∈Z），并根据A为三角形的内角，确定出A的度数，由a，sinA的值，利用正弦定理用sinB和sinC分别表示出b与c，代入b+c中，并根据A的度数，求出B+C的度数，用B表示出C代入b+c化简后的式子中，利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由B的范围求出这个角的范围，根据正弦函数的图象与性质得出此时正弦函数的值域，即可确定出b+c的取值范围．‎ ‎【解答】（本小题满分14分）‎ 解：（1）f（x）=1﹣sin2x+2cos2x ‎=cos2x﹣sin2x+2 ‎ ‎=2cos（2x+）+2，‎ ‎∵﹣1≤cos（2x+）≤1，‎ ‎∴0≤2cos（2x+）+2≤4，‎ ‎∴f（x）的最大值为4，‎ 当2x+=2kπ（k∈Z），即x=kπ﹣（k∈Z）时，函数f（x）取最大值，‎ 则此时x的集合为{x|x=kπ﹣，k∈Z}；‎ ‎（2）由f（A）=0得：2cos（2A+）+2=0，即cos（2A+）=﹣1，‎ ‎∴2A+=2kπ+π（k∈Z），即A=kπ+（k∈Z），‎ 又0＜A＜π，∴A=，‎ ‎∵a=1，sinA=，‎ 由正弦定理==得：b==sinB，c=sinC，‎ 又A=，∴B+C=，即C=﹣B，‎ ‎∴b+c=（sinB+sinC）= [sinB+sin（﹣B）]‎ ‎=（sinB+cosB+sinB）‎ ‎=2（sinB+cosB）‎ ‎=2sin（B+），‎ ‎∵A=，∴B∈（0，），‎ ‎∴B+∈（，），‎ ‎∴sin（B+）∈（，1]，‎ 则b+c的取值范围为（1，2]．‎ ‎　‎ ‎19．设数列{an}的前n项和为Sn，己知a1═1，Sn+1=2Sn+n+1（n∈N*）．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）若bn=，数列{bn}的前n项和为Tn，n∈N*，求Tn．‎ ‎【考点】数列的求和；数列递推式．‎ ‎【分析】（1）由条件求得a2=3，当n≥2时，将n换为n﹣1，两式相减可得an+1=2an+1，两边加1，由等比数列的通项公式即可得到所求通项；‎ ‎（2）bn=n•（）n，运用数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式，化简整理，即可得到所求和．‎ ‎【解答】解：（1）由a1=1，Sn+1=2Sn+n+1①，可得 S2=2S1+2，即a1+a2=2a1+2，解得a2=3，‎ 当n≥2时，Sn=2Sn﹣1+n②，‎ ‎①﹣②，可得an+1=2an+1，‎ 即有an+1+1=2（an+1），‎ 可得an+1=（a2+1）•2n﹣2=2n，对n=1也成立，‎ 则数列{an}的通项公式为an=2n﹣1（n∈N*）；‎ ‎（2）bn===n•（）n，‎ Tn=1•（）1+2•（）2+3•（）3+…+n•（）n，‎ Tn=1•（）2+2•（）3+3•（）4+…+n•（）n+1，‎ 两式相减可得， Tn=+（）2+（）3+…+（）n﹣n•（）n+1‎ ‎=﹣n•（）n+1，‎ 化简可得Tn=2﹣．‎ ‎　‎ ‎20．如图，在底面是直角梯形的四棱锥P﹣ABCD中，∠DAB=90°，PA⊥平面ABCD，PA=AB=BC=3，梯形上底AD=1．‎ ‎（1）求证：BC⊥平面PAB；‎ ‎（2）求面PCD与面PAB所成锐二面角的余弦值．‎ ‎【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．‎ ‎【分析】（Ⅰ）推导出BC⊥AB，BC⊥PA，由此能证明BC⊥平面PAB．‎ ‎（Ⅱ）延长BA，CD交于Q点，过A作AH⊥PQ，垂足为H，连DH，则∠AHD是面PCD与面PBA所成的二面角的平面角，由此能求出面PCD与面PAB所成二面角的余弦值．‎ ‎【解答】证明：（Ⅰ）∵在底面是直角梯形的四棱锥P﹣ABCD中，∠DAB=90°，‎ PA⊥平面ABCD，PA=AB=BC=3，梯形上底AD=1．‎ ‎∴BC∥AD且∠DAB=90°，BC⊥AB，‎ 又PA⊥平面ABCD，∴BC⊥PA，‎ 而PA∩PB=A，∴BC⊥平面PAB…‎ ‎（Ⅱ）延长BA，CD交于Q点，过A作AH⊥PQ，垂足为H，连DH，‎ 由（Ⅰ）及AD∥BC知：AD⊥平面PAQ，‎ ‎∴AD⊥PQ且AH⊥PQ，‎ ‎∴PQ⊥平面HAD，即PQ⊥HD．‎ ‎∴∠AHD是面PCD与面PBA所成的二面角的平面角．…‎ 由题意得，，∴，‎ ‎∴，∴cos∠AHD=．‎ ‎∴面PCD与面PAB所成二面角的余弦值为．‎ ‎　‎ ‎21．电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查．下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”‎ ‎（1）根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料你是否认为“体育迷“与性别有关？（注：0.95以上把握说明有关）‎ 非体育迷 体育迷 合计 男 女 ‎10‎ ‎55‎ 合计 ‎（2）将上述调查所得到的频率视为概率．现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样方法每次抽取1名观众，抽取3次，记被抽取的3名观众中的“体育迷“人数为X．若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列，期望E（X）和方差D（X）‎ 附：X2=，‎ P（X2≥k）‎ ‎0.05‎ ‎0.01‎ k ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎【考点】独立性检验的应用．‎ ‎【分析】（1）根据所给的频率分布直方图得出数据列出列联表，再代入公式计算得出K2，与3.841比较即可得出结论；‎ ‎（2）由题意，用频率代替概率可得出从观众中抽取到一名“体育迷”的概率是，由于X～B（3，），从而给出分布列，再由公式计算出期望与方差即可．‎ ‎【解答】解：（1）由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“体育迷”有25人，从而2×2列联表如下：‎ 非体育迷 体育迷 合计 男 ‎30‎ ‎15‎ ‎45‎ 女 ‎45‎ ‎10‎ ‎55‎ 合计 ‎75‎ ‎25‎ ‎100‎ 将2×2列联表中的数据代入公式计算，得 K2=≈3.030．…‎ 因为3.030＜3.841，‎ 所以我们没有充分理由认为“体育迷”与性别有关． …‎ ‎（2）由频率分布直方图知抽到“体育迷”的频率为0.25，将频率视为概率，‎ 即从观众中抽取一名“体育迷”的概率．…‎ 由题意知X～B（3，），从而X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎…，．…‎ ‎　‎ ‎22．已知函数f（x）=m+logax（a＞0且a≠1）的图象过点（8，2），点P（3，﹣1）关于直线x=2的对称点Q在f（x）的图象上．‎ ‎（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；‎ ‎（Ⅱ）令g（x）=2f（x）﹣f（x﹣1），求g（x）的最小值及取得最小值时x的值．‎ ‎【考点】基本不等式；函数解析式的求解及常用方法．‎ ‎【分析】（Ⅰ）首先求出点P关于直线x=2的对称点，然后把点（8，2）和P的对称点的坐标代入函数f（x）的解析式联立解方程组可求f（x）的解析式；‎ ‎（Ⅱ）把f（x）的解析式代入函数g（x）=2f（x）﹣f（x﹣1），整理后把得到的函数中对数式的真数运用基本不等式求出最小值，然后借助于对数函数的单调性可求函数g（x）的最小值．‎ ‎【解答】解析：（Ⅰ）点P（3，﹣1）关于直线x=2的对称点Q的坐标为Q（1，﹣1）‎ 结合题设知，可得，即，‎ 解得m=﹣1，a=2，故函数解析式为f（x）=﹣1+log2x．‎ ‎（Ⅱ）g（x）=2f（x）﹣f（x﹣1）=2（﹣1+log2x）﹣[﹣1+log2（x﹣1）]=（x＞1），‎ ‎∵，‎ 当且仅当即x=2时，“=”成立，‎ 而函数y=log2x在（0，+∞）上单调递增，则，‎ 故当x=2时，函数g（x）取得最小值1．‎ ‎　‎ ‎23．已知圆C：x2+y2+2x﹣4y+3=0．‎ ‎（1）若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等，求此切线的方程；‎ ‎（2）从圆C外一点P（x1，y1）向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|=|PO|，求使得|PM|取得最小值的点P的坐标．‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系．‎ ‎【分析】（1）当截距不为0时，根据圆C的切线在x轴和y轴的截距相等，设出切线方程x+y=a，然后利用点到直线的距离公式求出圆心到切线的距离d，让d等于圆的半径r，列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值，得到切线的方程；当截距为0时，设出切线方程为y=kx，同理列出关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值，得到切线的方程；‎ ‎（2）根据圆切线垂直于过切点的半径，得到三角形CPM为直角三角形，根据勾股定理表示出点P的轨迹方程，由轨迹方程得到动点P的轨迹为一条直线，所以|PM|的最小值就是 ‎|PO|的最小值，求出原点到P轨迹方程的距离即为|PO|的最小值，然后利用两点间的距离公式表示出P到O的距离，把P代入动点的轨迹方程，两者联立即可此时P的坐标．‎ ‎【解答】解：（1）∵切线在两坐标轴上的截距相等，‎ ‎∴当截距不为零时，设切线方程为x+y=a，‎ 又∵圆C：（x+1）2+（y﹣2）2=2，‎ ‎∴圆心C（﹣1，2）到切线的距离等于圆的半径，‎ 即，‎ 解得：a=﹣1或a=3，‎ 当截距为零时，设y=kx，‎ 同理可得或，‎ 则所求切线的方程为x+y+1=0或x+y﹣3=0或或．‎ ‎（2）∵切线PM与半径CM垂直，‎ ‎∴|PM|2=|PC|2﹣|CM|2．‎ ‎∴（x1+1）2+（y1﹣2）2﹣2=x12+y12．‎ ‎∴2x1﹣4y1+3=0．‎ ‎∴动点P的轨迹是直线2x﹣4y+3=0．‎ ‎∴|PM|的最小值就是|PO|的最小值．‎ 而|PO|的最小值为原点O到直线2x﹣4y+3=0的距离，‎ ‎∴由，可得 故所求点P的坐标为．‎