湖南省攸县二中2019届高三上学期期中考试（第四次月考）数学（文）试卷 10页

攸县二中2019届高三第四次月考数学试题 (文科）‎ 一、 选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.设集合( )‎ A．[1，2] B．(－1，3) C．{1} D．{l，2}‎ ‎2.如果复数（其中i为虚数单位，b为实数）的实部和虚部互为相反数，那么b等于( )‎ A．－6 B． C． D．2‎ ‎3.实数x，y满足，且，则z的最大值为（ ）‎ A. －7 B. －1 C.5 D.7‎ ‎4.某商场一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示，下列说法中错误的是( )‎ ‎ ‎ A.2至3月份的收入的变化率与11至12月份的收入的变化率相同 B.支出最高值与支出最低值的比是6:1‎ C.第三季度平均收入为50万元 D.利润最高的月份是2月份 ‎5.《九章算术》是我国古代数学名著，也是古代东方数学的代表作．书中有如下问题：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆，径几何？”其意思为：“已知直角三角形两直角边长分别为8步和15步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内投豆子，则落在其内切圆内的概率是( ) ‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎6.如图所示的程序框图是为了求出满足的最小偶数，那么在空白框中填入及最后输出的值分别是（ ）‎ A.和6 B.和6 ‎ C.和8 D.和8 ‎ ‎7.过双曲线(a＞0，b＞0)的左焦点F1(－1,0)作x轴的垂线，垂线与双曲线交于A，B两点，O为坐标原点，若△AOB的面积为，则双曲线的离心率为（ ）‎ A． B．4 C．3 D．2‎ ‎8.已知侧棱长为的正四棱锥P—ABCD的五个顶点都在同一个球面上，且球心O在底面正方形ABCD上，则球O的表面积为（ ）‎ A.4π B. 3π C. 2π D. π ‎9.函数的部分图象大致是（ ）‎ ‎10.若抛物线x2=y在x=1处的切线的倾斜角为θ，则sin2θ=（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎11.将函数（）的图象按向量平移后所得的图象关于点 中心对称，则的值可能为（ ）‎ A．4 B．3 C．2 D．1 ‎ ‎12.已知函数，若函数有个零点，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C. D．‎ 二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分，将答案填在题中的横线上）‎ ‎13.已知向量，，若向量与垂直，则m= ．‎ ‎14.已知等差数列{an}中，a3+a7=16，S10=85，则等差数列{an}公差为　 　．‎ ‎ ‎ ‎16.定义在R上的函数f（x），如果存在函数g（x）=ax+b（a，b为常数），使得f（x）≥‎ g（x）对一切实数x都成立，则称g（x）为函数f（x）的一个承托函数．给出如下命题：‎ ‎①函数g（x）=﹣2是函数f（x）=的一个承托函数；‎ ‎②函数g（x）=x﹣1是函数f（x）=x+sinx的一个承托函数；‎ ‎③若函数g（x）=ax是函数f（x）=ex的一个承托函数，则a的取值范围是[0，e]；‎ ‎④值域是R的函数f（x）不存在承托函数；‎ 其中，所有正确命题的序号是　　．‎ 三、解答题 （本大题共7小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎（一）必考题：共60分 ‎17.若数列的前项和满足.‎ ‎(1)求证：数列是等比数列；‎ ‎(2)设，求数列的前项和.‎ ‎18.如图1，是边长为3的等边三角形，在边上，在边上，且.将沿直线折起，得四棱锥，如图2.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若平面底面，‎ 求三棱锥的体积.‎ ‎19.某高三理科班共有60名同学参加某次考试，从中随机挑选出5名同学，他们的数学成绩x与物理成绩y如下表：‎ 数学成绩x ‎145‎ ‎130‎ ‎120‎ ‎105‎ ‎100‎ 物理成绩y ‎110‎ ‎90‎ ‎102‎ ‎78‎ ‎70‎ 数据表明y与x之间有较强的线性关系.‎ ‎（1）求y关于x的线性回归方程；‎ ‎（2）该班一名同学的数学成绩为110分，利用（1）中的回归方程，估计该同学的物理成绩；‎ ‎（3）本次考试中，规定数学成绩达到125分为优秀，物理成绩达到100分为优秀.若该班数学优秀率与物理优秀率分别为50%和60%，且除去抽走的5名同学外，剩下的同学中数学优秀但物理不优秀的同学共有5人.能否在犯错误概率不超过0.01的前提下认为数学优秀与物理优秀有关？‎ 参考数据:回归直线的系数，.‎ ‎，.‎ ‎20.已知圆E：x2+（y﹣）2=经过椭圆C：（a＞b＞0）的左右焦点F1，F2，且与椭圆C在第一象限的交点为A，且F1，E，A三点共线，直线l交椭圆C于M，N两点，且=λ（λ≠0）‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）当三角形AMN的面积取得最大值时，求直线l的方程．‎ ‎ ‎ ‎（1）若函数f（x）在（1，+∞）上为减函数，求实数a的最小值；‎ ‎（2）若存在x1，x2∈[e，e2]，使f（x1）≤f′（x2）+a成立，求实数a的取值范围．‎ ‎(二)选考题：共10分 ‎22.在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t是参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=8cos（θ﹣）．‎ ‎（1）求曲线C2的直角坐标方程，并指出其表示何种曲线；‎ ‎（2）若曲线C1与曲线C2交于A，B两点，求|AB|的最大值和最小值．‎ 攸县二中2019届高三第四次月考文科数学试题答案 一、选择题：1--5 ACCDB 6--10 DDADA 11--12 CA 二、填空题 ‎13.1 14.1 15.4 16.②③‎ 三、解答题 ‎ ‎17.(1) 当时，，解得……1分 当时，由题意， ‎ ‎，即……3分 所以，即 ‎ 数列是首项为，公比为2的等比数列……6分 ‎(2)由（1），，所以……8分 ‎……10分 ‎……12分 ‎18.（1）在图1中，由题意知，‎ 在中，由余弦定理知 所以，‎ 所以……3分 在沿直线折起的过程中，与的垂直关系不变，‎ 故在图2中有 又，所以平面，所以 ‎.……5分 ‎（2）如图2，因为平面底面，‎ 由（1）知，且平面底面，‎ 所以底面，‎ 所以为三棱锥的高，且……8分 又因为在图1中，‎ ‎……10分 所以 故三棱锥的体积为.……12分 ‎19.(（1）由题意可知，故.……3分 ‎，故回归方程为.……4分 ‎（2）将代入上述方程，得. ……6分 ‎（3）由题意可知，该班数学优秀人数及物理优秀人数分别为30,36. ‎ 抽出的5人中，数学优秀但物理不优秀的共1人，‎ 故全班数学优秀但物理不优秀的人共6人.……8分 于是可以得到列联表为：‎ ‎……10分 于是，‎ 因此在犯错误概率不超过0.01的前提下，可以认为数学优秀与物理优秀有关.……12分 ‎20.解：（1）如图圆E经过椭圆C的左右焦点F1，F2，‎ ‎∴c2+（0﹣）2=，解得c=，.……1分 ‎∵F1，E，A三点共线，∴F1A为圆E的直径，则|AF1|=3，‎ ‎∴AF2⊥F1F2，∴=﹣=9﹣8=1，‎ ‎∵2a=|AF1|+|AF2|=3+1=4，∴a=2.……3分 由a2=b2+c2得，b=，‎ ‎∴椭圆C的方程是；.……5分 ‎（2）由（1）得点A的坐标（，1），‎ ‎∵（λ≠0），∴直线l的斜率为kOA=，.……6分 则设直线l的方程为y=x+m，设M（x1，y1），N（x2，y2），‎ 由得，，‎ ‎∴x1+x2=，x1x2=m2﹣2，‎ 且△=2m2﹣4m2+8＞0，解得﹣2＜m＜2，.……8分 ‎∴|MN|=|x2﹣x1|=‎ ‎==，.‎ ‎∵点A到直线l的距离d==，……10分 ‎∴△AMN的面积S==‎ ‎=≤=，‎ 当且仅当4﹣m2=m2，即m=，直线l的方程为．……12分 ‎21.解：（Ⅰ）由已知得f（x）的定义域为（0，1）∪（1，+∞），‎ ‎∵f（x）在（1，+∞）上为减函数，‎ ‎∴f′（x）=﹣a+≤0在（1，+∞）上恒成立，‎ ‎﹣a≤﹣=（﹣）2﹣，……2分 令g（x）=（﹣）2﹣，‎ 故当=，即x=e2时，‎ g（x）的最小值为﹣，∴﹣a≤﹣，即a≥‎ ‎∴a的最小值为．……4分 ‎（Ⅱ）命题“若存在x1，x2∈[e，e2]，使f（x1）≤f′（x2）+a成立”，‎ 等价于“当x∈[e，e2]时，有f（x）min≤f′（x）max+a”，……6分 由（Ⅰ）知，当x∈[e，e2]时，lnx∈[1，2]，∈[，1]，‎ f′（x）=﹣a+=﹣（﹣）2+﹣a，‎ f′（x）max+a=，‎ 问题等价于：“当x∈[e，e2]时，有f（x）min≤”，……8分 ‎①当﹣a≤﹣，即a时，由（Ⅰ），f（x）在[e，e2]上为减函数，‎ 则f（x）min=f（e2）=﹣ae2+≤，∴﹣a≤﹣，‎ ‎∴a≥﹣．……10分 ‎②当﹣＜﹣a＜0，即0＜a＜时，∵x∈[e，e2]，∴lnx∈[，1]，‎ ‎∵f′（x）=﹣a+，由复合函数的单调性知f′（x）在[e，e2]上为增函数，‎ ‎∴存在唯一x0∈（e，e2），使f′（x0）=0且满足：‎ f（x）min=f（x0）=﹣ax0+，‎ 要使f（x）min≤，∴﹣a≤﹣＜﹣=﹣，‎ 与﹣＜﹣a＜0矛盾，∴﹣＜﹣a＜0不合题意．‎ 综上，实数a的取值范围为[﹣，+∞）．……12分 ‎(二)选考题：共10分 ‎22.解：（1）对于曲线C2有，即，‎ 因此曲线C2的直角坐标方程为，其表示一个圆．……4分 ‎（2）联立曲线C1与曲线C2的方程可得：，‎ ‎∴t1+t2=2sinα，t1t2=﹣13……7分 ‎，‎ 因此sinα=0，|AB|的最小值为，sinα=±1，最大值为8．……10分