2017-2018学年四川省金堂中学高二下学期期中考试数学（文）试题（Word版） 10页

‎2017-2018学年四川省金堂中学高二下学期期中考试 ‎（数学文科)‎ 命题人：沈建华 审题人:李鸿 注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 ‎ ‎ 2、请将答案正确填写在答题卡上 一．选择题（共12小题）‎ ‎1．已知复数，则||=（　　）‎ A．4 B．6 C．8 D．10‎ ‎2．若集合A={， 2， 3， 4}（i是虚数单位），B={1，﹣1}，则A∩B等于（　　）‎ A．{﹣1} B．{1} C．{1，﹣1} D．∅‎ ‎3．复数（　　）‎ A． B． C． D． ‎ ‎4．在极坐标系中，圆ρ=2cosθ与方程（ρ＞0）所表示的图形的交点的极坐标是（　　）‎ A．（1，1） B． C． D．‎ ‎5．若复数z=sinθ﹣+（cosθ﹣）i是纯虚数，则tanθ的值为（　　）‎ A． B．﹣ C． D．﹣‎ ‎6．化极坐标方程ρ2cosθ﹣ρ=0为直角坐标方程为（　　）‎ A．x2+y2=0或y=1 B．x=1 C．x2+y2=0或x=1 D．y=1‎ ‎7．直线（t为参数）和圆x2+y2=16交于A，B两点，则线段AB的中点坐标为（　　）‎ A．（3，﹣3） B． C． D．‎ ‎8．在极坐标系中，已知点，则线段AB的长度是（　　）‎ A．1 B． C．7 D．5‎ ‎9．设复数z=（x﹣1）+yi（x，y∈R），若|z|≤1，则y≥x的概率为（　　）‎ A．+ B．+ C．﹣ D．﹣‎ ‎10．参数方程（t为参数）所表示的曲线是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎11．将曲线+=1按φ：变换后的曲线的参数方程为（θ为参数）（　　）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎12．已知为函数的导函数，且，若，则方程有且仅有一个根时，的取值范围是（　　）‎ A．（﹣∞，0）∪{1} B．（﹣∞，1] C．（0，1] D．[1，+∞）‎ ‎　‎ 二．填空题（共4小题）‎ ‎13．已知椭圆C：（θ为参数）离心率e=　 　．‎ ‎14．在同一平面直角坐标系中，曲线C经过伸缩变换后，变为曲线C′：（x′﹣5）2 + （y′+6）2=1．则曲线C的周长为　 　．‎ ‎15．若点（x，y）在圆（θ为参数）上，则x2+y2的最小值是　 　．‎ ‎16．在极坐标系中，已知点A（1，），点P是曲线ρsin2θ=4cosθ上任意一点，设点P到直线ρcosθ+1=0的距离为d，则丨PA丨+d的最小值为　 　．‎ ‎　‎ 三．解答题（共6小题）‎ ‎17．在直角坐标系xOy中，直线C的参数方程为为参数），曲线P在以该直角坐标系的原点O的为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系下的方程为ρ2﹣4ρcosθ+3=0．‎ ‎（1）求直线C的普通方程和曲线P的直角坐标方程；‎ ‎（2）设直线C和曲线P的交点为A、B，求|AB|．‎ ‎18．某教研部门对本地区甲、乙、丙三所学校高一年级进行教学质量抽样调查，甲、乙、丙三所学校高一年级班级数量（单位：个）如表所示．研究人员用分层抽样的方法从这三所学校中共抽取6个班级进行调查． ‎ 学校 甲 乙 丙 数量 ‎4‎ ‎12‎ ‎8‎ ‎（1）求这6个班级中来自甲、乙、丙三所学校的数量；‎ ‎（2）若在这6个班级中随机抽取2个班级做进一步调查，‎ ‎（i）列举出所有可能的抽取结果；‎ ‎（ii）求这2个班级来自同一个学校的概率．‎ ‎19．已知函数f（x）=sin2x﹣cos2x．‎ ‎（1）求f（x）的最小周期和最小值；‎ ‎（2）将函数f（x）的图象上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，得到函数g（x）的图象．当x∈时，求g（x）的值域．‎ ‎20．已知Sn为数列{an}的前n项和，且满足Sn﹣2an=n﹣4．‎ ‎（1）证明{Sn﹣n+2}为等比数列；‎ ‎（2）设数列{Sn}的前n项和为Tn，求Tn．‎ ‎21．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，点M（2，1）在椭圆C上．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）直线l平行于OM，且与椭圆C交于A，B两个不同的点，若∠AOB为钝角，求直线l在y轴上的截距m的取值范围．‎ ‎22．已知函数f（x）=lnx﹣ax，g（x）=x2﹣（2a+1）x+（a+1）lnx．‎ ‎（1）当a=1时，求函数f（x）的极大值；‎ ‎（2）当a≥1时，求证：方程f（x）=g（x）有唯一实根．‎ 高2019届高二下期期中考试题答案 ‎（数学文科)‎ 一．选择题（共12小题）‎ DCACB CDDCD DA ‎　‎ 二．填空题（共4小题）‎ ‎13． 　‎ ‎14． 　‎ ‎15． 9　‎ ‎16．‎ ‎　‎ 三．解答题（共6小题）‎ ‎17．在直角坐标系xOy中，直线C的参数方程为为参数），曲线P在以该直角坐标系的原点O的为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系下的方程为ρ2﹣4ρcosθ+3=0．‎ ‎（1）求直线C的普通方程和曲线P的直角坐标方程；‎ ‎（2）设直线C和曲线P的交点为A、B，求|AB|．‎ ‎【分析】（1）参数t得到曲线C的普通方程为x﹣y﹣1=0，利用x=ρcosθ，y=ρsinθ，即可得出P的直角坐标方程；‎ ‎（2）利用点到直线的距离公式可求出圆心到直线的距离d和弦长l=即可得出．‎ ‎【解答】解：（1）由曲线C的参数方程为为参数），‎ 消去参数t得到曲线C的普通方程为x﹣y﹣1=0；‎ ‎∵x=ρcosθ，y=ρsinθ，曲线P在极坐标系下的方程为ρ2﹣4ρcosθ+3=0，‎ ‎∴曲线P的直角坐标方程为x2+y2﹣4x+3=0．‎ ‎（2）曲线P可化为（x﹣2）2+y2=1，表示圆心在（2，0），半径r=1的圆，‎ 则圆心到直线C的距离为，‎ 故|AB|==．‎ ‎　‎ ‎18．某教研部门对本地区甲、乙、丙三所学校高一年级进行教学质量抽样调查，甲、乙、丙三所学校高一年级班级数量（单位：个）如表所示．研究人员用分层抽样的方法从这三所学校中共抽取6个班级进行调查． ‎ 学校 甲 乙 丙 数量 ‎4‎ ‎12‎ ‎8‎ ‎（Ⅰ）求这6个班级中来自甲、乙、丙三所学校的数量；‎ ‎（Ⅱ）若在这6个班级中随机抽取2个班级做进一步调查，‎ ‎（i）列举出所有可能的抽取结果；‎ ‎（ii）求这2个班级来自同一个学校的概率．‎ ‎【分析】（Ⅰ）样本容量与总体中的个体的比是=，由此能求出样本中包含的三所学校的个体数量．‎ ‎（Ⅱ）（i）这6个班级来自甲、乙、丙三所学校的样本分别为甲；乙1，乙2，乙3；丙1，丙2．利用列举法能求出抽取的这2个班级构成的所有基本事件．‎ ‎（ii）每个样本补抽到的机会均等，∴这些基本事件的出现是等可能的，设事件A：“抽取的这2个班级来自同一个学校”，则事件A包含的基本事件有{乙1，乙2}，{乙1，乙3}，{乙2，乙3}，{丙1，丙2}，共4个，由此能求出这2个班级来自同一个学校的概率．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）∵样本容量与总体中的个体的比是=，‎ ‎∴样本中包含的三所学校的个体数量分别是=1，12×=3，8×=2．‎ ‎（Ⅱ）（i）这6个班级来自甲、乙、丙三所学校的样本分别为甲；乙1，乙2，乙3；丙1，丙2．‎ 则抽取的这2个班级构成的所有基本事件为：‎ ‎{甲，乙1}，{甲，乙2}，{甲，乙3}，{甲，丙1}，{甲，丙2}，‎ ‎{乙1，乙2}，{乙1，乙3}，{乙1，丙1}，{乙1，丙2}，‎ ‎{乙2，乙3}，{乙2，丙1}，{乙2，丙2}，‎ ‎{乙3，丙1}，{乙3，丙2}，{丙1，丙2}，共15个，‎ ‎（ii）每个样本补抽到的机会均等，∴这些基本事件的出现是等可能的，‎ 设事件A：“抽取的这2个班级来自同一个学校”，‎ 则事件A包含的基本事件有：‎ ‎{乙1，乙2}，{乙1，乙3}，{乙2，乙3}，{丙1，丙2}，共4个，‎ ‎∴这2个班级来自同一个学校的概率P（A）=．‎ ‎　‎ ‎19．已知函数f（x）=sin2x﹣cos2x．‎ ‎（Ⅰ）求f（x）的最小周期和最小值；‎ ‎（Ⅱ）将函数f（x）的图象上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，得到函数g（x）的图象．当x∈时，求g（x）的值域．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得f（x）=sin（2x﹣）﹣，从而可求最小周期和最小值；‎ ‎（Ⅱ）由函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换可得g（x）=sin（x﹣）﹣，由x∈[，π]时，可得x﹣的范围，即可求得g（x）的值域．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=sin2x﹣cos2x=sin2x﹣（1+cos2x）=sin（2x﹣）﹣，‎ ‎∴f（x）的最小周期T==π，最小值为：﹣1﹣=﹣．‎ ‎（Ⅱ）由条件可知：g（x）=sin（x﹣）﹣‎ 当x∈[，π]时，有x﹣∈[，]，从而sin（x﹣）的值域为[，1]，那么sin（x﹣）﹣的值域为：[，]，‎ 故g（x）在区间[，π]上的值域是[，]．‎ ‎　‎ ‎20．已知Sn为数列{an}的前n项和，且满足Sn﹣2an=n﹣4．‎ ‎（I）证明{Sn﹣n+2}为等比数列；‎ ‎（II）设数列{Sn}的前n项和为Tn，求Tn．‎ ‎【分析】（I）由Sn﹣2an=n﹣4．n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1，可得Sn﹣2（Sn﹣Sn﹣1）=n﹣4，化为：Sn﹣n+2=2[Sn﹣1﹣（n﹣1）+2]，即可证明．‎ ‎（Ⅱ）由（I）知：Sn﹣n+2=2n+1，可得：Sn=2n+1+n﹣2．利用等比数列与等差数列的求和公式即可得出．‎ ‎【解答】解：（I）∵Sn﹣2an=n﹣4．n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1，‎ ‎∴Sn﹣2（Sn﹣Sn﹣1）=n﹣4，化为：Sn﹣n+2=2[Sn﹣1﹣（n﹣1）+2]，‎ n=1时，a1﹣2a1=1﹣4，解得a1=3，∴S1﹣1+2=4．‎ ‎∴{Sn﹣n+2}为等比数列，首项为4，公比为2的等比数列．‎ ‎（Ⅱ）由（I）知：Sn﹣n+2=2n+1，可得：Sn=2n+1+n﹣2．‎ 于是Tn=（22+23+……+2n+1）+（1+2+……+n）﹣2n ‎=+﹣2n ‎=2n+2﹣4+．‎ ‎　‎ ‎21．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，点M（2，1）在椭圆C上．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）直线l平行于OM，且与椭圆C交于A，B两个不同的点，若∠AOB为钝角，求直线l在y轴上的截距m的取值范围．‎ ‎【分析】（1）由椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，点M（2，1）在椭圆C上，列出方程组，求出a，b，由此能求出椭圆C的方程．‎ ‎（2）设l的方程为y=x+m，再与椭圆方程联立，将∠AOB为钝角，转化为＜0，且m≠0，利用韦达定理，即可求出直线l在y轴上的截距m的取值范围．‎ ‎【解答】解：（1）∵椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，点M（2，1）在椭圆C上．‎ ‎∴，解得a=2，b=，c=，‎ ‎∴椭圆C的方程为=1．‎ ‎（2）由直线l平行于OM，得直线l的斜率k=kOM=，‎ 又l在y轴上的截距为m，∴l的方程为y=．‎ 由，得x2+2mx+2m2﹣4=0．‎ 又直线l与椭圆交于A、B两个不同点，△=（2m）2﹣4（2m2﹣4）＞0，于是﹣2＜m＜2．‎ ‎∠AOB为钝角等价于＜0，且m≠0，‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 则=x1x2+y1y2==，‎ 由韦达定理x1+x2=﹣2m，x1x2=2m2﹣4，代入上式，‎ 化简整理得m2＜2，即，故所求范围是（﹣）∪（0，）．‎ ‎　‎ ‎22．已知函数f（x）=lnx﹣ax，g（x）=x2﹣（2a+1）x+（a+1）lnx．‎ ‎（1）当a=1时，求函数f（x）的极大值；‎ ‎（2）当a≥1时，求证：方程f（x）=g（x）有唯一实根．‎ ‎【分析】（1）a=1时，，可得f（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减，即可得函数f（x）取得极大值f（1）=﹣1．‎ ‎（2）方程f（x）=g（x）的根⇔的根，令h（x）=，（x＞0，a≥1），，分a=1，②a＞1讨论即可 ‎【解答】解：（1）a=1时，函数f（x）=lnx﹣x，，‎ x∈（0，1）时，f′（x）＞0，x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，‎ ‎∴f（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减，‎ ‎∴x=1时，函数f（x）取得极大值f（1）=﹣1．‎ ‎（2）方程f（x）=g（x）的根⇔的根，‎ 令h（x）=，（x＞0，a≥1）‎ ‎，‎ ‎①当a=1时，h′（x）≥0在（0，+∞）恒成立，函数h（x）单调递增，方程f（x）=g（x）有唯一实根．‎ ‎②当a＞1时，x∈（0，1）时，h′（x）＞0，x∈（1，a）时，′（x）＜0，x∈（a，+∞）时，h′（x）＞0，‎ ‎∴h（x）在（0，1），（a，+∞）单调递增，在（1，a）单调递减，‎ 而h（1）=﹣a﹣，x→+∞时，h（x）→+∞，‎ 函数h（x）与x轴只有一个交点，∴方程f（x）=g（x）有唯一实根．‎ 综上所述：方程f（x）=g（x）有唯一实根．‎ ‎　‎