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- 2021-06-11 发布
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第四节 垂直关系
[考纲传真] (教师用书独具)1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点,认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理.2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题.
(对应学生用书第114页)
[基础知识填充]
1.直线与平面垂直
(1)定义:如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直,那么称这条直线和这个平面垂直.
(2)判定定理与性质定理
文字语言
图形语言
符号语言
判
定
定
理
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直
⇒l⊥α
性
质
定
理
垂直于同一个平面的两条直线平行
⇒a∥b
2.二面角的有关概念
(1)二面角:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角.
(2)二面角的平面角:以二面角的棱上任一点为端点,在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所成的角叫作二面角的平面角.
(3)范围:[0,π].
3.平面与平面垂直
(1)定义:如果两个平面所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直.
(2)判定定理与性质定理
文字语言
图形语言
符号语言
判
定
定
理
一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直
⇒α⊥β
性质定理
两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直
⇒l⊥α
[知识拓展] 1.如果在两条平行直线中,有一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于这个平面.
2.直线垂直于平面,则垂直于这个平面内的任一直线.
3.垂直于同一条直线的两平面平行.
[基本能力自测]
1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直,则l⊥α.( )
(2)垂直于同一个平面的两平面平行.( )
(3)直线a⊥α,b⊥α,则a∥b.( )
(4)若α⊥β,a⊥β⇒a∥α.( )
(5)若直线a⊥平面α,直线b∥α,则直线a与b垂直.( )
[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)× (5)√
2.(教材改编)设α,β是两个不同的平面,l,m是两条不同的直线,且lα,mβ.( )
A.若l⊥β,则α⊥β B.若α⊥β,则l⊥m
C.若l∥β,则α∥β D.若α∥β,则l∥m
A [∵l⊥β,lα,∴α⊥β(面面垂直的判定定理),故A正确.]
3.(2016·浙江高考)已知互相垂直的平面α,β交于直线l.若直线m,n满足 m∥α,n⊥β,则( )
A.m∥l B.m∥n
C.n⊥l D.m⊥n
C [∵α∩β=l,∴lβ.
∵n⊥β,∴n⊥l.]
4.如图741,O为正方体ABCDA1B1C1D1的底面ABCD的中心,则下列直线中与B1O垂直的是( )
图741
A.A1D
B.AA1
C.A1D1
D.A1C1
D [易知AC⊥平面BB1D1D.
∵A1C1∥AC,∴A1C1⊥平面BB1D1D.
又B1O平面BB1D1D,∴A1C1⊥B1O,故选D.]
5.如图742,已知PA⊥平面ABC,BC⊥AC,则图中直角三角形的个数为________.
图742
4 [∵PA⊥平面ABC,
∴PA⊥AB,PA⊥AC,PA⊥BC,
则△PAB,△PAC为直角三角形.
由BC⊥AC,且AC∩PA=A,
∴BC⊥平面PAC,从而BC⊥PC.
因此△ABC,△PBC也是直角三角形.]
(对应学生用书第115页)
线面垂直的判定与性质
(2018·合肥一检)如图743,已知四棱锥PABCD的底面ABCD为菱形,且PA⊥底面ABCD,∠ABC=60°,点E,F分别为BC,PD的中点,PA=AB=2.
图743
(1)证明:AE⊥平面PAD;
(2)求多面体PAECF的体积.
[解] (1)证明:由PA⊥底面ABCD得PA⊥AE.
底面ABCD为菱形,∠ABC=60°,得△ABC为等边三角形,
又因为E为BC的中点,得AE⊥BC,所以AE⊥AD.
因为PA∩AD=A,所以AE⊥平面PAD.
(2)令多面体PAECF的体积为V,
则V=V三棱锥PAEC+V三棱锥CPAF.
V三棱锥PAEC=××PA
=××2=;
V三棱锥CPAF=××AE
=××=,
所以多面体PAECF的体积为V=+=.
[规律方法] 证明直线和平面垂直的常用方法
(1)利用判定定理.
(2)利用判定定理的推论(a∥b,a⊥α⇒b⊥α).
(3)利用面面平行的性质(a⊥α,α∥β⇒a⊥β).
(4)利用面面垂直的性质.
当两个平面垂直时,在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面.
(5)重视平面几何知识,特别是勾股定理的应用.
[跟踪训练]
如图744所示,已知AB为圆O的直径,点D为线段AB上一点,且AD=DB,点C为圆O上一点,且BC=AC,PD⊥平面ABC,PD=DB.
图744
求证:PA⊥CD.
【导学号:79140234】
[证明] 因为AB为圆O的直径,所以AC⊥CB,在Rt△ACB中,由AC=BC,得∠ABC=30°.
设AD=1,由3AD=DB,得DB=3,BC=2,由余弦定理得CD2=DB2+BC2-2DB·BCcos 30°=3,
所以CD2+DB2=BC2,即CD⊥AO.
因为PD⊥平面ABC,CD平面ABC,
所以PD⊥CD,由PD∩AB=D,得CD⊥平面PAB,又PA平面PAB,所以PA⊥CD.
平面与平面垂直的判定与性质
(2017·全国卷Ⅰ)如图745,在四棱锥PABCD中,AB∥CD,且∠BAP=∠CDP=90°.
图745
(1)证明:平面PAB⊥平面PAD;
(2)若PA=PD=AB=DC,∠APD=90°,且四棱锥PABCD的体积为,求该四棱锥的侧面积.
[解] (1)证明:由已知∠BAP=∠CDP=90°,
得AB⊥AP,CD⊥PD.
由于AB∥CD,故AB⊥PD,从而AB⊥平面PAD.
又AB平面PAB,
所以平面PAB⊥平面PAD.
(2)如图,在平面PAD内作PE⊥AD,垂足为E.
由(1)知,AB⊥平面PAD,故AB⊥PE,AB⊥AD,
可得PE⊥平面ABCD.
设AB=x,则由已知可得
AD=x,PE=x.
故四棱锥PABCD的体积
VPABCD=AB·AD·PE=x3.
由题设得x3=,故x=2.
从而结合已知可得PA=PD=AB=DC=2,AD=BC=2,PB=PC=2.
可得四棱锥PABCD的侧面积为
PA·PD+PA·AB+PD·DC+BC2sin 60°=6+2.
[规律方法] 1.面面垂直的两种证明方法
(1)定义法:利用面面垂直的定义,即判定两平面所成的二面角为直二面角,将证明面面垂直问题转化为证明平面角为直角的问题.
(2)定理法:利用面面垂直的判定定理,即证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线,把问题转化成证明线线垂直加以解决.
2.三种垂直关系的转化
[跟踪训练] (2018·云南二检)如图746已知三棱锥PABC中,AC⊥BC,AC=BC=2,PA=PB=PC=3,O是AB的中点,E是PB的中点.
图746
(1)证明:平面PAB⊥平面ABC;
(2)求点B到平面OEC的距离.
[解] (1)证明:连接PO,在△PAB中,PA=PB,
O是AB的中点,∴PO⊥AB.
∵AC=BC=2,AC⊥BC,
∴AB=2,OB=OC=.
∵PA=PB=PC=3,
∴PO=,PC2=PO2+OC2.
∴PO⊥OC.
又AB∩CO=O,AB平面ABC,OC平面ABC,
∴PO⊥平面ABC.
∵PO平面PAB,∴平面PAB⊥平面ABC.
(2)∵OE是△PAB的中位线,∴OE=.
∵O是AB中点,AC=BC,∴OC⊥AB.
又平面PAB⊥平面ABC,两平面的交线为AB,
∴OC⊥平面PAB.∵OE平面PAB,∴OC⊥OE.
设点B到平面OEC的距离变d,
∵V三棱锥BOEC=V三棱锥EOBC,
∴×S△OEC·d=×S△OBC×OP.
d===.]
平行与垂直的综合问题
◎角度1 平行与垂直关系的证明
(2016·江苏高考)如图747,在直三棱柱ABCA1B1C1中,D,E分别为AB,BC的中点,点F在侧棱B1B上,且B1D⊥A1F,A1C1⊥A1B1.
图747
求证:(1)直线DE∥平面A1C1F;
(2)平面B1DE⊥平面A1C1F.
[证明] (1)在直三棱柱ABCA1B1C1中,A1C1∥AC.
在△ABC中,因为D,E分别为AB,BC的中点,
所以DE∥AC,于是DE∥A1C1.
又因为DE平面A1C1F,A1C1平面A1C1F,
所以直线DE∥平面A1C1F.
(2)在直三棱柱ABCA1B1C1中,A1A⊥平面A1B1C1.
因为A1C1平面A1B1C1,所以A1A⊥A1C1.
又因为A1C1⊥A1B1,A1A平面ABB1A1,A1B1平面ABB1A1,A1A∩A1B1=A1,所以A1C1⊥平面ABB1A1.
因为B1D平面ABB1A1,所以A1C1⊥B1D.
又因为B1D⊥A1F,A1C1平面A1C1F,A1F平面A1C1F,A1C1∩A1F=A1,所以B1D⊥平面A1C1F.
因为直线B1D平面B1DE,所以平面B1DE⊥平面A1C1F.
◎角度2 平行与垂直关系中的探索性问题
(2018·兰州实战模拟)如图748所示的空间几何体ABCDEFG中,四边形ABCD是边长为2的正方形,AE⊥平面ABCD,EF∥AB,EG∥AD,EF=EG=1.
图748
(1)求证:平面CFG⊥平面ACE;
(2)在AC上是否存在一点H,使得EH∥平面CFG?若存在,求出CH的长,若不存在,请说明理由.
【导学号:79140235】
[解] (1)证明:连接BD交AC于点O,则BD⊥AC.
设AB,AD的中点分别为M,N,连接MN,则MN∥BD,
连接FM,GN,则FM∥GN,且FM=GN,
所以MN∥FG,所以BD∥FG,所以FG⊥AC.
由于AE⊥平面ABCD,所以AE⊥BD.
所以FG⊥AE,又因为AC∩AE=A,所以FG⊥平面ACE.所以平面CFG⊥平面ACE.
(2)存在.设平面ACE交FG于Q,则Q为FG的中点,
连接EQ,CQ,取CO的中点为H,连接EH,
则CH∥EQ,CH=EQ=,
所以四边形EQCH为平行四边形,所以EH∥CQ,
所以EH∥平面CFG,
所以在AC上存在一点H,使得EH∥平面CFG,
且CH=.
[规律方法] 平行与垂直的综合应用问题的主要数学思想和处理策略
(1)处理平行与垂直的综合问题的主要数学思想是转化,要熟练掌握线线、线面、面面之间的平行与垂直的转化.
(2)
探索性问题一般是先根据条件猜测点的位置再给出证明,探索点的存在问题,点多为中点或三等分点中的某一个,也可以根据相似知识找点.
[跟踪训练] (2018·郑州第二次质量预测)如图749,高为1的等腰梯形ABCD中,AM=CD=AB=1,M为AB的三等分点.现将△AMD沿MD折起,使平面AMD⊥平面MBCD,连接AB,AC.
图749
(1)在AB边上是否存在点P,使AD∥平面MPC,请说明理由;
(2)当点P为AB边中点时,求点B到平面MPC的距离.
[解] (1)当AP=AB时,有AD∥平面MPC.
理由如下:
连接BD交MC于点N,连接NP.
在梯形MBCD中,DC∥MB,==.
∵在△ADB中,=,∴AD∥PN.
∵AD平面MPC,PN平面MPC,
∴AD∥平面MPC.
(2)∵平面AMD⊥平面MBCD,
平面AMD∩平面MBCD=DM,
由题易知,在△AMD中,AM⊥DM,
∴AM⊥平面MBCD,又P为AB中点,
∴V三棱锥PMBC=×S△MBC×
=××2×1×
=.
在△MPC中,MP=AB=,
MC=,PC==,
∴S△MPC=××=.
∴点B到平面MPC的距离为==.]