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- 2021-06-11 发布
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兰州一中2019-2020-1学期期中考试试题
高一数学
说明:本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分150分,考试时间120分钟.答案写在答题卡上,交卷时只交答题卡.
第Ⅰ卷(选择题,共60分)
一.选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.设集合,则满足集合的个数是( )
A. 1个 B. 2个 C. 4个 D. 8个
【答案】C
【解析】
试题分析:根据题意,分析可得,该问题可转化为求集合A={1,2}的子集个数问题,再由集合的元素数目与子集数目的关系可得答案.则集合B中必含有元素3,即此题可转化为求集合A={1,2}的子集个数问题,所以满足题目条件的集合B共有个.
考点:并集及其运算.
2.对于映射,且,则与中的元素对应的中的元素为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据已知中映射,得到,即可求解.
【详解】由题意,,且映射,
令,解得,
所以与中的元素对应的中的元素为.
故选:A.
【点睛】本题主要考查了映射的定义及应用,其中解答中熟记映射的概念与对应关系,列出方程组是解答的关键,着重考查了计算能力,属于基础题.
3. 下列函数中表示同一函数的是( )
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
试题分析:的定义域为R,的定义域是,故A不正确;的定义是R,的定义域是,故B不正确;的定义域是,解得,的定义域是,解得,所以两个函数的定义域不同,故C不正确;和的定义域都是,并且化简后就是,故D正确.
考点:函数的定义
【方法点睛】考察了函数的表示以及函数的三个要素,属于基础题型,函数的三个要素包含定义域,对应关系和值域,只有两个函数的定义域相同,对应法则也相同,才是同一函数,当两个函数的定义域相同时,再看两个函数能否变形为同一个函数解析式.
4.函数的定义域是 ( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
试题分析:要使函数有意义,需满足,即,解得,所以函数的定义域是,应选D.
考点:求函数的定义域.
【方法点睛】本题看似是求函数的定义域,实质上是将根式、对数式、交集等知识联系在一起,重点考查学生思维能力的全面性和缜密性,凸显了知识之间的联系性、综合性,能较好的考查学生的计算能力和思维的全面性,特别是解对数不等式时,注意真数一定大于0,这时易错点,解决此类问题应从以下几个方面入手1、真数大于0;2、分母不为0;3、被开方数有意义;4、有意义.
5.已知是定义在上的奇函数,对任意,都有,若,则等于( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据,求得函数的周期,再利用函数的周期性和奇偶性,即可求解.
【详解】由题意,函数满足,所以函数是以4为周期的周期函数,
则,
又由函数上在上的奇函数,且,
所以,即,
故选:B.
【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性和函数的周期性的应用,其中解答中熟记函数的奇偶性和周期性,合理利用奇偶性和周期性转化求解是解答的关键,着重考查了推理与计算能力,属于基础题.
6.已知函数(是常数,且)在区间上有最大值3,最小值,则的值是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
通过换元令,然后由单调递减,结合的范围可列方程解得.
【详解】令,最大值为0,最小值为.
则
当时,单调递减.
所以,解得,有,
故选A.
【点睛】本题主要考查了指数型复合函数的最值问题,通常的解题的方法为换元,解题时注意新变元的范围,属于常考题型.
7.若,当>1时,的大小关系是
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
解:因为,那么当x>1时,则利用指数函数和对数函数的值域可知,01,c<0,因此选B
8.已知函数,且,则( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据分段函数的解析式,求得,进而可求解的值,得到答案.
【详解】由题意,函数,
当时,令,即,此时不成立;
当时,令,解得,
所以.
故选:A.
【点睛】本题主要考查了分段函数的应用,其中解答涉及到对数的运算性质和指数幂的运算性质,准确运算是解答的关键,着重考查了推理与计算能力,属于基础题.
9.若函数的大致图象如图,其中为常数,则函数的大致图像是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由函数的图象为减函数可知,,且,可得函数的图象递减,且,从而可得结果.
【详解】由函数的图象为减函数可知,,
再由图象的平移知,的图象由向左平移可知,
故函数的图象递减,且,故选B.
【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手:
(1)从函数的定义域,判断图象的左右位置;从函数的值域,判断图象的上下位置.
(2)从函数的单调性,判断图象的变化趋势;
(3)从函数的奇偶性,判断图象的对称性;
(4)从函数的特征点,排除不合要求的图象.
10.若函数在上的最大值为,最小值,且函数在上是增函数,则( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
利用在上的最大值为,先确定的值,再利用函数在区间
上是增函数,即可求得实数的值,得到答案.
【详解】由题意,当时,函数在为单调递增函数,
所以,即,解得,此时最小值;
当时,函数在为单调递减函数,
所以,即,解得,此时最小值,
又由函数在上是增函数,则,解答,
综上可得,.
故选:C.
【点睛】本题主要考查了指数函数的图象与性质,以及幂函数的图象与性质的应用,其中解答中熟记指数函数和幂函数的性质,合理分类讨论是解答的关键,着重考查了分类讨论思想,以及计算能力,属于基础题.
11.函数=且),在上是增函数,则实数的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
因为在上是增函数,即当时,=单增,即,解得;当时,单增,即且,解得;所以,即实数的取值范围是.选C.
点睛:已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下两点:(1)若函数在区间上单调,则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的;(2)分段函数的单调性,除注意各段的单调性外,还要注意衔接点的取值;(3)复合函数的单调性,不仅要注意内外函数单调性对应关系,而且要注意内外函数对应自变量取值范围.
12.若对于定义在上的函数,其图象是连续不断的,且存在常数使得对任意实数都成立,则称是一个“特征函数”.下列结论中正确的个数为( )
①是常数函数中唯一的“特征函数”;
②不是“特征函数”;
③“特征函数”至少有一个零点;
④是一个“特征函数”.
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】
利用新定义“特征函数”,对选项逐个进行判定,即可求解,得到答案.
【详解】对于①中,设,当时,函数是一个“特征函数”,
所以不是唯一的一个常值的“特征函数”,所以①不正确;
对于②中,函数,
则,即,
当时,,
当时,方程由唯一的解,
所以不存在常数使得对任意实数都成立,
所以函数不是“特征函数”,所以②正确.
对于③中,令,可得,所以,
若,显然有实数根,若,,
又因为的函数图象是连续的,所以在上必由实数根,
因此任意的“特征函数”必有实根,即任意“特征函数”至少有一个零点,
所以③是正确;
对于④中,假设是一个“特征函数”,则对任意的实数成立,
则有,而此式有解,所以是“特征函数”,所以④正确的,
所以正确命题共有②③④.
故选:C.
【点睛】本题主要考查了函数的基本概念及其应用,其中解答中熟记函数的零点,以及正确理解“特征函数”,合理判定是解答的关键,着重考查了分析问题和解答问题的能力,属于中档试题.
二.填空题(共3小题)
13.如果,则当且时,_____.
【答案】
【解析】
【分析】
根据函数,利用换元法,即可求得函数的解析式,得到答案.
【详解】由题意,令,则且,
因为,所以,其中且,
所以.
故答案为:.
【点睛】本题主要考查了函数的解析式的求解,其中解答中熟练应用换元法求解是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.
14.若函数的零点为,满足且,则_____.
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意,得到函数为减函数,进而求得的值,利用零点的存在定理,即可求解.
【详解】由题意,函数,分析可得函数为减函数,
又由,,
则,根据零点的存在定理,可得函数的零点在区间上,
所以.
故答案为:.
【点睛】本题主要考查了函数与方程的应用,其中解答中熟记函数零点的概念,以及熟练应用零点的存在定理进行判定是解答的关键,着重考查了分析问题和解答问题的能力,属于基础题.
15.设函数,,则函数的递减区间是________.
【答案】
【解析】
,如图所示,其递减区间是.
16.下列几个命题:
①函数偶函数,但不是奇函数;
②方程的有一个正实根,一个负实根,;
③是定义在上的奇函数,当时,,则 时,
④函数的值域是.
其中正确命题的序号是_____(把所有正确命题的序号都写上).
【答案】②④
【解析】
【分析】
①中,函数既是奇函数又是偶函数,即可判定;②中,方程有一个正实根,一个负实根,得到,即可判定;③中,是定义在上的奇函数,则必有,即可判定;④中,令,原函数可化为,即可判定,得到答案.
【详解】由题意,对于①中,函数的定义域为,即,
所以函数既是奇函数又是偶函数,所以不正确;
对于②中,方程的有一个正实根,一个负实根,
则满足且,解得,所以是正确的;
对于③中,是定义在上的奇函数,则必有,
而当时,,所以不正确;
对于④中,令,原函数可化为,
因为,所以,即原函数的值域为,所以是正确的.
综上,正确命题的序号为②④.
故答案为:②④.
【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性的判定及应用,以及一元二次方程的性质,指数函数的性质和函数的值域的求解等知识点的综合应用,着重考查了推理与运算能力,属于中档试题.
三.解答题(共6小题)
17.计算下列各式的值:
(1);
(2)
【答案】(1); (2).
【解析】
【分析】
(1)由实数指数幂的运算性质,即可求解;
(2)由对数的运算性质和对数的运算公式,即可求解.
【详解】(1)由题意,根据实数指数幂的运算性质,
可得:.
(2)根据对数的运算性质,
可得
.
【点睛】本题主要考查了实数指数幂的运算性质,以及对数的运算性质的化简、求值问题,其中解答中熟记指数幂和对数的运算性质,准确运算是解答的关键,着重考查了推理与计算能力,属于基础题.
18.己知集合,
(1)若为非空集合,求实数的取值范围;
(2)若,求实数的取值范围.
【答案】(1);(2).
【解析】
试题分析:(1)若,那么,求解;
(2)若,分,或是两种情况讨论.当时,即,当时,即或,求解.
试题解析:解:(1)作出数轴可知若则有
,解得:
可得实数的取值范围为
(2)则有如下三种情况:
1),即,解得:;
2),,则有解得:无解;
3),,则有解得:.
综上可得时实数的取值范围为
考点:集合的关系运算
【易错点睛】本题主要考察了两个集合的关系,属于基础题型,第一问容易出错在有等号函数没等号上面,这就要求我们做题时要细心,第二问当时,易忽略的情况,以及时,或是一种或的关系,而不是且的关系,做题时切记或是求并集,且求交集.
19.已知幂函数在(0,+∞)上是增函数
(1)求的解析式
(2)若,求的取值范围
【答案】(1);(2)
【解析】
【分析】
(1)由幂函数的性质可得,,再由在上为增函数,则2m+1>0,然后,根据以上条件,求解即可.
(2)由为R上的增函数,可得,求出a的范围,然后根据单调递增的特性,即可求出的取值范围.
【详解】(1)因为是幂函数,所以
即或
因为在上是增函数,所以2m+1>0,即m>-,则m=1
故=.
(2)因为为R上的增函数.
所以, 解得. 故的取值范围为.
【点睛】本题考查幂函数的性质和单调性,注意幂函数的系数为1,难点在于利用函数的单调性转化成不等式求解,属于中等题.
20.函数f(x)=是定义在R上奇函数,且f(1)=1.
(1)求a,b的值;
(2)判断并用定义证明f(x)在(+∞)的单调性.
【答案】(1)a=5,b=0; (2)见解析.
【解析】
【分析】
(1)根据函数为奇函数,可利用f(1)=1和f(-1)=-1,解方程组可得a、b值,然后进行验证即可;(2)根据函数单调性定义利用作差法进行证明.
【详解】(1)根据题意,f(x)=是定义在R上的奇函数,且f(1)=1,
则f(-1)=-f(1)=-1,
则有,解可得a=5,b=0;经检验,满足题意.
(2)由(1)的结论,f(x)=,
设<x1<x2,
f(x1)-f(x2)=-=,
又由<x1<x2,则(1-4x1x2)<0,(x1-x2)<0,
则f(x1)-f(x2)>0,
则函数f(x)在(,+∞)上单调递减.
【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用,属于基础题.
21.已知函数 .
(1)当时,函数恒有意义,求实数的取值范围;
(2)是否存在这样的实数,使得函数f(x)在区间上为减函数,并且最大值为?如果存在,试求出的值;如果不存在,请说明理由.
【答案】(1); (2)不存在.
【解析】
【分析】
(1)结合题意得到关于实数的不等式组,求解不等式,即可求解,得到答案;
(2)由题意结合对数函数的图象与性质,即可求得是否存在满足题意的实数的值,得到答案.
【详解】(1)由题意,函数且,设,
因为当时,函数恒有意义,即对任意时恒成立,
又由,可得函数在上为单调递减函数,
则满足,解得,
所以实数的取值范围是.
(2)不存在,理由如下:
假设存在这样的实数,使得函数f(x)在区间上为减函数,并且最大值为,
可得,即,即,解得,即,
又由当时,,此时函数为意义,
所以这样的实数不存在.
【点睛】本题主要考查了对数函数的图象与性质的应用,以及复数函数的单调性的判定及应用,其中解答中熟记对数函数的图象与性质,合理求解函数的最值,列出方程求解是解答的关键,着重考查了对基础概念的理解和计算能力,属于中档试题.
22.已知指数函数满足,定义域为的函数是奇函数.
(1)求函数的解析式;
(2)若函数在上有零点,求的取值范围;
(3)若对任意的,不等式恒成立,求实数的取值范围.
【答案】(Ⅰ),;(Ⅱ)(3,+∞);(Ⅲ) [9,+∞).
【解析】
试题分析:(1)根据指数函数利用待定系数法求,利用奇函数用特值法求m,n,可得到解析式;(2)根据函数零点的存在性定理求k的取值范围;(3)分析函数的单调性,转化为关于t恒成立问题,利用分离参数法求k的取值范围.
试题解析:
(Ⅰ)设,则,
a=3, ,
,
因为是奇函数,所以,即 ,
∴,又,
;
.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知:,又因在(0,1)上有零点,
从而,即,
∴, ∴,
∴k的取值范围为.
(Ⅲ)由(Ⅰ)知,
∴在R上减函数(不证明不扣分).
又因是奇函数,
所以=,
因为减函数,由上式得:,
即对一切,有恒成立,
令m(x)=,,易知m(x)在上递增,所以,
∴,即实数的取值范围为.
点睛:本题综合考查了指数函数的定义及其性质、函数的奇偶性、单调性、恒成立问题的等价转化、二次函数的单调性等基础知识与基本技能方法,属于难题.解决已知函数奇偶性求解析式中参数问题时,注意特殊值的使用,可以使问题简单迅速求解,但要注意检验,在处理恒成立问题时,注意利用分离参数求参数的取值范围,注意分离参数后转化为求函数最值问题.