数学理卷·2017届贵州省贵阳市第一中学、凯里市第一中学高三下学期高考适应性月考卷（七）（2017 16页

贵州省贵阳市第一中学、凯里市第一中学 ‎2017届高三下学期高考适应性月考卷（七）‎ 数学（理）试题 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.设全集，集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2.已知在复平面内对应的点在第二象限，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3.已知为第二象限的角，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4.设实数满足，则的概率为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎5.一个直三棱柱的三视图如图所示，其中俯视图是一个顶角为的等腰三角形，则该直三棱柱外接球的体积为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎6.矩形中，，，在线段上运动，点为线段的中点，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎7.阅读如图所示的程序框图，若，，则输出的的值等于（ ）‎ A． 252 B．120 C.210 D．45‎ ‎8.在中，，若，则面积的最大值是（ ）‎ A． B． 4 C. D．‎ ‎9.已知实数满足，直线过定点，则的取值范围为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎10.《九章算术》“少广”算法中有这样一个数的序列：列出“全步”（整数部分）及诸分子分母，以最下面的分母遍乘各分子和“全步”，各自以分母去约其分子，将所得能通分之分数进行通分约简，又用最下面的分母去遍乘诸（未通者）分子和以通之数，逐个照此同样方法，直至全部为整数，例如：及时，如图：‎ 记为每个序列中最后一列数之和，则为（ ）‎ A． 1089 B．680 C. 840 D．2520‎ ‎11.已知双曲线上存在两点关于直线对称，且的中点在抛物线上，则实数的值为（ ）‎ A．0或-10 B．0或-2 C.-2 D．-10‎ ‎12.设函数，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C. D．‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.设是展开式中的系数，则 ．（用数字填写答案）‎ ‎14.在中，角的对边分别为，且满足，则函数的最大值为 ．‎ ‎15.已知函数，命题：实数满足不等式；命题：实数满足不等式，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是 ．‎ ‎16.已知椭圆：，双曲线：，以的短轴为正六边形最长对角线，若正六边形与轴正半轴交于点，‎ 为椭圆右焦点，为椭圆右顶点，为直线与轴的交点，且满足是与的等差数列，现将坐标平面沿轴折起，当所成二面角为时，点在另一半平面内的射影恰为的左顶点与左焦点，则的离心率为 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 已知数列的前项和满足：.‎ ‎（1）数列的通项公式；‎ ‎（2）设，且数列的前项和为，求证：.‎ ‎18. 随着人们对环境关注度的提高，绿色低碳出行越来越受到市民重视. 为此贵阳市建立了公共自行车服务系统，市民凭本人二代身份证到自行车服务中心办理诚信借车卡借车，初次办卡时卡内预先赠送20积分，当积分为0时，借车卡将自动锁定，限制借车，用户应持卡到公共自行车服务中心以1元购1个积分的形式再次激活该卡，为了鼓励市民租用公共自行车出行，同时督促市民尽快还车，方便更多的市民使用，公共自行车按每车每次的租用时间进行扣分收费，具体扣分标准如下：‎ ‎①租用时间不超过1小时，免费；‎ ‎②租用时间为1小时以上且不超过2小时，扣1分；‎ ‎③租用时间为2小时以上且不超过3小时，扣2分；‎ ‎④租用时间超过3小时，按每小时扣2分收费（不足1小时的部分按1小时计算）.‎ 甲、乙两人独立出行，各租用公共自行车一次，两人租车时间都不会超过3小时，设甲、乙租用时间不超过1小时的概率分别是0.4和0.5；租用时间为1小时以上且不超过2小时的概率分别是0.4和0.3.‎ ‎（1）求甲、乙两人所扣积分相同的概率；‎ ‎（2）设甲、乙两人所扣积分之和为随机变量，求的分布列和数学期望.‎ ‎19. 如图，三棱锥中，底面，，，，为的中点，点在上，且.‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）求平面与平面所成二面角的平面角（锐角）的余弦值.‎ ‎20. 已知是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，为椭圆的离心率，且点为椭圆短半轴的上顶点，为等腰直角三角形.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）过点作不与坐标轴垂直的直线，设与圆相交于两点，与椭圆相交于两点，当且时，求的面积的取值范围.‎ ‎21. 已知函数.‎ ‎（1）若函数存在单调递减区间，求实数的取值范围；‎ ‎（2）设是函数的两个极值点，若，求的最小值.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，直线的参数方程为，其中为参数，，再以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，其中，，直线与曲线交于两点.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）已知点，且，求直线的普通方程.‎ ‎23.选修4-5：不等式选讲 已知函数的顶点为.‎ ‎（1）解不等式；‎ ‎（2）若实数满足，求证：.‎ 贵阳第一中学2017届高考适应性月考卷（七）‎ 理科数学参考答案 第Ⅰ卷（选择题，共60分）‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 A B B C A C C D D A A D ‎【解析】‎ ‎1．，故，故选A．‎ ‎2．由复数在复平面内对应的点在第二象限得：解得，故选B．‎ ‎3．∵∴，∴，又∵，∴，，∴，，∴为第三象限的角，∴，故选B．‎ ‎4．如图1，直线与圆交于，两点，则的概率，故选C．‎ ‎5．由三视图可知，该三棱柱的底面是顶角为 ‎，两腰为2的等腰三角形，高为2，底面三角形的外接圆直径为，半径为2．设该三棱柱的外接球的半径为R，则，所以该三棱柱的外接球的体积为，故选A．‎ ‎6．将矩形ABCD放入如图2所示的平面直角坐标系中，设，又，所以，所以 ‎，因为，所以，即的取值范围是，故选C．‎ ‎7．第一次循环：；‎ 第二次循环：；‎ 第三次循环：；‎ 第四次循环：；‎ 第五次循环：；‎ 第六次循环：；‎ 结束循环，输出，故选C．‎ ‎8．∵，由，，得，∴‎ ‎．又 ‎，∵，∴‎ ‎，∴当时，取得最大值，∴面积的最大值为，故选D．‎ ‎9．由直线可得，可知解得即直线过定点，作出可行域如图3，所以目标函数，目标函数可视为点A与可行域中的点连线的斜率，∴，故选D．‎ ‎10．当时，序列如图：‎ 故，故选A．‎ ‎11．因为点关于直线对称，所以的垂直平分线为，所以直线 的斜率为．设直线的方程为，由得，所以，所以， 所以．因为的中点M在抛物线上，所以，解得或，又的中点也在直线上，得，∴或，故选A．‎ ‎12．由，当时，时，∴当时取得最小值，且．令，则此直线恒过定点，若存在唯一的整数，使得，则且，∴，故选D．‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ 题号 ‎13‎ ‎14‎ ‎15‎ ‎16‎ 答案 ‎【解析】‎ ‎13．展开式中x的系数为，则 ‎．‎ ‎14．由已知，，即，即 ‎，则，∴，即，‎ ‎，即时，取得最大值．‎ ‎15．是的充分不必要条件，等价于是的必要不充分条件．由题意得为偶函数，且在单调递增，在单调递减，由p：得 ‎，即，解得；由q：，故的取值范围是．‎ ‎16．由题意，．又，∴，可推出，设双曲线左顶点和左焦点分别为P，Q，则当所成二面角为时，，，∴的离心率．‎ 三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）‎ ‎17．‎ ‎（Ⅰ）解：当时，，所以， ‎ 当时，，即，，， ‎ 所以数列是首项为，公比也为的等比数列， ‎ 所以. ‎ ‎（Ⅱ）证明：． ‎ 由， ‎ 所以， ‎ 所以． ‎ 因为，所以，即． ‎ ‎18． ‎ 解：（Ⅰ）分别记“甲扣0，1，2分”为事件，它们彼此互斥，‎ 且．‎ 分别记“乙扣0，1，2分”为事件，它们彼此互斥，‎ 且．‎ 由题知，与相互独立， ‎ 记甲、乙两人所扣积分相同为事件，则，‎ 所以 ‎=． ‎ ‎（Ⅱ）的可能取值为：， ‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎， ‎ 所以的分布列为：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P ‎0.2‎ ‎0.32‎ ‎0.3‎ ‎0.14‎ ‎0.04‎ 的数学期望． ‎ 答：甲、乙两人所扣积分相同的概率为0.36，的数学期望． ‎ ‎19．‎ ‎（Ⅰ）证明：∵底面，且底面， ∴． ‎ 由，，，可得． ‎ 又∵，∴平面，‎ 注意到平面，∴． ‎ ‎∵，为中点，∴． ‎ ‎∵，∴平面， ‎ 而平面，∴平面平面． ‎ ‎（Ⅱ）解法一：如图，以为原点、所在直线为轴、为轴建立空间直角坐标系. ‎ 则 ‎ ‎ 设平面的法向量，‎ 则 ‎ 解得． ‎ 取平面的法向量为， ‎ 则， ‎ 故平面与平面所成二面角的平面角（锐角）的余弦值为. ‎ 解法二：取的中点，在上取点，且，连接，.‎ ‎∵平面，∴平面，平面，‎ ‎． ‎ 在中，，‎ ‎∴．‎ 由（Ⅰ）知，平面，即，且，‎ ‎∴， ‎ 设平面ABC与平面BEF所成二面角为，‎ ‎， ‎ 故平面与平面所成二面角的平面角（锐角）的余弦值为． ‎ ‎20．‎ 解：（Ⅰ）由是等腰直角三角形，得， ‎ 从而得到，故而椭圆经过， ‎ 代入椭圆方程得，解得， ‎ 所求的椭圆方程为． ‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，由题意，设直线的方程为，‎ ‎，‎ 由得，‎ 则 ‎ ‎．‎ ‎∵，∴，解得． ‎ 由消得．‎ 设，‎ ‎，，‎ 则 ‎． ‎ 设，则，其中， ‎ ‎∵关于在上为减函数， ‎ ‎∴，即的面积的取值范围为． ‎ ‎21．‎ 解：（Ⅰ）因为，‎ 所以， ‎ 又因为在上有解， ‎ 令，则，‎ 只需 ‎ 解得即． ‎ ‎（Ⅱ）因为，令，即，‎ 两根分别为，则 ‎ 又因为 ‎． ‎ 令，由于，所以． ‎ 又因为，，‎ 即即，‎ 所以，解得或，即．‎ 令，‎ ‎，‎ 所以在上单调递减， ‎ ‎． ‎ 所以的最小值为． ‎ ‎22．【选修4−4：坐标系与参数方程】‎ 解：（Ⅰ）直线的普通方程为， ‎ 曲线C的极坐标方程可化为， ‎ 设，，联立与C的方程得：，‎ ‎∴，则， ‎ ‎∴. ‎ ‎（Ⅱ）将直线的参数方程代入抛物线C的普通方程，‎ 得，‎ 设交点对应的参数分别为，‎ 则，， ‎ 由得，， ‎ 联立解得，又，所以. ‎ 直线的普通方程为.（或） ‎ ‎23．【选修4−5：不等式选讲】‎ ‎（Ⅰ）解：依题意得，则不等式为， ‎ ‎∵，当且仅当时取等号， ‎ 所以不等式恒成立，解集为. ‎ ‎（Ⅱ）证明： ‎ ‎ ‎ ‎． ‎