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- 2021-06-11 发布
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2018-2019学年江苏省淮安市高一年级下学期期末数学试题
一、单选题
1.l:的斜率为
A.﹣2 B.2 C. D.
【答案】B
【解析】先化成直线的斜截式方程即得直线的斜率.
【详解】
由题得直线的方程为y=2x,
所以直线的斜率为2.
故选:B
【点睛】
本题主要考查直线斜率的求法,意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.
2.△ABC中,若A+C=3B,则cosB的值为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】先求出B,再求cosB.
【详解】
由题得,
所以.
故选:D
【点睛】
本题主要考查特殊角的三角函数值,意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.
3.l:与两坐标轴所围成的三角形的面积为
A.6 B.1 C. D.3
【答案】D
【解析】先求出直线与坐标轴的交点,再求三角形的面积得解.
【详解】
当x=0时,y=2,
当y=0时,x=3,
所以三角形的面积为.
故选:D
【点睛】
本题主要考查直线与坐标轴的交点的坐标的求法,意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.
4.区间[0,5]上任意取一个实数x,则满足x[0,1]的概率为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】利用几何概型求解即可.
【详解】
由几何概型的概率公式得满足x[0,1]的概率为.
故选:A
【点睛】
本题主要考查几何概型的概率的求法,意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.
5.组数据,,…,的平均值为3,则,,…,的平均值为
A.3 B.6 C.5 D.2
【答案】B
【解析】直接利用平均数的公式求解.
【详解】
由题得,
所以,,…,的平均值为.
故选:B
【点睛】
本题主要考查平均数的求法,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
6.三条线段的长分别为5,6,8,则用这三条线段
A.能组成直角三角形 B.能组成锐角三角形
C.能组成钝角三角形 D.不能组成三角形
【答案】C
【解析】先求最大角的余弦,再得到三角形是钝角三角形.
【详解】
设最大角为,
所以,
所以三角形是钝角三角形.
故选:C
【点睛】
本题主要考查余弦定理,意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.
7.一个正四棱锥的底面边长为2,高为,则该正四棱锥的全面积为
A.8 B.12 C.16 D.20
【答案】B
【解析】先求侧面三角形的斜高,再求该正四棱锥的全面积.
【详解】
由题得侧面三角形的斜高为,
所以该四棱锥的全面积为.
故选:B
【点睛】
本题主要考查几何体的边长的计算和全面积的求法,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
8.直线l:与圆C:交于A,B两点,则当弦AB最短时直线l的方程为
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】先求出直线经过的定点,再求出弦AB最短时直线l的方程.
【详解】
由题得,
所以直线l过定点P.
当CP⊥l时,弦AB最短.
由题得,
所以.
所以直线l的方程为.
故选:A
【点睛】
本题主要考查直线过定点问题,考查直线方程的求法,考查直线和圆的位置关系,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
9.直三棱柱ABC—A1B1C1中,BB1中点为M,BC中点为N,∠ABC=120°,AB=2,BC=CC1=1,则异面直线AB1与MN所成角的余弦值为
A.1 B. C. D.0
【答案】D
【解析】先找到直线异面直线AB1与MN所成角为∠,再通过解三角形求出它的余弦值.
【详解】
由题得,
所以∠就是异面直线AB1与MN所成角或补角.
由题得,
,
因为,
所以异面直线AB1与MN所成角的余弦值为0.
故选:D
【点睛】
本题主要考查异面直线所成的角的求法,考查余弦定理解三角形,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
10.直角坐标系xOy中,已知点P(2﹣t,2t﹣2),点Q(﹣2,1),直线l:.若对任意的tR,点P到直线l的距离为定值,则点Q关于直线l对称点Q′的坐标为
A.(0,2) B.(2,3) C.(,) D.(,3)
【答案】C
【解析】先求出点P的轨迹和直线l的方程,再求点Q关于直线l对称点Q′的坐标.
【详解】
设点P(x,y),所以
所以点P的轨迹方程为2x+y-2=0.
对任意的tR,点P到直线l的距离为定值,
所以直线l的方程为2x+y=0.
设点点Q关于直线l对称点Q′的坐标为,
所以.
故选:C
【点睛】
本题主要考查动点的轨迹方程的求法,考查点线点对称问题,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
第II卷(非选择题)
请点击修改第II卷的文字说明
二、填空题
11., ,若,则实数的值为_______.
【答案】1
【解析】由题得,解方程即得的值.
【详解】
由题得,解之得=1.
当=1时两直线平行.
故答案为:1
12.高一、高二、高三三个年级共有学生1500人,其中高一共有学生600人,现用分层抽样的方法抽取30人作为样本,则应抽取高一学生数为_______.
【答案】12
【解析】由题得高一学生数为,计算即得解.
【详解】
由题得高一学生数为.
故答案为:12
【点睛】
本题主要考查分层抽样,意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.
13.已知ABC中,A,,则= .
【答案】2
【解析】试题分析:由正弦定理得==
【考点】本题考查了正弦定理的运用
点评:熟练运用正弦定理及变形是解决此类问题的关键,属基础题
14.一个长方体的三个面的面积分别是,,,则这个长方体的体积为______.
【答案】.
【解析】
利用三个面的面积构造出方程组,三式相乘即可求得三条棱的乘积,从而求得体积.
【详解】
设长方体中同顶点的三条棱的长分别为
则可设:,三式相乘可知
长方体的体积:
本题正确结果:
【点睛】
本题考查长方体体积的求解问题,属于基础题.
15.圆上总存在两点到坐标原点的距离为1,则实数a的取值范围是_______.
【答案】
【解析】因为圆(x-a)2+(y-a)2=8和圆x2+y2=1相交,两圆圆心距大于两圆半径之差、小于两圆半径之和,可知结论为
16.△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若acosB=5bcosA,asinA﹣bsinB=2sinC,则边c的值为_______.
【答案】3
【解析】由acosB=5bcosA得,由asinA﹣bsinB=2sinC得,解方程得解.
【详解】
由acosB=5bcosA得.
由asinA﹣bsinB=2sinC得,
所以.
故答案:3
【点睛】
本题主要考查正弦定理和余弦定理解三角形,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
三、解答题
17.已知三点A(5,0),B(﹣3,﹣2),C(0,2).
(1)求直线AB的方程;
(2)求BC的中点到直线AB的距离.
【答案】(1)x-4y-5=0;(2).
【解析】(1)利用直线的点斜式方程求直线AB的方程;(2)利用点到直线的距离求BC的中点到直线AB的距离.
【详解】
(1)由题得,
所以直线AB的方程为.
(2)由题得BC的中点为,
所以BC中点到直线AB的距离为.
【点睛】
本题主要考查直线方程的求法,考查点到直线的距离的求法,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
18.如图,在△ABC中,B=30°,D是BC边上一点,AD=,CD=7,AC=5.
(1)求∠ADC的大小;
(2)求AB的长.
【答案】(1)
【解析】(1)利用余弦定理求∠ADC的大小;(2)利用正弦定理求AB的长.
【详解】
(1)由余弦定理得.
(2)由题得∠ADB=
由正弦定理得.
【点睛】
本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
19.甲乙两名篮球运动员分别在各自不同的5场比赛所得篮板球数的茎叶图如图所示,已知两名运动员在各自5场比赛所得平均篮板球数均为10.
(1)求x,y的值;
(2)求甲乙所得篮板球数的方差和,并指出哪位运动员篮板球水平更稳定;
(3)教练员要对甲乙两名运动员篮板球的整体水平进行评估.现在甲乙各自的5场比赛中各选一场进行评估,则两名运动员所得篮板球之和小于18的概率.
【答案】(1)x=2,y=9;(2),乙更稳定;(3).
【解析】(1)利用平均数求出x,y的值;(2)求出甲乙所得篮板球数的方差和,判断哪位运动员篮板球水平更稳定;(3)利用古典概型的概率求两名运动员所得篮板球之和小于18的概率.
【详解】
(1)由题得,
.
(2)由题得,
.
因为,所以乙运动员的水平更稳定.
(3)由题得所有的基本事件有(8,8),(8,9),(8,10),(8,11),(8,12),(7,8),(7,9),(7,10),(7,11),(7,12),(10,8),(10,9),(10,10),(10,11),(10,12),(12,8),(12,9),(12,10),(12,11),(12,12),(13,8),(13,9),(13,10),(13,11),(13,12).共25个.
两名运动员所得篮板球之和小于18的基本事件有(8,8),(8,9),(7,8),(7,9),(7,10),共5个,
由古典概型的概率公式得两名运动员所得篮板球之和小于18的概率为.
【点睛】
本题主要考查平均数的计算和方差的计算,考查古典概型的概率的计算,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
20.如图,在三棱锥P—ABC中,△PBC为等边三角形,点O为BC的中点,AC⊥PB,平面PBC⊥平面ABC.
(1)求直线PB和平面ABC所成的角的大小;
(2)求证:平面PAC⊥平面PBC;
(3)已知E为PO的中点,F是AB上的点,AF=AB.若EF∥平面PAC,求的值.
【答案】(1);(2)证明见解析;(3)
【解析】(1)先找到直线PB与平面ABC所成的角为,再求其大小;(2)先证明,
再证明平面PAC⊥平面PBC;(3)取CO的中点G,连接EG,过点G作FG||AC,再求出的值.
【详解】
(1)因为平面PBC⊥平面ABC,PO⊥BC,
平面PBC∩平面ABC=BC,,
所以PO⊥平面ABC,
所以直线PB与平面ABC所成的角为,
因为,
所以直线PB与平面ABC所成的角为.
(2)因为PO⊥平面ABC,
所以,
因为AC⊥PB,,
所以AC⊥平面PBC,
因为平面PAC,
所以平面PAC⊥平面PBC.
(3)
取CO的中点G,连接EG,过点G作FG||AC,
由题得EG||PC,所以EG||平面APC,
因为FG||AC,所以FG||平面PAC,
EG,FG平面EFO,EG∩FG=G,
所以平面EFO||平面PAC,
因为EF平面EFO,
所以EF||平面PAC.
此时AF=.
【点睛】
本题主要考查空间几何元素垂直关系的证明,考查线面角的求法,考查空间几何中的探究性问题,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
21.如图,圆C与x轴相切于点T(2,0),与y轴的正半轴相交于A,B两点(A在B的上方),且AB=3.
(1)求圆C的方程;
(2)直线BT上是否存在点P满足PA2+PB2+PT2=12,若存在,求出点P的坐标,若不存在,请说明理由;
(3)如果圆C上存在E,F两点,使得射线AB平分∠EAF,求证:直线EF的斜率为定值.
【答案】(1);(2)点P坐标为.(3)见解析.
【解析】(1)求出圆C的半径为,即得圆C的方程;(2)先求出直线BT的方程为x+2y-2=0.
设P(2-2y,y),根据PA2+PB2+PT2=12 求出点P的坐标;(3)由题得,即EF⊥BC,再求EF的斜率.
【详解】
(1)由题得,所以圆C的半径为.
所以圆C的方程为.
(2)在中,令x=0,则y=1或y=4.
所以A(0,4),B(0,1).
所以直线BT的方程为x+2y-2=0.
设P(2-2y,y),因为PA2+PB2+PT2=12,
所以,
由题得
因为,
所以方程无解.
所以不存在这样的点P.
(3)由题得,
所以,
所以.
所以直线EF的斜率为定值.
【点睛】
本题主要考查圆的方程的求法,考查直线和圆的位置关系,考查圆中的定值问题,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.