上海市17区县2013届高三一模（数学理科）分类汇编：专题八 数列 22页

专题八 数列 ‎2013年2月 ‎（杨浦区2013届高三一模 理科）18. 已知数列是各项均为正数且公比不等于的等比数列（）. 对于函数，若数列为等差数列，则称函数为“保比差数列函数”. 现有定义在上的如下函数：①， ②， ③， ④，则为“保比差数列函数”的所有序号为 ………（ ）‎ ‎ ①②． ③④． ①②④． ②③④ ． ‎ ‎18. ．‎ ‎（浦东新区2013届高三一模 理科）17．若，，，的方差为，则，，，的方差为 （ ） ‎ ‎ ‎ ‎（黄浦区2013届高三一模 理科）3. 若数列的通项公式为，则 ．3．； ‎ ‎（虹口区2013届高三一模）18、数列满足，其中，设，则等于( )．‎ ‎ ‎ ‎ 18、C；‎ ‎（杨浦区2013届高三一模 理科）8. 设数列()是等差数列.若和是方程的两根，则数列的前 项的和______________．8‎ ‎. 2013； ‎ ‎（奉贤区2013届高三一模）17、（理）已知是等差数列的前n项和，且，有下列四个命题，假命题的是（ ）‎ A．公差； B．在所有中，最大；‎ C．满足的的个数有11个； D．；[来源:Z_xx_k.Com]‎ ‎ 17． 理C ‎ ‎（奉贤区2013届高三一模）17、（文）已知是等差数列的前n项和，且，，则下列结论错误的是 （ ）‎ A．和均为的最大值. B．；‎ C．公差； D．；‎ 文D ‎ ‎（金山区2013届高三一模）10．A、B、C三所学校共有高三学生1500人，且A、B、C三所学校的高三学生人数成等差数列，在一次联考后，准备用分层抽样的方法从所有高三学生中抽取容量为120的样本，进行成绩分析，则应从B校学生中抽取_________人． 10．40 ‎ ‎（松江区2013届高三一模 理科）5．已知数列的前项和，则 ▲ ．5． 5 ‎ ‎（奉贤区2013届高三一模）14、（理）设函数，是公差为的等差数列，，则 ．14．理 ‎（浦东新区2013届高三一模 理科）7．等差数列中，，则该数列的前项和 .‎ ‎（浦东新区2013届高三一模 理科）14．共有种排列（），其中满足“对所有 ‎ 都有”的不同排列有 种.‎ ‎（嘉定区2013届高三一模 理科）13．观察下列算式：‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎… … … …‎ 若某数按上述规律展开后，发现等式右边含有“”这个数，则_______．13． ‎ ‎（嘉定区2013届高三一模 理科）5．在等差数列中，，从第项开始为正数，‎ 则公差的取值范围是__________________．‎ ‎5． ‎ ‎（嘉定区2013届高三一模 理科）4．一组数据，，，，的平均数是，则这组数据的方差是_________． 4．‎ ‎（金山区2013届高三一模）14．若实数a、b、c成等差数列，点P(–1, 0)在动直线l：ax+by+c=0上的射影为M，点N(0, 3)，则线段MN长度的最小值是 ． 14．‎ ‎（虹口区2013届高三一模）9、在等比数列中，已知，，则 ． 9、； ‎ ‎（青浦区2013届高三一模）8．若三个互不相等的实数成等差数列，适当交换这三个数的位置后变成一个等比数列，则此等比数列的公比为 （写出一个即可）．．‎ ‎（奉贤区2013届高三一模）6、设无穷等比数列的前n项和为Sn，首项是，若Sn＝，，则公比的取值范围是 ． 6．‎ ‎（崇明县2013届高三一模）13、数列满足，则的前60项和等于　　　　　　　　　　　　　　　. 13、1830 ‎ ‎（虹口区2013届高三一模）12、等差数列的前项和为，若，，则 ．12、10； ‎ ‎（长宁区2013届高三一模）7、从数列中可以找出无限项构成一个新的等比数列，使得该新数列的各项和为，则此数列的通项公式为 7、 ‎ ‎（宝山区2013届期末）11.若数列的通项公式是，则 =_______.‎ ‎（崇明县2013届高三一模）9、数列的通项公式是，‎ 前项和为，则　　　　　　　　　. 9、 ‎ ‎（长宁区2013届高三一模）3、已知口袋里装有同样大小、同样质量的个小球，其中个白球、个黑球，则从口袋中任意摸出个球恰好是白黑的概率为 . （结果精确到） 3、 ‎ ‎（宝山区2013届期末）15.现有8个人排成一排照相，其中甲、乙、丙三人两两不相邻的排法的种数为……（ C）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（松江区2013届高三一模 理科）22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分 已知递增的等差数列的首项，且、、成等比数列．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设数列对任意，都有成立，求的值．‎ ‎（3）若，求证：数列中的任意一项总可以表示成其他两项之积．‎ ‎22．解：（1）∵是递增的等差数列，设公差为 ……………………1分 ‎、、成等比数列，∴ ……………………2分 由 及得 ……………………………3分 ‎∴ ……………………………4分 ‎ ‎（2）∵， 对都成立 当时，得 ……………………………5分 当时，由①，及②‎ ‎①－②得，得 …………7分 ‎∴ ……………8分 ‎∴ …………10分 ‎（3）对于给定的，若存在，使得 ………11分 ‎∵，只需， …………………12分 即，即 即， 取，则 …………………14分 ‎∴对数列中的任意一项，都存在和 使得 ………………………16分 ‎（浦东新区2013届高三一模 理科）22．（本小题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）‎ 定义数列，如果存在常数，使对任意正整数，总有成立，‎ 那么我们称数列为“摆动数列”．‎ ‎（1）设，（），，判断数列、是否为“‎ 摆动数列”，‎ ‎ 并说明理由；‎ ‎（2）已知“摆动数列”满足，，求常数的值；‎ ‎（3）设，且数列的前项和为，求证：数列是“摆动数列”，‎ ‎ 并求出常数的取值范围. ‎ 解：（1）假设数列是“摆动数列”，‎ 即存在常数，总有对任意成立，‎ 不妨取时则，取时则，显然常数不存在，‎ 所以数列不是“摆动数列”； ……………………………………………2分 由，于是对任意成立，其中.‎ 所以数列是“摆动数列”. ………………………………………………4分 ‎（2）由数列为“摆动数列”， ， ‎ 即存在常数，使对任意正整数，总有成立；‎ 即有成立.则，………………6分 所以.……………………………………7分 同理.…………………………………………8分 所以，解得即.…9分 同理，解得；即. 综上.……………11分 ‎（3）证明：由，…………………………………13分 显然存在，使对任意正整数，总有成立，‎ 所以数列是“摆动数列”； …………………………………………………14分 当为奇数时递减，所以，只要即可 当为偶数时递增，，只要即可 综上，的取值范围是.………………………………………16分 ‎（取中的任意一个值，并给予证明均给分）‎ 如取时，‎ ‎. ‎ 因为，，存在，使成立.‎ 所以数列是“摆动数列”.‎ ‎（黄浦区2013届高三一模 理科）20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分．‎ 在△ABC中，角A, B, C的对边分别为a, b, c，且A, B, C成等差数列．‎ ‎（1）若且，求的值；‎ ‎（2）若，求的取值范围．‎ ‎20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分．‎ 解：（1）A、B、C成等差数列，∴‎ 又,∴，　　　　　　　　　　　　　 …………………………2分 ‎ 由得，，∴① ………………………4分 又由余弦定理得 ‎∴，∴　 ② ………………………6分 由①、②得， 　……………………………………8分 ‎（2）由（1）得，∴，即，‎ 故= ……………………………10分 ‎=， …………………………12分 由且，可得，∴， ‎ 即，∴的取值范围为．　 …………………………14分 ‎（青浦区2013届高三一模）20．(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.‎ 已知数列满足．‎ ‎ （1）设证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式；‎ ‎ （2）求数列的前项和．‎ 解：（1），……2分 ‎ 为等差数列．又，．……………………………………………4分 ‎．………………………………………………………………………6分 ‎（2）设，则 ‎3．‎ ‎．…………………‎ ‎10分 ‎． ‎ ‎． …………………………14分 ‎ ‎（金山区2013届高三一模）23．（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）‎ 已知数列{an}满足，(其中λ≠0且λ≠–1，n∈N*)，为数列{an}的前项和． ‎ ‎(1) 若，求的值；‎ ‎(2) 求数列{an}的通项公式；‎ ‎(3) 当时，数列{an}中是否存在三项构成等差数列，若存在，请求出此三项；若不存在，请说明理由．‎ ‎23．解：(1) 令，得到，令，得到。…………2分 由，计算得．……………………………………………………4分 ‎(2) 由题意，可得：‎ ‎ ，所以有 ‎ ‎，又，……………………5分 得到：，故数列从第二项起是等比数列。……………7分 又因为，所以n≥2时，……………………………8分 所以数列{an}的通项…………………………………10分 ‎(3) 因为 所以……………………………………11分 假设数列{an}中存在三项am、ak、ap成等差数列，‎ ‎①不防设m>k>p≥2，因为当n≥2时，数列{an}单调递增，所以2ak=am+ap 即：2´()´4k–2 = ´‎4m–2 + ´4p–2，化简得：2´4k - p = ‎4m–p+1‎ 即22k–2p+1=‎22m–2p+1，若此式成立，必有：‎2m–2p=0且2k–2p+1=1，‎ 故有：m=p=k，和题设矛盾………………………………………………………………14分 ‎②假设存在成等差数列的三项中包含a1时，‎ 不妨设m=1，k>p≥2且ak>ap，所以2ap = a1+ak ，‎ ‎2´()´4p–2 = – + ()´4k–2，所以2´4p–2= –2+4k–2，即22p–4 = 22k–5 – 1‎ 因为k > p ≥ 2，所以当且仅当k=3且p=2时成立………………………………………16分 因此，数列{an}中存在a1、a2、a3或a3、a2、a1成等差数列……………………………18分 ‎（长宁区2013届高三一模）23．（本题满分18分）‎ ‎ （理） 已知函数时，的值域为，当时，的值域为，依次类推，一般地，当时，的值域为，其中k、m为常数，且 ‎（1）若k=1，求数列的通项公式；‎ ‎（2）若m=2，问是否存在常数，使得数列满足若存在，求k的值；‎ 若不存在，请说明理由；‎ ‎（3）若，设数列的前n项和分别为Sn，Tn，‎ 求 ‎（文）设，等差数列中，，记=，令，数列的前n项和为.‎ ‎（1）求的通项公式和；‎ ‎（2）求证：；‎ ‎（3）是否存在正整数，且，使得成等比数列？若存在，求出的值，若不存在，说明理由.‎ ‎23、（理）解：（1）因为 所以其值域为 …………2分 于是 …………4分 ‎ 又 …………6分 ‎（2）因为 所以……8分 法一：假设存在常数，‎ 使得数列，…………10分 得符合。…………12分 法二：假设存在常数k＞0，使得数列满足当k=1不符合。……7分 当，…………9分 则当 ‎ …………12分 ‎（3）因为所以的值域为 …………13分 于是 则 …………14分 因此是以为公比的等比数列，‎ 又则有 …………16分 ‎ ‎ 进而有 ‎…………18分 ‎（文）解：（1）设数列的公差为，由,‎ ‎.解得，=3 ， ……………2分 ‎ ∴ ……………4分 ‎∵， ∴Sn==. ……………6分 ‎（2） ‎ ‎∴ ……………8分 ‎∴ ……………10分 ‎（3）由(2)知， ∴，，∵成等比数列.‎ ‎ ∴ ……………12分 ‎ 即 ‎ 当时，7，=1，不合题意；当时，，=16，符合题意；‎ 当时，，无正整数解；当时，，无正整数解；‎ 当时，，无正整数解；当时，，无正整数解；‎ ‎……………15分 当时， ，则，而，‎ 所以，此时不存在正整数m,n,且1