2019届二轮复习（理）第九章平面解析几何第55讲课件（32张）（全国通用） 32页

第 55 讲　直线与圆、圆与圆的位置关系 考试要求　 1. 直线与圆、圆与圆的位置关系及判断 (B 级要求 ) ； 2. 利用直线和圆的方程解决一些简单的问题 (B 级要求 ) ； 3. 用代数方法处理几何问题的思想 (A 级要求 ). 1. 思考辨析 ( 在括号内打 “√” 或 “×”) (1)“ k ＝ 1” 是 “ 直线 x － y ＋ k ＝ 0 与圆 x 2 ＋ y 2 ＝ 1 相交 ” 的必要不充分条件 .( 　　 ) (2) 如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切 .( 　　 ) (3) 如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交 .( 　　 ) (4) 从两相交圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程 .( 　　 ) (5) 过圆 O ： x 2 ＋ y 2 ＝ r 2 上一点 P ( x 0 ， y 0 ) 的圆的切线方程是 x 0 x ＋ y 0 y ＝ r 2 .( 　　 ) 诊 断 自 测 解析　 (1) “ k ＝ 1 ” 是 “ 直线 x － y ＋ k ＝ 0 与圆 x 2 ＋ y 2 ＝ 1 相交 ” 的充分不必要条件 . (2) 除外切外，还有可能内切 . (3) 两圆还可能内切或内含 . 答案　 (1)× 　 (2)× 　 (3)× 　 (4)√ 　 (5)√ 2. ( 必修 2P113 例 1 改编 ) 已知圆 O ： x 2 ＋ y 2 ＝ 4 ，则过点 P (2 ， 4) 与圆 O 相切的切线方程为 ________. 答案　 3 x － 4 y ＋ 10 ＝ 0 或 x ＝ 2 4. (2016· 全国 Ⅱ 卷改编 ) 圆 x 2 ＋ y 2 － 2 x － 8 y ＋ 13 ＝ 0 的圆心到直线 ax ＋ y － 1 ＝ 0 的距离为 1 ，则 a ＝ ________. 5.( 2018· 盐城模拟 ) 若直线 x － y ＋ 1 ＝ 0 与圆 ( x － a ) 2 ＋ y 2 ＝ 2 有公共点，则实数 a 的取值范围是 ________. 答案　 [ － 3 ， 1] 1. 判断直线与圆的位置关系常用的两种方法 知 识 梳 理 d < r d ＝ r d > r 相交 相切 相离 2. 圆与圆的位置关系 　　方法 位置关系 　　 几何法：圆心距 d 与 r 1 ， r 2 的关系 代数法：联立两圆方程组成方程组的解的情况 外离 ___________ _______ 外切 ___________ ______________ d > r 1 ＋ r 2 无解 d ＝ r 1 ＋ r 2 一组实数解 相交 ____________ ____ _____________________ 内切 ________________ ( r 1 ≠ r 2 ) ________________ 内含 ________________ ( r 1 ≠ r 2 ) _____ 无解 | r 1 － r 2 |< d < r 1 ＋ r 2 两组不同的实数解 d ＝ | r 1 － r 2 | 一组实数解 0 ≤ d <| r 1 － r 2 | 3. 常见结论 (1) 圆的切线方程常用结论 ① 过圆 x 2 ＋ y 2 ＝ r 2 上一点 P ( x 0 ， y 0 ) 的圆的切线方程为 x 0 x ＋ y 0 y ＝ r 2 . ② 过圆 ( x － a ) 2 ＋ ( y － b ) 2 ＝ r 2 上一点 P ( x 0 ， y 0 ) 的圆的切线方程为 ( x 0 － a )( x － a ) ＋ ( y 0 － b )( y － b ) ＝ r 2 . ③ 过圆 x 2 ＋ y 2 ＝ r 2 外一点 M ( x 0 ， y 0 ) 作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为 x 0 x ＋ y 0 y ＝ r 2 . (2) 圆与圆的位置关系的常用结论 ⅰ . 两圆的位置关系与公切线的条数： ① 内含： 0 条； ② 内切： 1 条； ③ 相交： 2 条 ； ④ 外切： 3 条； ⑤ 外离： 4 条 . ⅱ . 当两圆相交时，两圆方程 ( x 2 ， y 2 项系数相同 ) 相减便可得公共弦所在直线的方程 . 考点一　直线与圆的位置关系的判断 【例 1 】 ( 一题多解 ) (1) 过点 P ( － 3 ，－ 4) 作直线 l ，当斜率为何值时，直线 l 与圆 C ： ( x － 1) 2 ＋ ( y ＋ 2) 2 ＝ 4 有公共点？ (2) 求经过点 (1 ，－ 7) 与圆 x 2 ＋ y 2 ＝ 25 相切的直线方程 . 解　 (1) 法一 　设直线 l 的方程为 y ＋ 4 ＝ k ( x ＋ 3) ， 即 kx － y ＋ 3 k － 4 ＝ 0 ， 法二 　设直线 l 的方程为 y ＋ 4 ＝ k ( x ＋ 3) ， 即 y ＝ kx ＋ (3 k － 4) ， (2) 法一 　设切线的斜率为 k ， 由点斜式有 y ＋ 7 ＝ k ( x － 1) ，即 y ＝ k ( x － 1) － 7. ① 将 ① 代入圆的方程 x 2 ＋ y 2 ＝ 25 ，得 x 2 ＋ [ k ( x － 1) － 7] 2 ＝ 25 ，化简整理得 ( k 2 ＋ 1) x 2 － (2 k 2 ＋ 14 k ) x ＋ k 2 ＋ 14 k ＋ 24 ＝ 0. 法二 　设所求切线的斜率为 k ， 则所求直线方程为 y ＋ 7 ＝ k ( x － 1) ， 整理成一般式得 kx － y － k － 7 ＝ 0 ， 化简得 12 k 2 － 7 k － 12 ＝ 0 ， 所以切线方程为 4 x － 3 y － 25 ＝ 0 或 3 x ＋ 4 y ＋ 25 ＝ 0. 法三 　设所求切线方程为 x 0 x ＋ y 0 y ＝ 25 ，其中 ( x 0 ， y 0 ) 是圆上的点，将坐标 (1 ，－ 7) 代入后，得 x 0 － 7 y 0 ＝ 25. 故所求切线方程为 4 x － 3 y － 25 ＝ 0 或 3 x ＋ 4 y ＋ 25 ＝ 0. 规律方法　 判断直线与圆的位置关系的常见方法 (1) 几何法：利用 d 与 r 的关系 . (2) 代数法：联立方程之后利用 Δ 判断 . (3) 点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交 . 上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题 . 【训练 1 】 (1) 已知点 M ( a ， b ) 在圆 O ： x 2 ＋ y 2 ＝ 1 外，则直线 ax ＋ by ＝ 1 与圆 O 的位置关系是 ________. (2)( 2018· 南京月考 ) 圆 x 2 ＋ y 2 － 2 x ＋ 4 y ＝ 0 与直线 2 tx － y － 2 － 2 t ＝ 0( t ∈ R ) 的位置关系为 ________. 所以直线与圆相交 . (2) 直线 2 tx － y － 2 － 2 t ＝ 0 恒过点 (1 ，－ 2) ， ∵ 1 2 ＋ ( － 2) 2 － 2 × 1 ＋ 4 × ( － 2) ＝－ 5<0 ， ∴ 点 (1 ，－ 2) 在圆 x 2 ＋ y 2 － 2 x ＋ 4 y ＝ 0 内 . ∴ 直线 2 tx － y － 2 － 2 t ＝ 0 与圆 x 2 ＋ y 2 － 2 x ＋ 4 y ＝ 0 相交 . 答案　 (1) 相交　 (2) 相交 考点二　圆与圆的位置关系 【例 2 】 已知两圆 x 2 ＋ y 2 － 2 x － 6 y － 1 ＝ 0 和 x 2 ＋ y 2 － 10 x － 12 y ＋ m ＝ 0. (1) m 取何值时两圆外切； (2) m 取何值时两圆内切； (3) 求 m ＝ 45 时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长 . 解　 (1) 两圆的标准方程分别为 ( x － 1) 2 ＋ ( y － 3) 2 ＝ 11 ， ( x － 5) 2 ＋ ( y － 6) 2 ＝ 61 － m ， (3) 两圆的公共弦所在直线方程为 ( x 2 ＋ y 2 － 2 x － 6 y － 1) － ( x 2 ＋ y 2 － 10 x － 12 y ＋ 45) ＝ 0 ， 即 4 x ＋ 3 y － 23 ＝ 0 ，所以公共弦长为 规律方法　 判断圆与圆的位置关系时，一般用几何法，其步骤为 (1) 确定两圆的圆心坐标和半径长 . (2) 利用平面内两点间的距离公式求出圆心距 d ，求 r 1 ＋ r 2 ， | r 1 － r 2 |. (3) 比较 d ， r 1 ＋ r 2 ， | r 1 － r 2 | 的大小，写出结论 . (2) 如果圆 C ： x 2 ＋ y 2 － 2 ax － 2 ay ＋ 2 a 2 － 4 ＝ 0 与圆 O ： x 2 ＋ y 2 ＝ 4 总相交，那么实数 a 的取值范围是 ________. 解析　 (1) ∵ 圆 M ： x 2 ＋ ( y － a ) 2 ＝ a 2 ( a >0) ， ∴ 圆心坐标为 M (0 ， a ) ，半径 r 1 为 a ， ∴ M (0 ， 2) ， r 1 ＝ 2. 又圆 N 的圆心坐标 N (1 ， 1) ，半径 r 2 ＝ 1 ， ∴ r 1 － r 2 ＜ | MN | ＜ r 1 ＋ r 2 ， ∴ 两圆相交 . (2) 圆 C 的标准方程为 ( x － a ) 2 ＋ ( y － a ) 2 ＝ 4 ，圆心坐标为 ( a ， a ) ，半径为 2. 考点三　直线与圆的综合问题 【例 3 － 1 】 ( 一题多解 ) 如图，设圆 x 2 ＋ y 2 ＝ 1 的一条切线与 x 轴、 y 轴分别交于点 A ， B ，则线段 AB 长的最小值为 ______. 答案　 2 【例 3 － 2 】 已知 t ∈ R ，圆 C ： x 2 ＋ y 2 － 2 tx － 2 t 2 y ＋ 4 t － 4 ＝ 0. (1) 若圆 C 的圆心在直线 x － y ＋ 2 ＝ 0 上，求圆 C 的方程 . (2) 圆 C 是否过定点？如果过定点，求出定点的坐标；如果不过定点，请说明理由 . 解　 (1) 由原方程配方得 ( x － t ) 2 ＋ ( y － t 2 ) 2 ＝ t 4 ＋ t 2 － 4 t ＋ 4 ，其圆心为 C ( t ， t 2 ). 依题意知 t － t 2 ＋ 2 ＝ 0 ，所以 t ＝－ 1 或 2. 即圆 C 的方程为 x 2 ＋ y 2 ＋ 2 x － 2 y － 8 ＝ 0 或 x 2 ＋ y 2 － 4 x － 8 y ＋ 4 ＝ 0. (2) 整理圆 C 的方程为 ( x 2 ＋ y 2 － 4) ＋ ( － 2 x ＋ 4) t ＋ ( － 2 y )· t 2 ＝ 0 ， 所以圆 C 过定点 (2 ， 0). 【例 3 － 3 】 如图，已知圆 C ： x 2 ＋ ( y － 3) 2 ＝ 4 ，一动直线 l 过点 A ( － 1 ， 0) 与圆 C 相交于 P ， Q 两点， M 是 PQ 中点， l 与直线 m ： x ＋ 3 y ＋ 6 ＝ 0 相交于点 N . 又 k AC ＝ 3 ，所以当 l 与 m 垂直时， l 的方程为 y ＝ 3( x ＋ 1) ， l 必过圆心 C . (2) 解　 ① 当直线 l 与 x 轴垂直时，易知 x ＝－ 1 ，符合题意 . ② 当直线 l 与 x 轴不垂直时， 设直线 l 的方程为 y ＝ k ( x ＋ 1) ，即 kx － y ＋ k ＝ 0. 所以直线 l ： 4 x － 3 y ＋ 4 ＝ 0. 从而所求的直线 l 的方程为 x ＝－ 1 或 4 x － 3 y ＋ 4 ＝ 0. ② 当 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为 y ＝ k ( x ＋ 1) ， 规律方法 　 (1) 例 3 － 1 在建立函数时，没有选择用点 D 的坐标建立函数，而是选择 ∠ OAB 为自变量来建立函数，这种方法对于二元函数来说，有利于求解 . (2) 判定圆是否过定点，或是求圆所过定点坐标的问题，可以在方程形式上转化为关于某个参量的方程，结合恒等式的关系，再构造关于 x ， y 的方程组求该点的坐标 . 若方程组有解，则说明圆过定点，否则圆不过定点 . (3) 一般地，涉及到圆的切线或考虑其弦长问题时，若需要求直线的方程，则务必要全面考虑问题，即要考虑直线的斜率存在与不存在两种情况 .