数学理卷·2018届辽宁省大石桥市第二高级中学高三上学期期初考试（2017 10页

大石桥二高中2017-2018学年度上学期期初考试 高三年级数学（理科）试卷 时间：120分钟 满分：150分 命题人：孙德广 第I卷 一、选择题 ‎1. 设集合，集合，则 A． B． C． D．‎ ‎2. 设复数满足，则 A． B． C． D． ‎ ‎3．等差数列的前项和为，且满足，则【来源：全,品…中&高*考+网】‎ A． B． C． D． ‎ ‎4．已知向量满足，，则 ‎ A.　 　 B. C.　 D. ‎ ‎5. 已知实数满足，则的最小值是 A.　 　 B. C. D. ‎ ‎6. 在平面直角坐标系中，已知过点的直线与圆相切，且与直线垂直，则实数 A． B． C． D．‎ ‎7．宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等.右图是源于其思想的一个程序框图，若输入的、分别为、，则输出的 ‎ A． B． C． D．‎ ‎8．任取实数，则满足的概率为 A． B． C． D．‎ ‎9. 已知一正方体截去两个三棱锥后，所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A． B．7 C． D．‎ ‎10. 已知函数（）的图象向右平移个单位后关于轴对称，则在区间上的最小值为 A． B． C． D． ‎ ‎11. 为双曲线右支上一点，、分别为双曲线的左顶点和右焦点，且为等边三角形，则双曲线的离心率为 A．　 B． C．　 D．‎ ‎ 12. 定义在上的奇函数满足，且当时，不等式恒成立，则函数的零点的个数为 A． B． C． D．‎ 第Ⅱ卷 二、填空题 ‎13．二项式的展开式中的常数项为 . ‎ ‎14. 在一次连环交通事故中，只有一个人需要负主要责任，但在警察询问时，甲说：“主要责任在乙”；乙说：“丙应负主要责任”；丙说“甲说的对”；丁说：“反正我没有责任”．四人中只有一个人说的是真话，则该事故中需要负主要责任的人是 ．‎ ‎15. 已知三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都相等，若该三棱柱的顶点都在球的表面上，且三棱柱的体积为，则球的表面积为 . ‎ ‎16. 已知数列、满足，其中是等差数列，且，则 . ‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ‎ ‎17．（本小题满分12分） 已知的内角，，的对边分别为，，，且满足．‎ ‎（Ⅰ）求角；‎ ‎（Ⅱ）若,的中线，求面积的值．‎ ‎18．（本小题满分12分） 某中学的环保社团参照国家环境标准制定了该校所在区域空气质量指数与空气质量等级对应关系如下表（假设该区域空气质量指数不会超过）：‎ 空气质量指数 空气质量等级 级优 级良 级轻度污染 级中度污染 级重度污染 级严重污染 该社团将该校区在年天的空气质量指数监测数据作为样本，绘制的频率分布直方图如下图，把该直方图所得频率估计为概率．‎ ‎（Ⅰ）请估算年（以天计算）全年空气质量优良的天数(未满一天按一天计算)；‎ ‎（Ⅱ）该校年月、日将作为高考考场，若这两天中某天出现级重度污染，需要净化空气费用元，出现级严重污染，需要净化空气费用元，记这两天净化空气总费用为元，求的分布列及数学期望．‎ ‎19．（本小题满分12分）在四棱锥中，底面 为平行四边形，，，，点在底面内的射影在线段上，且，，为的中点，在线段上，且． ‎ ‎（Ⅰ）当时，证明：平面平面；‎ ‎（Ⅱ）当平面与平面所成二面角的正弦值为时，求四棱锥的体积．　‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ 已知椭圆的离心率为，且点在椭圆上．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）若直线交椭圆于两点，线段的中点为，为坐标原点，且，‎ 求面积的最大值．‎ ‎21．( 本小题满分12分) 设函数 ‎ （Ⅰ）讨论函数的单调性；‎ ‎ （Ⅱ）若有两个不相等的实数根，求证 请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所作的第一题记分．作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．‎ ‎22．（本题满分10分）选修4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数），以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎（Ⅰ）求圆的普通方程；‎ ‎（Ⅱ）直线的极坐标方程是，射线与圆的交点为、，与直线的交点为，求线段的长.‎ ‎23.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 已知函数，不等式的解集为.‎ ‎（Ⅰ）求；‎ ‎（Ⅱ）证明：当，时，.‎ ‎2017-2018高三期初考试答案 数学（理科）‎ 一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分。）‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 C B A B C A C D B D A C 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13． 14．甲 15． 16． ．‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）‎ ‎17. 解：（I）由正弦定理得：， ……………2分 由余弦定理可得 . ……………4分 ‎，∴ ……………5分 ‎（II）由可得：，‎ 即 ……………8分 又由余弦定理得，∴． ……………10分 ‎∴． ……………12分 ‎18. （Ⅰ）由直方图可估算年（以天计算）全年空气质量优良的天数为 ‎（天）． --------- 4分 ‎（Ⅱ）由题可知，的所有可能取值为：，，，，， -- 6分 则： ， ‎ ‎ ‎ ‎ 的分布列为 ‎-------- 10分 ‎（元）．----- 12分 ‎19. （Ⅰ）证明：连接，作交于点，则四边形为平行四边形，‎ ‎，在中，，，，由余弦定理得．　‎ 所以，从而有.‎ 在中，，分别是，的中点， 则，，‎ 因为，所以.‎ 由平面，平面，‎ 得，又，，‎ 得平面，又平面，‎ 所以平面平面. ……………6分 ‎（Ⅱ）以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，.‎ 平面的一个法向量为.‎ 设平面的法向量为，‎ 由，，得 令，得.‎ 由题意可得，， 解得，‎ 所以四棱锥的体积. ……………12分20．解：（Ⅰ）由已知得，， 解得，， ……2分 椭圆的方程是. ……4分 ‎（Ⅱ）设l与x轴的交点为，直线，与椭圆交点为， ，‎ 联立，，得，‎ ‎ ∴ ，， ‎ ‎∴ ，即， ……7分 由，得， ……9分 则S△POQ，‎ 令， ‎ 设，则， ……11分 当且仅当，即，S△POQ， ‎ 所以△面积的最大值为1. ……12分 ‎21.解：（I） ……2分 当时，恒成立，所以在上单调递增.‎ 当时，解得解得 所以在上单调递减，在上单调递增.‎ 综上，当时，在上单调递增.‎ 当时，在上单调递减，在上单调递增. ……5分 ‎（II）有两个不相等的实数根，不妨设 ‎ ……7分 而 ‎ ‎ ……10分 令 所以在单调递增.‎ ‎ ……12分 ‎22.(I)由圆的参数方程（为参数）知，圆的圆心为，‎ 半径为，圆的普通方程为 ……4分 将代入得圆的极坐标方程为 ‎ ……5分 设，则由解得 ……7分 设，则由解得 ……9分 所以 ……10分 ‎23.解：（Ⅰ）‎ 由的单调性及得，或．　‎ 所以不等式的解集为. ……5分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，所以，，‎ ‎， 所以，‎ 从而有． ……10分　‎