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- 2021-06-11 发布
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通州区高三年级一模考试
数学试卷
2020年4月
考生须知
1.本试卷共4页,满分150分.考试时长120分钟.
2.本试卷分为第一部分和第二部分两部分.
3.考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效.
4 .考试结束后,将试卷和答题卡一并交回.
第一部分(选择题 共40分)
一、选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题列出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合,,则
A. B. C. D.
2. 已知复数 (i是虚数单位),则
A. 1 B. 2 C. D. 3
3. 函数的最小正周期是( )
A. B. C. D.
4. 已知为定义在R上的奇函数,且,下列一定在函数图象上的点是
A. (1,-2) B. (-1,-2) C. (-1,2) D. (2,1)
5. 已知a,3,b,9,c成等比数列,且a>0,则等于
A. B. C. D.
6. 已知抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合,则
A. B. C. D.
7. 在的展开式中,常数项是
A. -160 B. -20 C. 20 D. 160
8.在平面直角坐标系中,O为坐标原点,已知两点,.
则
A.1 B. C. 2 D. 与有关
9. 若a>0,b>0,则“ab≥1”是 “a+b≥2”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
10. 某同学在数学探究活动中确定研究主题是“是几位数”,他以为例做研究,得出相应的结论,其研究过程及部分研究数据如下表:
的位数
一位数
一位数
一位数
两位数
两位数
两位数
三位数
三位数
三位数
四位数
试用该同学的研究结论判断是几位数(参考数据)
A. 101 B. 50 C. 31 D. 30
第二部分(非选择题 共110分)
二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.
11. 已知向量,,其中.若共线 ,则m等于 ___________.
12. 圆的圆心到直线的距离为 .
13.某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积等于 .
14.中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题:“今有物不知其数,三三数之余二,五五数之余三,问物几何?” ,将上述问题的所有正整数答案从小到大组成一个数列 ,则 ; . (注:三三数之余二是指此数被3除余2,例如“5”)
15.给出下列四个函数,①;②;③;④
其中值域为的函数的序号是 .
三、解答题:本大题共6小题,共85分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.
16.(本小题14分)已知△ABC,满足,, ,判断△ABC的面积是否成立?说明理由.
从① , ② 这两个条件中任选一个,补充到上面问题条件中的空格处并做答.
注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.
17. (本小题14分)2019年1月1日,我国开始施行《个人所得税专项附加扣除操作办法》,附加扣除的专项包括子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息、住房租金、赡养老人.某单位有老年员工140人,中年员工180人,青年员工80人,现采用分层抽样的方法,从该单位员工中抽取20人,调查享受个人所得税专项附加扣除的情况,并按照员工类别进行各专项人数汇总,数据统计如下:
专项
员工 人数
子女教育
继续教育
大病医疗
住房贷款利息
住房租金
赡养老人
老员工
4
0
2
2
0
3
中年员工
8
2
1
5
1
8
青年员工
1
2
0
1
2
1
(Ⅰ)在抽取的20人中,老年员工、中年员工、青年员工各有多少人;
(Ⅱ)从上表享受住房贷款利息专项扣除的员工中随机选取2人,记X为选出的中年员工的人数,求X的分布列和数学期望.
18. (本小题15分)
如图,已知四边形ABCD为菱形,且,取AD中点为E.现将四边形EBCD沿BE折起至EBHG,使得.
(Ⅰ)求证:平面;
(Ⅱ)求二面角A-GH-B的余弦值;
EB
GB
H
B
A
E
C
D
B
A
(Ⅲ)若点F满足,当平面时,求的值.
19.(本小题14分)
已知椭圆C:的离心率为,点A(0,1)在椭圆C上.
(Ⅰ)求椭圆 C的方程;
(Ⅱ)设O为原点,过原点的直线(不与x轴垂直)与椭圆C交于M、N两点,直线AM、AN与x轴分别交于点E、F.问: y轴上是否存在定点G,使得∠OGE=∠OFG?若存在,求点G的坐标;若不存在,说明理由.
20.(本小题14分)已知函数,设.
(Ⅰ)求的极小值;
(Ⅱ)若在上恒成立,求a的取值范围.
21.(本小题14分)
用[x]表示一个小于或等于x的最大整数.如:[2]=2,[4.1]=4,[-3.1]=-4.已知实数列对于所有非负整数i满足,其中是任意一个非零实数.
(Ⅰ) 若,写出a1,a2,a3;
(Ⅱ)若,求数列的最小值;
(Ⅲ)证明:存在非负整数k,使得当时,.
通州区高三年级一模考试
数学试卷参考答案及评分标准 2020年4月
一、选择题:(每小题4分,共40分.)
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
C
B
B
A
D
A
B
A
C
二、填空题(每道小题5分,共25分)
11. ; 12. ;13.; 14.8;15n-7;(第一空2分,第二空3分)
15.①②④ (答对一个给1分,答对两个给3分,全对给5分,出现一个错误不得分.)
三、解答题:本大题共6小题,共85分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.
16.(本小题14分)
解:选,△ABC的面积成立,理由如下:
当时,, …………… 4分
所以,所以, …………… 6分
则△ABC的面积.…………… 10分
因为, …………… 12分
所以成立. ……………14分
选,△ABC的面积不成立,理由如下:
当时,,…………… 4分
即
整理得,,所以. …………… 6分
因, …………… 8分
所以△ABC是A为直角的三角形, …………… 10分
所以△ABC的面积,…………… 12分
所以不成立. …………… 14分
17. (本小题14分)
解:(Ⅰ)该单位员工共140+180+80=400人,
抽取的老年员工人,
中年员工人,
青年员工人 ……………… 4分
(Ⅱ)X的可取值为0,1,2 ……………… 5分
,, ……………… 11分
所以的分布列为
X
0
1
2
P
. ……………… 14分
18. (本小题15分)
(Ⅰ)证明:在左图中,△ABD为等边三角形,E为AD中点
所以BE⊥AD, ……………… 2分
所以BE⊥AE
因为,
所以GE⊥AE. ……………… 3分
因为GE⊥AE,BE⊥AE,GE∩BE=E
所以平面. ……………… 4分
(Ⅱ) 设菱形ABCD的边长为2,
由(Ⅰ)可知GE⊥AE,BE⊥AE,GE⊥BE.
所以以E为原点,EA,EB,EG所在直线分别为x,y,z轴,
建立如图空间坐标系
可得,,,.……………… 6分
,
设平面AGH的法向量为
所以 ,即.
令x=1,则 ………………8分
平面EBHG的法向量为 ……………… 9分
设二面角A-GH-B的大小为
……………… 11分
(Ⅲ) 由,则
所以 ……………… 12分
因为平面,则 ……………… 13分
即 ……………… 14分
所以 ……………… 15分
19. (本小题14分)
解:(Ⅰ)由题意得, ………………1分
b=1,
又
解得 ……………… 4分
所以椭圆方程为 ……………… 5分
(Ⅱ)设,由题意及椭圆的对称性可知……………… 6分
则直线AM的方程为 ……………… 7分
直线AN的方程为 ……………… 8分
则E点坐标为,F点坐标为 ……………… 10分
假设存在定点G(0,n)使得∠OGE=∠OFG,
即tan∠OGE=tan∠OFG (也可以转化为斜率来求)……………… 11分
即
即 ……………… 12分
即
所以 ……………… 13分
所以存在点坐标为满足条件. ……………… 14分
20. (本小题14分)
解:(Ⅰ) ……………… 1分
由题意可知,
所以 ……………… 2分
当时,在上单调递增;……………… 3分
当时,在上单调递减……………… 4分
所以在处取得极小值,为……………… 5分
(Ⅱ)由(Ⅰ)得
当时, ……………… 6分
所以在单调递增,所以 ……………… 7分
即时在恒成立. ……………… 8分
当时, ………………9分
又, ……………… 10分
又由于在上单调递增;在上单调递减;
所以在上一定存在使得, ……………… 11分
所以在递减,在递增,
所以 ……………… 12分
所以在存在,使得, ……………… 13分
所以当时,在上不恒成立
所以a的取值范围为. ………………14分
21. (本小题14分)
解:(Ⅰ) 、、. ……………… 3分
(Ⅱ)因,则,
所以,
设,则,
所以.
又因,
则,则. ……………… 4分
假设成立,
则,
则,即,……………… 5分
则,
则当时,,
这与假设矛盾,所以不成立,………………6分
即存在,.
从而的最小值为0. ……………… 7分
(Ⅲ)当时,由(2)知,存在,,
所以所以
所以,成立. ……………… 8分
当时,若存在,,则,得证;……………… 9分
若,则,
则,
则,
所以数列单调不减.
由于是负整数,
所以存在整数m和负整数c,使得当时,.
所以,当时,,
则,令,
即.
当=0时,则,则,得证. ………………11分
当时,,,
因当时,,则,则有界,
所以,所以负整数. ……………… 12分
,
则 ……………… 13分
令k=m,满足当时,.
综上,存在非负整数k,使得当时, .………………14分