高二数学教案第3讲：两直线位置关系 7页

辅导教案 学员姓名： 学科教师：‎ 年 级： 辅导科目： ‎ 授课日期 ‎××年××月××日 ‎ 时 间 A / B / C / D / E / F段 主 题 两直线位置关系 教学内容 ‎1. 理解两直线平行、相交及重合与方程组的解之间的对应关系，会通过直线的方程判断两直线垂直 ‎2. 会求两直线交点坐标与夹角 ‎3. 掌握两直线夹角公式及其应用 ‎（以提问的形式回顾）‎ ‎1、直线与直线的位置关系 两直线的位置关系有哪些？用什么方法判定两直线位置关系？‎ 平面内两条直线的位置关系有三种：重合、平行、相交。‎ 判别方法：‎ 方法一：系数行列式 设直角坐标系平面上两条直线方程为：‎ ‎：‎ ‎：‎ 联立方程组为： ‎ 对于方程组的解情况取决于系数构成的行列式的值：‎ ‎ ‎ 当，方程组有唯一解为 此时直线相交于一点，坐标为（，）。‎ 当，方程组的解情况要根据的情况分类讨论 （i） 当时，方程组无解，此时直线没有公共点，即两直线平行。‎ （ii） 当时，方程组无穷解，此时直线重合 方法二：当直线不平行于坐标轴时，直线与直线的位置关系可根据下表判定 方 程 条 件 关 系 ‎：‎ ‎：‎ ‎：‎ ‎： ‎ 平 行 且 重 合 且 相 交 垂 直 注：当直线平行于坐标轴时可结合图形进行考虑其位置关系。‎ 可以上学生讨论一下他们预习时候的想法，然后引导学生总结写下。‎ ‎2、相交直线的夹角 ‎1. 两向量的夹角公式是什么？两直线的夹角能否看成是两个向量的夹角？你能简单推算一下两直线的夹角公式吗？‎ 设直角坐标系平面上两条直线方程为：‎ ‎：‎ ‎：‎ 其夹角为，因为，所以有 向量表示：‎ 因为，余弦函数在上单调递减，所以此时是唯一确定的 特别地，当时，即，此时直线垂直 ‎2. 两角差的正切公式是什么？直线的斜率等于倾斜角的正切值，那么两直线夹角能否看成是倾斜角的差？你能简单推算一下两直线的夹角公式吗？‎ 斜率表示：‎ 同样地，由于不是所有的直线都有斜率，因此需要按“斜率存在、斜率不存在”分类讨论。‎ ‎（1）若两直线的斜率都存在，当时，有公式 ‎（2）如果直线和中有一条斜率不存在，“夹角”可借助于图形，通过直线的倾斜角求出。‎ 可以上学生讨论一下他们预习时候的想法，然后引导学生总结写下。‎ ‎（采用教师引导，学生轮流回答的形式）‎ 例1. 知两直线l1：x＋m2y＋6＝0，l2：（m－2）x＋3my＋‎2m＝0，‎ 当m为何值时，l1与l2（1）相交；（2）平行；（3）重合?.‎ 解：，‎ ‎ ‎ 故（1）当m≠－1，m≠3且m≠0时，l1与l2相交；‎ ‎（2）当m＝－1或m＝0时，l1∥l2；‎ ‎（3）当m＝3时，l1与l2重合.‎ 试一试：若三条直线：，：，：，当为何值时，三条直线不能构成三角形？ ‎ 解:三条直线不能构成三角形三条直线交于同一点或其中至少有两条直线平行.‎ ‎（1）若三条直线交于同一点时,‎ 解方程组, 得，即与的交点是（），把点（）代入直线 的方程得．‎ ‎（2）若其中至少有两条直线平行时，‎ 由//得：; 由得:，‎ 综上：当或或时三条直线不能构成三角形.‎ 例2. 右图，等腰三角形的一个腰所在直线的方程是，底边所在直线的方程是，点在另一腰上，求这条腰所在直线的方程.‎ 解：设的方程为（其中为一法向量，‎ ‎ 不同时为零），与的夹角是，与的夹角是 ，‎ ‎ 由夹角公式得,‎ ‎ 又所围成的三角形是等腰三角形，所以,‎ ‎ 即 ‎ 舍去(否则与直线重合), ∴的方程是：.‎ ‎ ‎ 试一试：已知的三个顶点为 ‎ (1)求中的大小;‎ ‎ (2)求的平分线所在直线的方程. ‎ ‎ 解:（1）直线的方程为:，‎ 直线的方程为:, ‎ ‎ 设它们的夹角为,又为锐角,所以=，‎ ‎ 则即为所求;‎ ‎ （2）设角平分线所在直线方程，即.由角平分线 与两边成等角，运用夹角公式得 ‎ ‎ ‎ 解得 ,由题意,舍 ‎ 所以角平分线的方程为：.‎ 例3. 光线沿直线1：照射到直线2：上后反射，求反射线所在直线的方程.‎ 解 由.‎ 设的方程为（其中为一法向量，不同时为零）‎ 由反射原理,直线与的夹角等于与的夹角，得,舍去(否则与重合) ,所以,得的方程为.‎ ‎（学生统一完成，互相批改，教师针对重难点详细讲解）‎ ‎1. 如果直线ax+2y+2=0与直线3x-y-2=0平行，那么系数a= -6‎ ‎2. 直线ax+4y-2=0与直线2x-5y+c=0垂直相交于点(1，m)，则a= c= m= . ‎ ‎10， -12， -2‎ ‎3. 两条平行直线分别过点A(6，2)和B(-3，-1)，，各自绕A，B旋转，若这两条平行线距离最大时，两直线方程分别是 .3x+y-20=0， 3x+y+10=0‎ ‎4. 已知两直线l1：x+m2y+6=0， l2：(m-2)x+3my+2m=0，当m为何值时，l1与l2：(1)相交；(2)平行；(3)重合. ‎①当m≠-1，m≠3且m≠0时，l1与l2相交，②当m=-1或m=0时，l1∥l2，③当m=3时， l1与l2重合. ‎5. 已知直线过点，且与直线的夹角为，求直线的方程。‎ 解：设的方程为（其中为的一法向量），‎ 则即 化简为 解方程，得 ‎ 当时，则，此时方程为 ‎ 当时，方程为，即 ‎ 综上, 的方程是或.‎ 附加题：若直线:，，不能构成三角形,求实数的值.‎ 解：（1）当三线交于一点时，由、相交，易求交点，将交点代入的方程，求得.‎ ‎ （2）当三条直线中至少有两条平行（或重合）时：‎ ‎ ①、平行（或重合），求得；‎ ‎ ②、平行（或重合），求得；‎ 综上所述，当三条直线不能构成三角形时，值可以是1或7或－2.‎ 本节课主要知识点：‎ ‎1、直线与直线的位置关系 ‎2、相交直线的夹角 ‎1. 若直线l1：ax+2y+6=0与直线l2：x+（a－1）y+（a2－1）=0平行，则a的值是____________. -1‎ ‎2. 求过点P（5，－2），且与直线x－y+5=0相交成45°角的直线l的方程.‎ x=-2或y=5‎ ‎3. 若两条直线l1，l2的方程分别为 A1x+B1y+C1=0，A2x+B2y+C2=0，l1与l2只有一个公共点，则（ ）‎ ‎（A）A1B1－A2B2=0 （B）A1B2－A2B1≠0 ‎ ‎（C） （D）‎ 答案：B ‎4. △ABC中，A（3，－1），AB边上的中线CM所在直线方程为：6x＋10y－59=0，‎ ‎∠B的平分线方程BT为：x－4y＋10=0，求直线BC的方程.‎ 设则的中点在直线上,则,即…………………①,‎ 又点在直线上,则…………………②联立①②得,‎ ‎,‎ 有直线平分,则由到角公式得,得 的直线方程为:.‎ 点到直线的距离公式是什么？如何推导出来的？‎