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- 2021-06-11 发布
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习水县2017—2018学年度第一学期教学质量监测
高二数学(理科)试题
考试范围:必修2及选修2-1;考试时间:120分钟;分值:150分;命题人:石成跃
注意事项:
1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2.请将答案正确填写在答题卡上
第I卷(选择题共60分)
一、选择题(每小题5分,只有一个正确答案,共60分)
1.如图所示是某一容器的三视图,现向容器中匀速注水,容器中水面的高度h随时间t变化的可能图象是( )
A. B. C. D.
2.直线截圆所得的弦长为( )
A. B. C. D.
3.是三个平面, 是两条直线,下列命题正确的是( )
A. 若,则
B. 若,则
C. 若,则
D. 若不垂直平面,则不可能垂直于平面内的无数条直线
4.设: , :直线: 与: 平行,则是的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.已知命题:,使;命题:,都有,给出下列结论:
①命题“”是真命题;②命题“” 是假命题;③命题“”是真命题;④命题“”是假命题.
其中正确的是( )
A. ②④ B. ②③ C. ③④ D. ①②③
6.如图,将无盖正方体纸盒展开,线段, 所在直线在原正方体中的位置关系是( ).
A. 平行 B. 相交且垂直 C. 异面 D. 相交成
7.直线:与双曲线:交于不同的两点,则斜率的取值范围是()
A. B. C. D.
8.已知抛物线的准线与双曲线交于两点,点为抛物线的焦点,若为直角三角形,则双曲线的离心率是( )
A. B. C. D.
9.已知分别是椭圆的左、右焦点,若椭圆上存在点,使,则椭圆的离心率的取值范围为
A. B. C. D.
10.过正方形的顶点,作平面,若,则平面和平面所成的锐二面角的大小是( ).
A. B. C. D.
11.在如图所示的空间直角坐标系中,一个四面体的顶点坐标分别是, , , ,给出编号①、②、③、④的四个图,则该四面体的正视图和俯视图分别为( ).
A. ①和② B. ③和① C. ④和③ D. ④和②
12.是双曲线(,)上的点,,是其焦点,且,若的面积是,,则双曲线的离心率为()
A. B. C. D.
第II卷(非选择题共90分)
二、填空题(每小题5分共20分)
13.已知直线: 和: 垂直,则实数的值为_________.
14.若直线: 和: 将圆分成长度相同的四段弧,则_________.
15.三棱锥中, ,则三棱锥的外接球的表面积为__________.
16.是两个平面, 是两条直线,有下列四个命题:
(1)如果,那么.
(2)如果,那么.
(3)如果,那么.
(4)如果,那么与所成的角和与所成的角相等.
其中正确的命题有________.(填写所有正确命题的编号)
三、解答题(17题10分,其余各题均为12分共70分)
17.已知 ,命题 ,命题.
(1)若命题 为真命题,求实数a的取值范围;
(2)若命题 为真命题,命题 为假命题,求实数a的取值范围.
18.已知的顶点, 边上的中线所在直线方程为, 边上的高所在直线方程为.
(1)求点的坐标;
(2)求直线的方程.
19.四棱锥中, ,底面为直角梯形, ,AB//CD, ,点为的中点.
(1)求证:AM//平面;
(2)求证: .
20.已知过抛物线的焦点,斜率为的直线交抛物线于两点.
(1)求线段的长度;
(2) 为坐标原点, 为抛物线上一点,若,求的值.
21.在如图所示的多面体中, 平面, 平面, ,且, 是的中点.
(1)求证: .
(2)求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.
(3)在棱上是否存在一点,使得直线与平面所成的角是.若存在,指出点的位置;若不存在,请说明理由.
22.已知椭圆 过点,且离心率.
(1)求椭圆的方程;
(2)若直线与椭圆交于不同的两点,且线段的垂直平分线过定点,求的取值范围
习水县2017—2018学年度第一学期教学质量监测
高二数学(理科)试题
参考答案
1.A 2. D 3.C 4.C 5.B 6.D 7.C 8.D 9.B 10.B 11.D 12.D
13. 14. 15. 16.(2)(4)
17.(第1小题4分,第2小题6分.共10分):(1);(2)
试题解析:(1)因为命题,
令,根据题意,只要时,即可,也就是;
。。。。。。。(4分)
(2)由(1)可知,当命题p为真命题时,,
命题q为真命题时,,解得 。。。。。(6分)
因为命题为真命题,命题为假命题,所以命题p与命题q一真一假,
当命题p为真,命题q为假时,, 。。。。(8分)
当命题p为假,命题q为真时,,
综上:实数的取值范围是 。。。。 (10分)
18.(每小题6分,共12分):(1) C(5,3);(2) 6x-5y-15=0.
解析:(1)依题意知:kAC=-2,A(6,1),
∴lAC为2x+y-13=0, ,,,,,,(3分)
联立lAC、lCM得∴C(5,3). 。。。。(6分)
(2)设B(x0,y0),AB的中点M为(,),
代入2x-y-7=0,得2x0-y0-3=0,
∴∴B(0,-3), 。。。。。(9分)
∴kBC=,∴直线BC的方程为y=x-3,
即6x-5y-15=0. .。。。。。。(12分)
19.(每小题6分,共12分):
证:(1)四边形为平行四边形。。。。(3分)。。。。。。。。(6分)
(2)
。。。。。。。。(9分)
。。。。。。。。(12分)
20.(每小题6分,共12分):(1)9(2)λ=0或λ=2.
.
试题解析:
(1)直线AB的方程是y=2(x-2),与y2=8x联立,消去y得x2-5x+4=0,
由根与系数的关系得x1+x2=5.由抛物线定义得|AB|=x1+x2+p=9, 。。。(6分)
(2)由x2-5x+4=0,得x1=1,x2=4,从而A(1,-2),B(4,4).
设=(x3,y3)=(1,-2)+λ(4,4)=(4λ+1,4λ-2),
又y=8x3,即[2 (2λ-1)]2=8(4λ+1),即(2λ-1)2=4λ+1,
解得λ=0或λ=2. 。。。。。。(12分)
21.(每小题4分,共12分):(1)见解析(2)(3)点为棱的中点.
试题解析:(1)证明:∵, 是的中点,
∴,
又平面,
∴, 。。。。。。(2分)
∵,
∴平面,
∴. 。。。。。。。。。。。(4分)
(2)以为原点,分别以, 为, 轴,如图建立坐标系.则:
, , , , ,
,,,,
设平面的一个法向量
则: ,
取, , ,所以 。。。。。。(6分)
设平面的一个法向量,则:
取,,,所以,
.
故平面与平面所成的锐二面角的余弦值为. 。。。。。。。(8分)
(3)在棱上存在一点,使得直线与平面所成的角是,
设且 ,
∴,
∴, , ,
∴, 。。。。。。。(10分)
若直线与平面所成的的角为,则: ,
解得,
所以在棱上存在一点,使直线与平面所成的角是,
点为棱的中点.
.。。。。。。。。。。。。。。。。(12分)
22.(第1小题5分,第2小题7分.共12分):(1)(2)或.
试题解析:(1)离心率,∴,即(1) 。。。。。。。(2分)
又椭圆过点,则,(1)式代入上式,解得: , ,椭圆方程为 。。。。。。。(5分)
(2)设,弦的中点
由,得: ,
直线与椭圆交于不同的两点,
∴,即,(1) 。。。。。。。(8分)
由韦达定理得: , ,
则, ,
直线的斜率为: , 。。。。。。。(10分)
由直线和直线垂直可得: ,即,代入(1)式,
可得: ,即,则或. 。。。。。。。(12分)