高中数学选修2-2教学课件第2课时 分析法 27页

第 2 课时 分析法 利用 已知条件 和某些数学 定义、定理、公理 等 , 经过一系列的推理论证 , 最后推导出所要证明的结论成立 , 这种证明方法叫做 综合法 . 其特点是 :“ 由因导果” . 用 P 表示已知条件、已有的定义、公理、定理等 ,Q 表示所要证明的结论 . 则 综合法 用框图表示为 : … 综合法是由一个个推理组成的 综合法是万事开头难，虽然万事开头难，但有时候进展更难 . 会需要高超的技巧，深刻的解题指导思想 . 但开头难怎么办？如何找到开头呢？ 1. 结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种 基本方法之一的分析法 . （重点） 2. 了解分析法的思考过程、特点 . （难点） 探究点 分析法的定义 引例：证明不等式： 证法 1: 因为 所以 所以 所以 成立 证法 1: 因为 所以 所以 所以 成立 只需证 只需证 只需证 因为 成立 所以 成立 综合法 分析法   证法 2: 要证 思考： 上述两种证法有什么异同？ 都是直接证明 证法 1 从已知条件出发，以已知的定义、公理、定理为依据，逐步下推，直到推出要证明的结论为止 . 综合法 相同 不同 证法 2 从问题的结论出发，追溯导致结论成立的条件，逐步上溯，直到一个明显使结论成立的条件 . 分析法 分析法 结论 已知条件 综合法 已知条件 结论 综合法和分析法的推证过程如下： 一般地，从要证明的 出发，逐步寻 求使它成立的 ，直至最后，把要证明的 结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、 定理、定义、公理等）为止，这种证明的方法叫做 分析法 . 其特点是： 执果索因，即要证结果 Q ，只需 证条件 P. 分析法 （逆推证法或执果索因法） 结论 充分条件 得到一个明显成立的条件 … 类似于综合法，我们也可以用框图来表示分析法 . 用 P i 表示使所要证明结论成立的充分条件， Q 表示所要证明的结论 , 则分析法的思路过程，特点用框图表示为 : 注意：证明最后面的明显成立的条件可以是： 已知条件、定理、定义、公理等 . 分析： 从待证不等式不易发现证明的出发点，因此我们直接从待证不等式出发，分析其成立的充分条件 . 在本例中，如果我们从“ 21<25” 出发，逐步倒推回去，就可以用综合法证出结论 . 但由于我们很难想到从“ 21<25” 入手，所以用综合法比较困难 . 【 提升总结 】 【 变式练习 】 求证： 证法一： 为了证明 成立 . 因为 所以只需证明 成立 展开得 即 因为 成立， 成立 . 所以 证法二： 例 2 如图 ,SA⊥ 平面 ABC,AB⊥BC, 过 A 作 SB 的垂线 , 垂足为 E, 过 E 作 SC 的垂线 , 垂足为 F, 求证 AF⊥SC. F E S C B A 分析： 本例所给的已知条件中， 垂直关系较多，我们不容易确 定如何在证明中使用它们，因 而综合法比较困难 . 这时，可以 从结论出发，逐步反推，寻求使当前命题成立的充分条件 . 证明 : 证法一：要证 AF⊥SC 只需证 SC⊥ 平面 AEF 只需证 AE⊥SC 只需证 AE⊥ 平面 SBC 只需证 AE⊥BC 只需证 BC⊥ 平面 SAB 只需证 BC⊥SA 由 SA⊥ 平面 ABC 可知，上式成立 . 所以 AF⊥SC 成立 还有其他证明方法吗？ 证法二 : 因为 SA⊥ 平面 AB C 所以 AE⊥BC 又因为 AE⊥SB, 且 BC∩SB=B 所以 AE⊥ 平面 SBC 所以 AE⊥SC 又因为 EF⊥SC, 且 AE∩EF=E 所以 SC⊥ 平面 AEF 所以 AF⊥SC 所以 BC⊥SA 所以 BC⊥ 平面 SAB 又因为 AB⊥BC, 且 AB∩SA=A 分析： 比较已知条件和结论，发现结论中没有出现角  , 因此第一步工作可以从已知条件中消去  . 观察已知 条件的结构特点，发现其中蕴含数量关系（ sin + cos ) 2 -2sin cos =1, 于是，由 (1) 2 -2×(2) 得 4sin 2 α - 2sin 2 β =1. 把 4sin 2 α -2sin 2 β =1 与结论相比较，发现角相 同，但函数名称不同，于是尝试转化结论；统一函 数名称，即把正切函数化为正（余）弦函数 . 把结论 转化为 cos 2 α -sin 2 α = (cos 2 β -sin 2 β ), 再与 4sin 2 α - 2sin 2 β =1 比较，发现只要把 cos 2 α -sin 2 α = (cos 2 β - sin 2 β ) 中的角的余弦转化为正弦，就能达到目的 . 由于上式与（ 3 ）相同，于是问题得证 . 【 提升总结 】 分析法和综合法是思维方向相反的两种思考方法 . 在数学解题中，分析法是从数学题的待证结论或需求问题出发，一步一步地探索下去，最后达到题设的已知条件 . 综合法则是从数学题的已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证结论或需求问题 . 对于解答证明来说，分析法表现为执果索因，综合法表现为由因导果，它们是寻求解题思路的两种基本思考方法，应用十分广泛 . 1. 用分析法证不等式：欲证① A>B ，只需证② Cc>b 1. 在数学证明中，综合法和分析法是两种最常用的数学方法，若从已知入手能找到证明的途径，则用综合法，否则用分析法 . 2. 综合法的每步推理都是寻找必要条件，分析法的每步推理都是寻找充分条件，在解题表述中要注意语言的规范性和逻辑性 . 3. 综合法和分析法是两种互逆的思维模式，在证明某些较复杂的问题时，常采用分析综合法，用综合法拓展条件，用分析法转化结论，找出已知与结论的连结点 . 坚决的信心，能使平凡的人们，做出惊人的事业 . —— 马尔顿