数学卷·2018届吉林省延边州汪清六中高二上学期第二次月考数学试卷（理科）（解析版） 14页

‎2016-2017学年吉林省延边州汪清六中高二（上）第二次月考数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求，把答案填在括号里．）‎ ‎1．数列，的一个通项公式是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．在△ABC中，若a=2，，B=60°，则角A的大小为（　　）‎ A．30°或150° B．60°或120° C．30° D．60°‎ ‎3．已知数列{an}的通项公式an=n2﹣2n﹣8（n∈N*）a3=5，则a4等于（　　）‎ A．1 B．2 C．0 D．3‎ ‎4．设Sn是等差数列{an}的前n项和，已知a2=3，a6=11，则S7等于（　　）‎ A．13 B．49 C．35 D．63‎ ‎5．下列不等式中成立的是（　　）‎ A．若a＞b，则ac2＞bc2 B．若a＞b，则a2＞b2‎ C．若a＜b＜0，则a2＜ab＜b2 D．若a＜b＜0，则＞‎ ‎6．在等比数列{an}中，a2=8，a5=64，则公比q为（　　）‎ A．2 B．3 C．4 D．8‎ ‎7．设集合A={x|x＞3}，B={x|＜0}则A∩B=（　　）‎ A．φ B．（3，4） C．（﹣2，1） D．（4，+∞）‎ ‎8．不等式（x﹣2y+1）（x+y﹣3）＜0表示的区域为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．等比数列{an}的前n项和为Sn，若S10=10，S20=30，则S30=（　　）‎ A．10 B．70 C．30 D．90‎ ‎10．如图给出的是计算的值的程序框图，其中判断框内应填入的是（　　）‎ A．i≤2014？ B．i≤2016？ C．i≤2018？ D．i≤2020？‎ ‎　‎ 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．）‎ ‎11．比较大小 （a+3）（a﹣5）　　（a+2）（a﹣4）‎ ‎12．若锐角△ABC的面积为，且AB=5，AC=8，则BC等于　　．‎ ‎13．不等式x（2﹣x）≥0的解集是　　．‎ ‎14．已知不等式x2+ax+4＜0的解集为空集，则a的取值范围是　　．‎ ‎　‎ 三、解答题：（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）‎ ‎15．画出不等式组表示的平面区域．‎ ‎16．设等差数列{an}满足a3=5，a10=﹣9．‎ ‎（Ⅰ）求{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）求{an}的前n项和Sn及使得Sn最大的序号n的值．‎ ‎17．同时抛掷两个骰子（各个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6），计算：‎ ‎（1）向上的数相同的概率．‎ ‎（2）向上的数之积为偶数的概率．‎ ‎18．在△ABC中，求证：c（acosB﹣bcosA）=a2﹣b2．‎ ‎19．已知数列{an}满足an+1﹣an=n+2（n∈N*）且a1=1‎ ‎（1）求a2，a3，a4的值 ‎（2）求{an}的通项公式．‎ ‎20．已知数列{an}是各项均为正数的等差数列，a1=1，且a2，a3+1，a6成等比数列．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列{bn}的前n项和Sn．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年吉林省延边州汪清六中高二（上）第二次月考数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求，把答案填在括号里．）‎ ‎1．数列，的一个通项公式是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】数列的概念及简单表示法．‎ ‎【分析】利用不完全归纳法来求，先把数列中的每一项变成相同形式，再找规律即可．‎ ‎【解答】解；∵数列，的第三项可写成，这样，每一项都是含根号的数，且每一个被开方数比前一项的被开方数多3，∴‎ 故选B ‎　‎ ‎2．在△ABC中，若a=2，，B=60°，则角A的大小为（　　）‎ A．30°或150° B．60°或120° C．30° D．60°‎ ‎【考点】正弦定理．‎ ‎【分析】由B的度数求出sinB的值，再由a与b的值，利用正弦定理求出sinA的值，由a小于b，根据大边对大角得到A小于B，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数．‎ ‎【解答】解：∵a=2，b=2，B=60°，‎ ‎∴由正弦定理=得：sinA==，‎ 又a＜b，∴A＜B，‎ 则A=30°．‎ 故选C ‎　‎ ‎3．已知数列{an}的通项公式an=n2﹣2n﹣8（n∈N*）a3=5，则a4等于（　　）‎ A．1 B．2 C．0 D．3‎ ‎【考点】数列的概念及简单表示法．‎ ‎【分析】根据数列的通项公式直接令n=4即可．‎ ‎【解答】解：∵an=n2﹣2n﹣8（n∈N*），‎ ‎∴a4=42﹣2×4﹣8=16﹣8﹣8=0，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎4．设Sn是等差数列{an}的前n项和，已知a2=3，a6=11，则S7等于（　　）‎ A．13 B．49 C．35 D．63‎ ‎【考点】等差数列的前n项和．‎ ‎【分析】首先根据已知条件建立方程组求出首项与公差，进一步利用等差数列前n项和公式求出结果．‎ ‎【解答】解：等差数列{an}中，设首项为a1，公差为d，‎ ‎，‎ 解得：d=2，a1=1，‎ 所以：‎ 故选：B ‎　‎ ‎5．下列不等式中成立的是（　　）‎ A．若a＞b，则ac2＞bc2 B．若a＞b，则a2＞b2‎ C．若a＜b＜0，则a2＜ab＜b2 D．若a＜b＜0，则＞‎ ‎【考点】不等式的基本性质．‎ ‎【分析】运用列举法和不等式的性质，逐一进行判断，即可得到结论．‎ ‎【解答】解：对于A，若a＞b，c=0，则ac2=bc2，故A不成立；‎ 对于B，若a＞b，比如a=2，b=﹣2，则a2=b2，故B不成立；‎ 对于C，若a＜b＜0，比如a=﹣3，b=﹣2，则a2＞ab，故C不成立；‎ 对于D，若a＜b＜0，则a﹣b＜0，ab＞0，即有＜0，即＜，则＞，故D成立．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎6．在等比数列{an}中，a2=8，a5=64，则公比q为（　　）‎ A．2 B．3 C．4 D．8‎ ‎【考点】等比数列的通项公式．‎ ‎【分析】题目给出了a2=8，a5=64，直接利用等比数列的通项公式求解q．‎ ‎【解答】解：在等比数列{an}中，由，又a2=8，a5=64，‎ 所以，，所以，q=2．‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎7．设集合A={x|x＞3}，B={x|＜0}则A∩B=（　　）‎ A．φ B．（3，4） C．（﹣2，1） D．（4，+∞）‎ ‎【考点】交集及其运算．‎ ‎【分析】利用交集的定义和不等式的性质求解．‎ ‎【解答】解：∵集合A={x|x＞3}，B={x|＜0}={x|1＜x＜4}，‎ A∩B={x|3＜x＜4}．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎8．不等式（x﹣2y+1）（x+y﹣3）＜0表示的区域为（　　）‎ A． B． C．‎ ‎ D．‎ ‎【考点】二元一次不等式（组）与平面区域．‎ ‎【分析】通过直线定边界，特殊点定区域，判断求解即可．‎ ‎【解答】解：不等式（x﹣2y+1）（x+y﹣3）＜0等价于：…①，‎ 或，…②（0，0）满足①；（0，4）满足②，‎ 不等式（x﹣2y+1）（x+y﹣3）＜0表示的区域为：．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎9．等比数列{an}的前n项和为Sn，若S10=10，S20=30，则S30=（　　）‎ A．10 B．70 C．30 D．90‎ ‎【考点】等比数列的前n项和．‎ ‎【分析】由等比数列的性质可得，S10，S20﹣S10，S30﹣S20成等比数列即（S20﹣S10）2=S10•（S30﹣S20），代入可求．‎ ‎【解答】解：由等比数列的性质可得，S10，S20﹣S10，S30﹣S20成等比数列 ‎∴（S20﹣S10）2=S10•（S30﹣S20）‎ ‎∴400=10（S30﹣30）‎ ‎∴S30=70‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎10．如图给出的是计算 的值的程序框图，其中判断框内应填入的是（　　）‎ A．i≤2014？ B．i≤2016？ C．i≤2018？ D．i≤2020？‎ ‎【考点】程序框图．‎ ‎【分析】根据流程图写出每次循环i，S的值，和比较即可确定退出循环的条件，得到答案．‎ ‎【解答】解：根据流程图，可知 第1次循环：i=2，S=；‎ 第2次循环：i=4，S=；‎ ‎…‎ 第1008次循环：i=2016，S=；‎ 此时，设置条件退出循环，输出S的值．‎ 故判断框内可填入i≤2016．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．）‎ ‎11．比较大小 （a+3）（a﹣5）　＜　（a+2）（a﹣4）‎ ‎【考点】不等式比较大小．‎ ‎【分析】作差即可得出大小关系．‎ ‎【解答】解：作差（a+3）（a﹣5）﹣（a+2）（a﹣4）‎ ‎=a2﹣2a﹣15﹣（a2﹣2a﹣8）‎ ‎=﹣7＜0，‎ ‎∴a+3）（a﹣5）＜（a+2）（a﹣4）．‎ 故答案为：＜．‎ ‎　‎ ‎12．若锐角△ABC的面积为，且AB=5，AC=8，则BC等于　7　．‎ ‎【考点】余弦定理的应用．‎ ‎【分析】利用三角形的面积公式求出A，再利用余弦定理求出BC．‎ ‎【解答】解：因为锐角△ABC的面积为，且AB=5，AC=8，‎ 所以，‎ 所以sinA=，‎ 所以A=60°，‎ 所以cosA=，‎ 所以BC==7．‎ 故答案为：7．‎ ‎　‎ ‎13．不等式x（2﹣x）≥0的解集是　[0，2]　．‎ ‎【考点】一元二次不等式的解法．‎ ‎【分析】把不等式化为x（x﹣2）≤0，求出解集即可．‎ ‎【解答】解：不等式x（2﹣x）≥0可化为 x（x﹣2）≤0，‎ 解得0≤x≤2，‎ 所以不等式的解集为[0，2]．‎ 故答案为：[0，2]．‎ ‎　‎ ‎14．已知不等式x2+ax+4＜0的解集为空集，则a的取值范围是　[﹣4，4]　．‎ ‎【考点】一元二次不等式的解法．‎ ‎【分析】利用一元二次不等式的解集与判别式的关系即可求出．‎ ‎【解答】解：∵不等式x2+ax+4＜0的解集为空集，∴△=a2﹣16≤0，解得﹣4≤x≤4．‎ ‎∴a的取值范围是[﹣4，4]．‎ 故答案为[﹣4，4]．‎ ‎　‎ 三、解答题：（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）‎ ‎15．画出不等式组表示的平面区域．‎ ‎【考点】二元一次不等式（组）与平面区域．‎ ‎【分析】画出满足条件的平面区域即可．‎ ‎【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：‎ ‎．‎ ‎　‎ ‎16．设等差数列{an}满足a3=5，a10=﹣9．‎ ‎（Ⅰ）求{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）求{an}的前n项和Sn及使得Sn最大的序号n的值．‎ ‎【考点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和．‎ ‎【分析】（1）设出首项和公差，根据a3=5，a10=﹣9，列出关于首项和公差的二元一次方程组，解方程组得到首项和公差，写出通项．‎ ‎（2）由上面得到的首项和公差，写出数列{an}的前n项和，整理成关于n的一元二次函数，二次项为负数求出最值．‎ ‎【解答】解：（1）由an=a1+（n﹣1）d及a3=5，a10=﹣9得 a1+9d=﹣9，a1+2d=5‎ 解得d=﹣2，a1=9，‎ 数列{an}的通项公式为an=11﹣2n ‎（2）由（1）知Sn=na1+d=10n﹣n2．‎ 因为Sn=﹣（n﹣5）2+25．‎ 所以n=5时，Sn取得最大值．‎ ‎　‎ ‎17．同时抛掷两个骰子（各个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6），计算：‎ ‎（1）向上的数相同的概率．‎ ‎（2）向上的数之积为偶数的概率．‎ ‎【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．‎ ‎【分析】（1）每掷1个骰子都有6种情况，所以同时掷两个骰子总的结果数为6×6=36．向上的数相同的结果有6种，由此能求出向上的数相同的概率．‎ ‎（2）向上的数之积为偶数的情况比较多，可以先考虑其对立事件，即向上的数之积为奇数．利用列举法求出向上的数之积为奇数的基本事件个数，由此利用对立事件概率计算公式能求出向上的数之积为偶数的概率．‎ ‎【解答】解：（1）每掷1个骰子都有6种情况，所以同时掷两个骰子总的结果数为6×6=36．‎ 向上的数相同的结果有6种，故向上的数相同的概率为P（A）==．‎ ‎（2）向上的数之积为偶数的情况比较多，可以先考虑其对立事件，即向上的数之积为奇数．‎ 向上的数之积为奇数的基本事件有：‎ ‎（1，1），（1，3），（1，5），（3，1），（3，3），（3，5），（5，1），（5，3），（5，5），共9个，‎ 故向上的数之积为偶数的概率为P（B）=1﹣=1﹣=．‎ ‎　‎ ‎18．在△ABC中，求证：c（acosB﹣bcosA）=a2﹣b2．‎ ‎【考点】余弦定理．‎ ‎【分析】根据余弦定理化简等式的左边即可．‎ ‎【解答】证明：由余弦定理得，左边=‎ ‎==a2﹣b2=右边，‎ 故c（acosB﹣bcosA）=a2﹣b2．‎ ‎　‎ ‎19．已知数列{an}满足an+1﹣an=n+2（n∈N*）且a1=1‎ ‎（1）求a2，a3，a4的值 ‎（2）求{an}的通项公式．‎ ‎【考点】数列递推式．‎ ‎【分析】（1）由数列的通项公式，当n=1，n=2，n=3时，分别求得a2，a3，a4的值；‎ ‎（2）an+1﹣an=n+2（n∈N*），采用“累加法”即可求得{an}的通项公式．‎ ‎【解答】解：（1）由an+1﹣an=n+2（n∈N*），由an+1=an+n+2，a1=1，‎ a2=a1+1+2=4，‎ a3=a2+2+2=8，‎ a4=a3+3+2=13，‎ a2=4，a3=8，a4=13；‎ ‎（2）an+1﹣an=n+2（n∈N*），‎ a2﹣a1=1+2，‎ a3﹣a2=2+2，‎ a4﹣a3=3+2，‎ ‎…‎ an﹣an﹣1=n﹣1+2；‎ 以上各式相加可得：an﹣a1=1+2+3+…+n﹣1+2（n﹣1），‎ ‎∴an=1++2（n﹣1），‎ ‎=，‎ ‎∴{an}的通项公式an=．‎ ‎　‎ ‎20．已知数列{an}是各项均为正数的等差数列，a1=1，且a2，a3+1，a6成等比数列．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列{bn}的前n项和Sn．‎ ‎【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．‎ ‎【分析】（1）利用等差数列和等比数列的通项公式即可得出；‎ ‎（2）利用“裂项求和”即可得出．‎ ‎【解答】解：（1）设等差数列{an}的公差为d，‎ ‎∵a2，a3+1，a6成等比数列．‎ ‎∴，‎ 即（2d+2）2=（1+d）（1+5d），‎ 解得d=3或d=﹣1．‎ 由已知数列{an}各项均为正数，‎ ‎∴d=3，‎ 故an=1+3（n﹣1）=3n﹣2．‎ ‎（2）∵，‎ ‎∴．‎ ‎∴Sn=1﹣=．‎ ‎　‎ ‎2017年1月17日