2017-2018学年湖南省岳阳市一中高二下学期期末考试数学文试题（Word版） 10页

湖南省岳阳市第一中学2017-2018学年高二下学期期末考试文科数学试卷 一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把答案填在答题卡对应的位置上.）‎ ‎1.设集合，集合，则（ ） ‎ A． B． C． D．‎ ‎2.已知复数，，则的虚部为（ ）‎ A．1 B． C．-1 D．‎ ‎3.若，且，则（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎4.若椭圆的离心率为，则双曲线的渐近线方程为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎5.如图，一个直三棱柱容器中盛有水，且侧棱.若侧面水平放置时，液面恰好过，，，的中点，当底面水平放置时，液面高为（ ）‎ A．7 B．6 C．4 D．2‎ ‎6.已知函数是定义在上的奇函数，且，当时，有成立，则不等式的解集是（ ）‎ A． B． C． ‎ ‎ D．‎ ‎7.下列说法正确的是（ ）‎ A．命题“若，则”的否命题是“若，则”‎ B．命题“，”的否定是“，”‎ C．函数的最小值为2‎ D．若，则“”是“”的必要不充分条件 ‎8.函数的大致图象为（ ）‎ ‎ ‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎9.等比数列中，，则数列的公比为（ ）‎ A．2或-2 B．4 C．2 D．‎ ‎10.四棱锥的三视图如图所示，四棱锥的五个顶点都在一个球面上，、分别是棱、的中点，直线被球面所截得的线段长为，则该球表面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11.如图在平行四边形中，，，，为的中点，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12.已知函数（，，）图象关于轴对称，且在区间上不单调，则的可能值有（ ）‎ A．10个 B．9个 C．8个 D．7个 二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分，请将答案写在答题卷上）‎ ‎13.设函数，则 ．‎ ‎14.若变量，满足约束条件，则最大值是 ．‎ ‎15.在中，，，，则边上的高等于 ．‎ ‎16.若边长为的等边三角形的中点为，是边上的动点，则 ．‎ 三、解答题（共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23为选考题，考生根据要求作答.）‎ ‎（一）必考题：60分，每个试题12分.‎ ‎17.已知等差数列中，首项，公差为整数，且满足，，数列满足，数列前项和为.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若为，的等比中项，求正整数的值.‎ ‎18.在四棱锥中，底面为直角梯形，，，侧面 底面，，，.‎ ‎（Ⅰ）若中点为，求证：平面； ‎ ‎（Ⅱ）若，求直线与平面所成角的余弦值.‎ ‎19.某高校共有学生15000人，其中男生10500人，女生4500人.为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位：小时）.‎ ‎ ‎ ‎（Ⅰ）应收集多少位女生的样本数据？‎ ‎（Ⅱ）根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据的分组区间为：，，，，，.估计该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率.‎ ‎（Ⅲ）在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4小时，请完成每周平均体育运动时间与性别列联表，并判断是否有的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”.‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ 附：.‎ ‎20.已知双曲线，为坐标原点，离心率，点 在双曲线上.‎ ‎（1）求双曲线的方程；‎ ‎（2）若直线与双曲线交于、两点，且.求的最小值.‎ ‎21.已知函数.‎ ‎（1）当时，求在区间上的最值；‎ ‎（2）讨论函数的单调性；‎ ‎（3）当时，有恒成立，求的取值范围. ‎ ‎（二）选考题（共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分）‎ ‎22.【选修4-4：坐标系与参数方程】‎ 已知圆的极坐标方程为，直线的参数方程为（为参数），点的极坐标为，设直线与圆交于点、两点.‎ ‎（1）写出圆的直角坐标方程；‎ ‎（2）求的值.‎ ‎23.【选修4-5：不等式选讲】‎ 已知函数.‎ ‎（1）当时，求的解集；‎ ‎（2）当时，恒成立，求实数的取值范围.‎ 文科数学试卷答案 一、选择题 ‎1-5: BADAB 6-10: ADCCA 11、12：CD 二、填空题 ‎13. 1 14. 15. 16. ‎ 三、解答题 ‎17.解：（1）由题意，得，解得.又，∴，∴.‎ ‎（2），‎ ‎∴，‎ ‎∵，，，为，的等比中项，‎ ‎∴，即，解得.‎ ‎18.证明：（Ⅰ）取的中点，连结，，∴且，‎ ‎∴为平行四边形，∴，且不在平面内，在平面内，‎ 所以面.‎ 过作交于点，∵面面，，∴面，∴就是所求的线面角.‎ ‎（Ⅱ）∵，，，由余弦定理得，‎ ‎∴，∴直线与平面所成角的余弦值为.‎ ‎19.解：（Ⅰ），所以应收集90位女生的样本数据.‎ ‎（Ⅱ）由频率分布直方图得每周平均体育运动超过4小时的频率为，所以该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率的估计值为0.75.‎ ‎（Ⅲ）由（Ⅱ）知，300位学生中有（位）的每周平均体育运动时间超过4小时，75人的每周平均体育运动时间不超过4小时.又因为样本数据中有210份是关于男生的，90份是关于女生的，所以每周平均体育运动时间与性别列联表如下：‎ 男生 女生 总计 每周平均体育运动时间不超过4小时 ‎45‎ ‎30‎ ‎75‎ 每周平均体育运动时间超过4小时 ‎165‎ ‎60‎ ‎225‎ 总计 ‎210‎ ‎90‎ ‎300‎ 结合列联表可算得.‎ 所以有的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”.‎ ‎20.【解析】：（1）由，可得，∴，∴双曲线方程为，∵点在双曲线上，∴，解得，∴双曲线的方程为.‎ ‎（2）①当直线的斜率存在时，设直线的方程为，由消去整理得，∵直线与双曲线交于，两点，‎ ‎∴.设，，‎ 则，，由得到：，‎ 即，∴，‎ 化简.∵，‎ 当时，上式取等号，且方程有解.‎ ‎②当直线的斜率不存在时，设直线的方程为，则有，，‎ 由可得，可得，解得,∴.‎ ‎∴.综上可得的最小值是24.‎ ‎21.【解析】（1）当时，，∴，‎ ‎∵的定义域为，∴由，得.∴在区间上的最值只可能在，，取到，而，，，，，‎ ‎（2），，‎ ‎①当，即时，，∴在上单调递减；‎ ‎②当时，，∴在上单调递增；‎ ‎③当时，由得，∴或（舍去）.‎ ‎∴在上单调递增，在上单调递减；‎ 综上，当时，在单调递增；‎ 当时，在单调递增，在上单调递减.‎ 当时，在单调递减；‎ ‎（3）由（2）知，当时，，‎ 即原不等式等价于，即，‎ 整理得，∴，又∵，∴的取值范围为.‎ ‎22.解：（1）圆的极坐标方程为即，即，表示以为圆心、半径等于1的圆.‎ ‎（2）∵点的直角坐标为，∴点在直线（为参数）上.‎ 把直线的参数方程代入曲线的方程可得.由韦达定理可得，‎ 根据参数的几何意义可得.‎ ‎23.【解析】（1）当时，由可得，所以 当时，不等式转化为，无解，‎ 当时，不等式转化为，解得，‎ 当时，不等式转化为，解得，‎ 综上可知，不等式的解集为.‎ ‎（2）当时，恒成立，即，‎ 故，即对任意的恒成立，‎ 所以.‎