数学文卷·2018届福建省师范大学第二附属中学高二下学期期中考试（2017-04） 12页

福建师大二附中2016—2017学年第二学期高二年期中考 数 学（文） 试 卷 考试时间：120分钟；满分：150分 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________‎ 一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)‎ ‎1.已知集合，，若，则实数的取值范围是（　　） ‎ A.     B.    C.     D. ‎ ‎2.复数的虚部为（　　）‎ A.-1     B.-3     C.1      D.2‎ ‎3.计算的值为（　　） ‎ A.1      B.2      C.4      D.8‎ ‎4.已知与之间的一组数据：（0，1），（1，3），（2，5），（3，7），则与的线性回归方程必过点（　　） ‎ A.（2，4）  B.（1.5，2） C.（1，2）  D.（1.5，4）‎ ‎5.已知函数，若，则的取值范围是（　　）‎ A.          B. ‎ C.       D.‎ ‎6.已知是定义在上单调递增的函数，则满足的取值范围是（　　） ‎ A.  B.  C.  D. ‎ ‎7.参数方程（为参数）和极坐标方程所表示的图形分别是（　　） ‎ A.圆和直线  B.直线和直线 C.椭圆和直线 D.椭圆和圆 ‎8.“ ”是“”的（　　）‎ A.充分不必要条件         B.必要不充分条件 ‎ C.充要条件            D.既不充分也不必要条件 ‎9.已知实数满足，，，则实数 的大小关系为（　　） ‎ A.  B.   C.    D. ‎ ‎10.若直线的参数方程为（为参数），则直线倾斜角的余弦值为（　　） ‎ A. B.  C.  D. ‎ ‎11.已知函数 的图象如图所示，则函数g（x）=ax+b的图象是（　　） ‎ A. B. C. D.‎ ‎12.已知定义在上的函数 满足：的图象关于点对称，且当时恒有，当时，，则（　　） ‎ A.      B.      C.    D. ‎ 二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)‎ ‎13.全称命题：的否定是 ______ ．‎ ‎14. .已知函数是定义在上的函数，，且当 时有，则不等式的解集是 ______ ． ‎ ‎15.已知复数且，则的范围为 ______ ．‎ ‎16.对函数（其中为实数，），给出下列命题； ‎ ‎①当时，在定义域上为单调递减函数；‎ ‎②对任意，都不是奇函数； ‎ ‎③当时，为偶函数；‎ ‎④关于的方程 最多有一个实数根， ‎ 其中正确命题的序号为 ______ ，（把所有正确的命题序号写入横线）‎ 三、解答题(本大题共6小题，共70分)‎ ‎17.某种产品的广告费用支出x（万元）与销售额y（万元）之间有如下的对应数据： ‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎8‎ ‎30‎ ‎40‎ ‎60‎ ‎50‎ ‎70‎ ‎（1）求回归直线方程；‎ ‎（2）据此估计广告费用为12万元时的销售额约为多少？ ‎ 参考公式：，，． ‎ ‎18.在某次电影展映活动中，展映的影片类型有科幻片和文艺片两种，统计数据显示．100名男性观众中选择科幻片的有60名，60名女性观众中选择文艺片的有40名． ‎ ‎（1）根据已知条件完成2×2列联表： ‎ 科幻片 文艺片 合计 男 ‎______ ‎ ‎______ ‎ ‎______ ‎ 女 ‎______ ‎ ‎______ ‎ ‎______ ‎ 合计 ‎______ ‎ ‎______ ‎ ‎______ ‎ ‎（2）判断是否有99%的把握认为“观影类型与性别有关”？ ‎ 随机变量（其中 ） ‎ 临界值表： ‎ P（K2≥k）‎ ‎0.50‎ ‎0.40‎ ‎0.25‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ k ‎0.455‎ ‎0.708‎ ‎1.323‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎ ‎ ‎19.已知，命题：“”，命题：‎ ‎“”． ‎ ‎（Ⅰ）若命题为真命题，求实数 的取值范围； ‎ ‎（Ⅱ）若命题“”为假命题，求实数的取值范围．‎ ‎ ‎ ‎20.已知直线经过点 ，倾斜角， ‎ ‎（Ⅰ）写出直线的参数方程； ‎ ‎（Ⅱ）设直线与圆：相交于两点A，B，求线段AB的长度． ‎ ‎ ‎ ‎21.以平面直角坐标系的原点为极点，以轴的正半轴为极轴建立极坐标系．设曲线C的参数方程为（是参数），直线的极坐标方程为． ‎ ‎（1）求直线的直角坐标方程和曲线C的普通方程； ‎ ‎（2）设点P为曲线C上任意一点，求点P到直线的距离的最大值． ‎ ‎ ‎ ‎22. 已知函数（），是定义在上的奇函数．‎ ‎（I）求的值和实数的值；‎ ‎（II）当时，判断函数在上的单调性，并给出证明；‎ ‎（III）若且，求实数的取值范围．‎ 福建师大二附中2016—2017学年第二学期高二年期中考 答案和解析 ‎【答案】 1.B    2.B    3.A    4.D    5.D    6.C    7.D    8.D    9.A    10.B    11.A    12.A     13. ‎ ‎14.（0，2） 15. 16.②④ 17.解：（1）求回归直线方程==5==50 b==6.5 a=50-6.5×5=17.5 ∴因此回归直线方程为y=6.5x+17.5； （2）当x=12时，预报y的值为y=12×6.5+17.5=95.5万元．  即广告费用为12万元时，销售收入y的值大约是95.5万元． 18.60；40；100；20；40；60；80；80；160 19.解：（I）由命题p为真命题，a≤x2min，a≤1； （ II）由命题“p∧q”为假命题，所以p为假命题或q为假命题， p为假命题时，由（I）a＞1； q为假命题时△=4a2-4（2-a）＜0，-2＜a＜1， 综上：a∈（-2，1）∪（1，+∞）． 20.解：（1）设直线l上任意一点为Q（x，y）， ∵直线l经过点P（2，1），倾斜角，∴PQ的斜率k==tan=， 因此，设y-1=tsin=t，x-2=tcos=t， 可得直线l的参数方程为（t为参数）．  （2）圆O的方程为ρ=2，平方得ρ2=4，即x2+y2=4， 将直线l的参数方程代入x2+y2=4，整理得． 设A（2+t1，1+t1），B（2+t2，1+t2）， ∴，t1t2=1， 可得线段AB长为： ==． 21.解：（1）∵直线l的极坐标方程为ρcos（θ+）=2，即ρ（cosθ-sinθ）=2， ‎ 即x-y-4=0． 曲线C的参数方程为（α是参数），利用同角三角函数的基本关系消去α， 可得+=1． （2）设点P（2cosα，sinα）为曲线C上任意一点， 则点P到直线l的距离d==，tanβ=， 故当cos（α+β）=-1时，d取得最大值为． 22.解：（I）∵f（0）=loga1=0． 因为f（x）是奇函数， 所以：f（-x）=-f（x）⇒f（-x）+f（x）=0 ∴loga+loga=0； ∴loga=0⇒=1， 即∴1-m2x2=1-x2对定义域内的x都成立．∴m2=1． 所以m=1或m=-1（舍） ∴m=1． （II）∵m=1 ∴f（x）=loga； 设 设-1＜x1＜x2＜1，则 ∵-1＜x1＜x2＜1∴x2-x1＞0，（x1+1）（x2+1）＞0 ∴t1＞t2． 当a＞1时，logat1＞logat2， 即f（x1）＞f（x2）． ∴当a＞1时，f（x）在（-1，1）上是减函数． 当0＜a＜1时，logat1＜logat2，即f（x1）＜f（x2）． ∴当0＜a＜1时，f（x）在（-1，1）上是增函数． （III）由f（b-2）+f（2b-2）＞0 得f（b-2）＞-f（2b-2）， ∵函数f（x）是奇函数 ∴f（b-2）＞f（2-2b） ， ∴0＜a＜1 由（II）得f（x）在（-1，1）上是增函数 ∴ ‎ ‎∴ ∴b的取值范围是 【解析】 1. 解：∵集合A={x|-1＜x＜3}，B={x|x＜a}， A∩B=A， ∴A⊂B，∴a≥3． ∴实数a的取值范围是a≥3． 故选：B． 由A∩B=A，知A⊂B，由此能求出实数a的取值范围． 本题考查实数的取值范围的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用． 2. 解：∵z==， ∴复数z=的虚部为-3． 故选：B． 直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案． 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题． 3. 解：原式==1， 故选：A． 利用对数换底公式即可得出． 本题考查了对数换底公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 4. 解：∵， =4， ∴本组数据的样本中心点是（1.5，4）， ∴y与x的线性回归方程为y=bx+a必过点（1.5，4） 故选D． 要求y与x的线性回归方程为y=bx+a必过的点，需要先求出这组数据的样本中心点，根据所给的表格中的数据，求出横标和纵标的平均值，得到样本中心点，得到结果． 本题考查线性回归方程，考查线性回归方程必过样本中心点，这是一个基础题，题目的运算量不大． 5. 解：因为在每段定义域对应的解析式上都有可能使得f（x）≥1成立，所以将原不等式转化为：或，从而得x≥1或x≤-1．故选D． 分段函数最本质的特点是在定义域的不同区间上对应关系（解析式）不同．在每段定义域对应的解析式上都有可能使得f（x）≥1成立，所以需要分情况解答． 考查学生对分段函数本质的理解深度． 6. 解：∵f（x）是定义在[0，+∞）上单调递增的函数， ‎ ‎∴不等式等价为0≤2x-1＜，即≤x＜， 即不等式的解集为， 故选：C． 根据函数单调性的性质，建立不等式关系进行求解即可． 本题主要考查不等式的求解，根据函数单调性的性质建立不等式关系是解决本题的关键． 7. 解：极坐标ρ=-6cosθ，两边同乘以ρ，得ρ2=-6ρcosθ， 化为普通方程为x2+y2=-6x，即（x+3）2+y2=9． 表示以C（-3，0）为圆心，半径为3的圆． 参数方程（θ为参数），利用同角三角函数关系消去θ， 化为普通方程为，表示椭圆． 故选D． 将极坐标方程、参数方程化为普通方程，再去判断即可． 本题考查了极坐标方程、普通方程以及转化，曲线的普通方程．属于基础题． 8. 解：“a＞0，b＞0”时，，当a=b时，“”不成立， 故“a＞0，b＞0”是“”的不充分条件， “”时，a，b可以异号，故“a＞0，b＞0”不一定成立， 故“a＞0，b＞0”是“”的既不充分也不必要条件， 故选：D 结合基本不等式和充要条件的定义，分析“a＞0，b＞0”与“”的关系，可得答案． 本题考查的知识点是充要条件，正确理解充要条件的概念是解答的关键． 9.解：∵=3，∴a=＜0； ∵log3b=-，∴b==∈（0，1）； 由c，作出指数函数与对数函数的图象如图： 可知c＞1． ‎ ‎∴a＜b＜c． 故选：A． 分别化指数式为对数式与化对数式为指数式得到a，b的范围，再由指数函数与对数函数的图象可得c的范围，则实数a，b，c的大小关系可求． 本题考查对数值的大小比较，考查指数函数与对数函数的图象，是中档题． 10. 解：由题意得，设直线l倾斜角为θ，直线l的参数方程为（t为参数）， 可化为，则， ∵θ∈（0，π）， ∴， 故选：B． 把直线l的参数方程化为普通方程，利用斜率与倾斜角的关系、同角三角函数基本关系式即可得出． 本题考查了参数方程化为普通方程、斜率与倾斜角的关系、同角三角函数基本关系式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 11. 解：由已知中函数f（x）=（x-a）（x-b）的图象可得： 0＜a＜1，b＜-1， 故g（x）=ax+b的图象如下图所示： 故选：A． 由已知中函数f（x）=（x-a）（x-b）的图象可得：0＜a＜1，b＜-1，进而结合指数函数的图象和性质及函数图象的平移变换法则，画出g（x）=ax+b的图象，可得答案． 本题考查的知识点是指数函数的图象和性质，其中根据已知分析出0＜a＜1，b＜-1，是解答的关键． 12. 解：∵y=f（x-1）的图象关于（1，0）点对称， ∴y=f（x）的图象关于（0，0）点对称， ∴函数为奇函数， ∵当x≥0时恒有f（x+2）=f（x），当x∈[0，2）时，f（x）=ex-1， ∴f（2016）+f（-2015） =f（2016）-f（2015） =f（0）-f（1） =0-（e-1） =1-e， 故选：A 根据图象的平移可知y=f（x）的图象关于（0，0）点对称，可得函数为奇函数，由题意可知当x≥0时，函数为周期为2的周期函数，可得f（2016）+f（-2015）=f（0）-f（1），求解即可． ‎ 本题主要考查了函数图象的平移，奇函数的性质和函数的周期性．难点是对知识的综合应用． 13. 解：命题：∀x∈R，x2＞1的否定是：， 故答案为： 根据已知中的原命题，结合全称命题否定的方法，可得答案． 本题考查的知识点是全称命题，命题的否定，难度不大，属于基础题． 14. 解：∵当0＜x1＜x2时有＞0， ∴f（x）在（0，+∞）上单调递增， 又f（2）=0，f（x）＜0， ∴f（x）＜f（2）， ∵f（x）在（0，+∞）上单调递增， ∴不等式f（x）＜0的解集是（0，2）． 故答案为：（0，2）． 确定f（x）在（0，+∞）上单调递增，f（2）=0，f（x）＜0，可得f（x）＜f（2），即可得出结论． 本题考查函数的单调性，利用函数的单调性求解不等式问题，考查学生的计算能力，属于中档题． 15. 解：∵|z-2|=|x-2+yi|，， ∴． ∴（x-2）2+y2=3． 设，则y=kx． 联立，化为（1+k2）x2-4x+1=0． ∵直线y=kx与圆有公共点， ∴△=16-4（1+k2）≥0，解得． ∴则的范围为． 故答案为． 利用复数的运算法则和模的计算公式、直线与圆有公共点的充要条件即可得出． 熟练掌握复数的运算法则和模的计算公式、直线与圆有公共点的充要条件是解题的关键． 16. 解：对于①，当a=1时，f（x）=1+，是由y=向右，向上平移一个单位得到的，不是单调函数，∴不正确． 对于②，用分离常数法转化，f（x）=，易得其图象关于（1，a）对称，若为是奇函数，则图象关于原点对称，∴正确； ‎ 对于③，当a=1时，f（x）=1+，易得其图象关于（1，1）对称，不是偶函数，∴不正确； 对于④，方程f（x）=0⇒ax+1=0且x-1≠0，⇒最多有一个实数根，故正确； 故答案为：②④ ①，当a=1时，f（x）=1+，是由y=向右，向上平移一个单位得到的，不是单调函数． ②，用分离常数法转化，f（x）=，易得其图象关于（1，a）对称，图象不关于原点对称； ③，当a=1时，f（x）=1+，易得其图象关于（1，1）对称，不是偶函数； ④，方程f（x）=0⇒ax+1=0且x-1≠0，⇒最多有一个实数根，故正确； 本题考查了命题的真假判定，涉及到f（x）=型函数的性质，属于基础题． 17. （1）根据所给的数据先做出横标和纵标的平均数，利用最小二乘法写出线性回归方程系数的表达式，把样本中心点代入求出a的值，得到线性回归方程． （2）根据所给的变量x的值，把值代入线性回归方程，得到对应的y的值，这里的y的值是一个预报值． 本题考查线性回归方程的求法和应用，本题解题的关键是求出线性回归方程的系数，这是后面解题的先决条件． 18. 解：（1）由题可得 ‎ 科幻片 文艺片 合计 男 ‎60‎ ‎40‎ ‎100‎ 女 ‎20‎ ‎40‎ ‎60‎ 合计 ‎80‎ ‎80‎ ‎160‎ ‎（2）由题可得 ∴有99%的把握认为“观影类型与性别有关” （1）直接利用条件列表即可． （2）利用随机变量K2=，求出k2，判断即可． 本题考查2×2列联表的填法，对立检验的运用，考查计算能力． 19. （I）由命题p为真命题，问题转化为求出x2min，从而求出a的范围； （ II）由命题“p∧q”为假命题，得到p为假命题或q为假命题，通过讨论p，q的真假，从而求出a的范围． 本题考查了复合命题的判断，考查函数恒成立问题，是一道基础题． 20. ‎ ‎（1）设直线l上任意一点为Q（x，y），根据直线的斜率公式与同角三角函数的商数关系，引入参数t可得y-1=t且x-2=t，由此即可得到直线l的参数方程； （2）将圆O化为直角坐标下的标准方程得x2+y2=4，将l的参数方程代入，化简整理得．再利用一元二次方程根与系数的关系和两点间的距离公式加以计算，可得求线段AB的长度． 本题将直线l的方程化成参数方程，并求直线被圆截得的弦长．着重考查了参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化和直线与圆的位置关系等知识，属于中档题． 21. （1）利用极坐标和直角坐标的互化公式把直线l的极坐标方程化为直角坐标方程．利用同角三角函数的基本关系消去α，把曲线C的参数方程化为直角坐标方程． （2）设点P（2cosα，sinα），求得点P到直线l的距离d=，tanβ=，由此求得d的最大值． 本题主要考查把极坐标方程、参数方程化为直角坐标方程的方法，点到直线的距离公式、辅助角公式的应用，属于中档题． 22. （I）直接把0代入即可求出f（0）的值；再结合f（-x）+f（x）=0对定义域内的所有自变量成立即可求出实数m的值； （II）先研究真数的单调性，再结合复合函数的单调性即可判断函数f（x）在（-1，1）上的单调性； （III）先根据得到a的范围；再结合其为奇函数把f（b-2）+f（2b-2）＞0转化为f（b-2）＞f（2-2b），结合第二问的单调性即可求出实数b的取值范围． 本题主要考察对数函数图象与性质的综合应用．本题第二问涉及到复合函数的单调性，复合函数的单调性遵循原则是：同增异减． ‎