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- 2021-06-11 发布
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专题04 函数的应用
2017年高考数学（文）备考学易黄金易错点
1．(2016·天津)已知函数f(x)＝sin2＋sinωx－ (ω>0，x∈R)．若f(x)在区间(π，2π)内没有零点，则ω的取值范围是( )
A. B.∪
C. D.∪
答案 D
解析 f(x)＝＋sinωx－
＝(sinωx－cosωx)＝sin.
因为函数f(x)在区间(π，2π)内没有零点，
所以>2π－π，所以>π，所以0<ω<1.
当x∈(π，2π)时，ωx－∈，若函数f(x)在区间(π，2π)内有零点，则ωπ－0，且a≠1)在R上单调递减，且关于x的方程|f(x)|＝2－x恰有两个不相等的实数解，则a的取值范围是( )
A. B.
C.∪ D.∪
答案 C
如图所示，在同一坐标系中作出函数y＝|f(x)|和y＝2－x的图象．
由图象可知，在0，＋∞)上，|f(x)|＝2－x有且仅有一个解．故在(－∞，0)上，|f(x)|＝2－x同样有且仅有一个解．当3a>2，即a>时，由x2＋(4a－3)x＋3a＝2－x(其中x<0)，得x2＋(4a－2)x＋3a－2＝0(其中x<0)，则Δ＝(4a－2)2－4(3a－2)＝0，
解得a＝或a＝1(舍去)；
当1≤3a≤2，即≤a≤时，由图象可知，符合条件．
综上所述，a∈∪.
故选C.
3．(2016·山东)已知函数f(x)＝其中m>0，若存在实数b，使得关于x的方程f(x)＝b有三个不同的根，则m的取值范围是________．
答案 (3，＋∞)
解析 如图，
当x≤m时，f(x)＝|x|；当x>m时，f(x)＝x2－2mx＋4m，在(m，＋∞)为增函数，若存在实数b，使方程f(x)＝b有三个不同的根，则m2－2m·m＋4m<|m|.∵m>0，∴m2－3m>0，解得m>3.
4．(2016·四川)已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥的体积是________．
答案
解析 由题可知，因为三棱锥每个面都是腰为2的等腰三角形，由正视图可得俯视图(如图)，且三棱锥高为h＝1，
则体积V＝Sh＝××1＝.
5．已知定义域为R的函数f(x)＝若关于x的方程f2(x)＋bf(x)＋c＝0有3个不同的实根x1，x2，x3，则x＋x＋x等于( )
A．13 B.
C．5 D.
答案 C
解析 作出f(x)的图象，如图所示．
由图象知，只有当f(x)＝1时有3个不同的实根；
∵关于x的方程f2(x)＋bf(x)＋c＝0有3个不同的实根x1，x2，x3，
∴必有f(x)＝1，从而x1＝1，x2＝2，x3＝0，
故可得x＋x＋x＝5，故选C.
6．已知定义在R上的函数f(x)满足：①图象关于(1,0)点对称；②f(－1＋x)＝f(－1－x)；③当x∈－1,1]时，f(x)＝则函数y＝f(x)－|x|在区间－3,3]上的零点的个数为( )
A．5 B．6
C．7 D．8
答案 A
7．若函数f(x)＝有两个不同的零点，则实数a的取值范围是________．
答案 (0,1]
解析 当x>0时，由f(x)＝lnx＝0，得x＝1.
因为函数f(x)有两个不同的零点，
则当x≤0时，
函数f(x)＝2x－a有一个零点，
令f(x)＝0得a＝2x，
因为0<2x≤20＝1，所以00，b>0)的函数因其图象类似于汉字中的“囧”字，故生动地称为“囧函数”，若当a＝1，b＝1时的“囧函数”与函数y＝lg|x|的交点个数为n，则n＝________.
答案 4
解析 由题意知，当a＝1，b＝1时，
y＝＝
在同一坐标系中画出“囧函数”与函数y＝lg|x|的图象如图所示，易知它们有4个交点．
9．某驾驶员喝了m升酒后，血液中的酒精含量f(x)(毫克/毫升)随时间x(小时)变化的规律近似满足表达式f(x)＝《酒后驾车与醉酒驾车的标准及相应的处罚》规定：驾驶员血液中酒精含量不超过0.02毫克/毫升．此驾驶员至少要过______小时后才能开车．(不足1小时部分算1小时，结果精确到1小时)
答案 4
10．随着机构改革工作的深入进行，各单位要减员增效，有一家公司现有职员2a人(140<2a<420，且a为偶数)，每人每年可创利b万元．据评估，在经营条件不变的前提下，每裁员1人，则留岗职员每人每年多创利0.01b万元，但公司需付下岗职员每人每年0.4b万元的生活费，并且该公司正常运转所需人数不得小于现有职员的，为获得最大的经济效益，该公司应裁员多少人？
解 设裁员x人，可获得的经济效益为y万元，则
y＝(2a－x)(b＋0.01bx)－0.4bx
＝－x2－2(a－70)x]＋2ab.
依题意得2a－x≥·2a，
所以0，即1401,01,00，
由零点存在性定理可知f(x)在区间(－1,0)上存在零点．
(2)当x>2时，g(x)＝x－1，f(x)＝(x－2)2；
当0≤x≤2时，g(x)＝3－x，f(x)＝2－x；
当x<0时，g(x)＝3－x2，f(x)＝2＋x.
由于函数y＝f(x)－g(x)的零点个数就是方程f(x)－g(x)＝0的根的个数．
当x>2时，方程f(x)－g(x)＝0可化为x2－5x＋5＝0，其根为x＝或x＝(舍去)；
当0≤x≤2时，方程f(x)－g(x)＝0可化为2－x＝3－x，无解；
当x<0时，方程f(x)－g(x)＝0可化为x2＋x－1＝0，其根为x＝或x＝(舍去)．
所以函数y＝f(x)－g(x)的零点个数为2.
【变式探究】(1)函数f(x)＝lgx－的零点所在的区间是( )
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,10)
(2)函数f(x)＝2x|log0.5x|－1的零点个数为( )
A．1B．2C．3D．4
答案 (1)C (2)B
【名师点睛】
函数零点(即方程的根)的确定问题，常见的有：(1)函数零点值大致存在区间的确定；(2)零点个数的确定；(3)两函数图象交点的横坐标或有几个交点的确定．解决这类问题的常用方法有解方程法、利用零点存在的判定或数形结合法，尤其是方程两端对应的函数类型不同的方程多以数形结合法求解．
【锦囊妙计，战胜自我】
1．零点存在性定理
如果函数y＝f(x)在区间a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．
2．函数的零点与方程根的关系
函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的根，即函数y＝f(x)的图象与函数y＝g(x)的图象交点的横坐标．
易错起源2、函数的零点与参数的范围
例2、(1)对任意实数a，b定义运算“⊗”：a⊗b＝设f(x)＝(x2－1)⊗(4＋x)，若函数y＝f(x)＋k的图象与x轴恰有三个不同的交点，则k的取值范围是( )
A．(－2,1) B．0,1]
C．－2,0) D．－2,1)
答案 D
解析 解不等式x2－1－(4＋x)≥1，得x≤－2或x≥3，
所以f(x)＝
函数y＝f(x)＋k的图象与x轴恰有三个不同的交点转化为函数y＝f(x)的图象和直线y＝－k恰有三个不同的交点．
如图，所以－1<－k≤2，故－2≤k<1.
(2)已知函数f(x)＝－x2＋2ex＋m－1，g(x)＝x＋ (x>0)．
①若g(x)＝m有零点，求m的取值范围；
②确定m的取值范围，使得g(x)－f(x)＝0有两个相异实根．
解 ①∵g(x)＝x＋≥2＝2e(x>0)，当且仅当x＝时取等号，∴当x＝e时，g(x)有最小值2e.
∴g(x)＝m有零点，只需m≥2e.
∴当m∈2e，＋∞)时，g(x)＝m有零点．
②若g(x)－f(x)＝0有两个相异实根，则函数g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点．
如图，作出函数g(x)＝x＋(x>0)的大致图象．
∵f(x)＝－x2＋2ex＋m－1
＝－(x－e)2＋m－1＋e2，
∴其对称轴为x＝e，f(x)max＝m－1＋e2.
若函数f(x)与g(x)的图象有两个交点，则m－1＋e2>2e，即当m>－e2＋2e＋1时，g(x)－f(x)＝0有两个相异实根．
∴m的取值范围是(－e2＋2e＋1，＋∞)．
【变式探究】(1)已知函数f(x)＝ex－2x＋a有零点，则a的取值范围是_________________．
(2)若函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，则实数b的取值范围是________．
答案 (1)(－∞，2ln2－2] (2)(0,2)
解析 (1)f′(x)＝ex－2，当x∈(－∞，ln2)时，f′(x)<0；当x∈(ln2，＋∞)时，f′(x)>0，所以f(x)min＝f(ln2)＝2－2ln2＋a.由于所以f(x)有零点当且仅当2－2ln2＋a≤0，所以a≤2ln2－2.
(2)将函数f(x)＝|2x－2|－b的零点个数问题转化为函数y＝|2x－2|的图象与直线y＝b的交点个数问题，数形结合求解．
由f(x)＝|2x－2|－b＝0，
得|2x－2|＝b.
在同一平面直角坐标系中画出y＝|2x－2|与y＝b的图象，如图所示．
则当00)时，销售量q(x)(单位：百台)与x的关系满足：若x不超过20，则q(x)＝；若x大于或等于180，则销售量为零；当200，f(x)单调递增，
当80180时，f(x)＝0.
答 当x等于80元时，总利润取得最大值240000元．
【变式探究】(1)国家规定个人稿费纳税办法为：不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4000元的按超过部分的14%纳税；超过4000元的按全稿酬的11%纳税．某人出版了一本书共纳税420元，则他的稿费为( )
A．3000元 B．3800元
C．3818元 D．5600元
(2)某租赁公司拥有汽车100辆．当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出．当每辆车的月租金每增加50元时，未出租的车将会增加一辆．租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元，要使租赁公司的月收益最大，则每辆车的月租金应定为________元．
答案 (1)B (2)4050
(2)设每辆车的月租金为x(x>3000)元，则租赁公司月收益为y＝ (100－)·(x－150)－×50，整理得y＝－＋162x－21000＝－(x－4050)2＋307050.
所以当x＝4050时，y取最大值为307050，即当每辆车的月租金定为4050元时，租赁公司的月收益最大为307050元.
【名师点睛】
(1)关于解决函数的实际应用问题，首先要耐心、细心地审清题意，弄清各量之间的关系，再建立函数关系式，然后借助函数的知识求解，解答后再回到实际问题中去．
(2)对函数模型求最值的常用方法：单调性法、基本不等式法及导数法．
【锦囊妙计，战胜自我】
解决函数模型的实际应用问题，首先考虑题目考查的函数模型，并要注意定义域．其解题步骤是：(1)阅读理解，审清题意：分析出已知什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题；(2)数学建模：弄清题目中的已知条件和数量关系，建立函数关系式；(3)解函数模型：利用数学方法得出函数模型的数学结果；(4)实际问题作答：将数学问题的结果转化成实际问题作出解答．
1．函数f(x)＝|x－2|－lnx在定义域内的零点可能落在的区间为( )
A．(0,1) B．(2,3)
C．(3,4) D．(4,5)
解析：∵函数f(x)＝|x－2|－lnx，
∴f(1)＝1>0，f(2)＝－ln2<0，f(3)＝1－ln3<0，f(4)＝2－ln4>0，f(5)＝3－ln5>0，∴f(1)·f(2)<0，f(3)f(4)<0.∴函数的零点在(1,2)，(3,4)上，故选C.
答案：C
2．设f(x)＝3x＋3x－8，用二分法求方程3x＋3x－8＝0在x∈(1,2)内近似解的过程中得f(1)<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0，则方程的根所在区间为( )
A．(1,1.25) B．(1.25,1.5)
C．(1.5,2) D．不能确定
解析：∵函数f(1.5)·f(1.25)<0，由零点存在定理，方程的根落在区间(1.25,1.5)．故选B.
答案：B
3．(2016·黑龙江哈师大附中期中)关于x的方程|x|－a－1＝0有解，则a的取值范围是( )
A．(0,1] B．(－1,0]
C．1，＋∞) D．(0，＋∞)
解析：∵关于x的方程|x|－a－1＝0有解，∴函数y＝|x|的图象与直线y＝a＋1有交点，根据指数函数的单调性可知：0<|x|≤1，∴方程有解只需00.∴f(0)f(1)<0，
∴函数f(x)＝2ex＋3x－a的零点所在的区间是(0,1)．故选C.
答案：C
6．设函数f(x)＝ex＋x－2的零点为x1，函数g(x)＝lnx＋x2－3的零点为x2，则( )
A．g(x1)<0，f(x2)>0
B．g(x1)>0， f(x2)<0
C．g(x1)>0，f(x2)>0
D．g(x1)<0，f(x2)<0
答案：A
7．已知函数f(x)＝－x－＋2e有且只有一个零点，则k的值为( )
A．e＋ B．e2＋
C．1 D．e
解析：函数的定义域为(0，＋∞)，令－x－＋2e＝0，即方程－x2＋2ex＝k只有一个解，设g(x)＝－x2＋2ex，则g′(x)＝＋2(e－x)，当x>e时，g′(x)<0；当00，故当x＝e时，g(x)取得最大值g(e)＝＋e2，又－x2＋2ex＝k只有一个解，故k＝＋e2，故选B.
答案：B
8．已知函数f(x)＝关于x的方程f2(x)＋bf(x)＋c＝0有7个不同的解，则b，c满足的条件是( )
A．b<0，c<0 B．b<0，c＝0
C．b>0，c＝0 D．b>0，c<0
解析：作出函数f(x)的图象如图所示，设f(x)＝t，当t＝0时，方程有3个根；当t>0时，方程有4个根，当t<0时，方程无解．∴要使关于x的方程f2(x)＋bf(x)＋c＝0有7个不同实数解，关于f(x)的方程f2(x)＋bf(x)＋c＝0等价为t2＋bt＋c＝0有一个正实数根和一个等于零的根．∴c＝0，此时t2＋bt＝t(t＋b)＝0，则另外一个根为t＝－b，即f(x)＝－b>0，即b<0，c＝0.故选B.
答案：B
9．已知f(x)＝kx－|x－1|有两个不同的零点，则实数k的取值范围是__________．
答案：(0,1)
10．函数f(x)＝2sinxsin－x2的零点个数为__________．
解析：函数f(x)＝2sinxsin－x2
的零点个数等价于方程2sinxsin－x2＝0的根的个数，即函数g(x)＝2sinxsin＝2sinxcosx＝sin2x与h(x)＝x2的图象交点个数．于是，分别画出其函数图象如下图所示，由图可知，函数g(x)与h(x)的图象有2个交点．
答案：2
11．已知函数f(x)＝ex－ax，a∈R.
(1)若函数f(x)在x＝0处的切线过点(1,0)，求a的值；
(2)若函数f(x)在(－1，＋∞)上不存在零点，求a的取值范围；
(3)若a＝1，设函数g(x)＝＋，求证：当x≥0时，g(x)≥1.
解：(1)f(x)＝ex－ax的导数为f′(x)＝ex－a，函数f(x)在x＝0处的切线斜率为1－a，又切线过点(0,1)，则切线方程为y－1＝(1－a)x，又切线过点(1,0)，可得1－a＝－1，解得a＝2.
(2)函数f(x)在(－1，＋∞)上不存在零点，则方程ex－ax＝0无实根，即a＝在x>－1时无解，设h(x)＝，即有h′(x)＝，当－11时，h′(x)>0，h(x)单调递增．则x>0时，在x＝1处，h(x)取得最小值h(1)＝e，－10，则G(x)在0，＋∞)上单调递增，即G(x)≥G(0)＝0，即F′(x)≥0，即F(x)在0，＋∞)上单调递增，则F(x)≥F(0)＝0，即ex(3x－4)＋x＋4≥0，故当x≥0时，g(x)≥1.
12．已知函数f(x)＝ex－1－ax，a∈R.
(1)求函数y＝f(x)的单调区间；
(2)试探究函数F(x)＝f(x)－xlnx在定义域内是否存在零点？若存在，请指出有几个零点；若不存在，请说明理由．
(3)若g(x)＝ln(ex－1)－lnx，且f(g(x))0，∴函数f(x)在区间(－∞，＋∞)上单调递增；②当a>0时，f ′(x)>0⇒x>lna，f ′(x)<0⇒x0时，函数f(x)的单调递增区间为(lna，＋∞)，单调递减区间为(－∞，lna)．
(2)函数F(x)＝f(x)－xlnx的定义域为(0，＋∞)，由F(x)＝0，得a＝－lnx，x>0.令h(x)＝－lnx，x>0，则h′(x)＝，x>0，∴h′(x)>0⇒x>1，h′(x)<0⇒00，有f(x)>f(lna)＝0，即ex－1>x⇔>1.∴当x>0且x趋向0时，h(x)趋向＋∞.随着x>0的增长，y＝ex－1的增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝x2的增长速度，而y＝lnx的增长速度则会越来越慢．故当x>0且x趋向＋∞时，h(x)趋向＋∞.得到函数h(x)的草图如图所示．故①当a>e－1时，函数F(x)有两个不同的零点；②当a＝e－1时，函数F(x)有且仅有一个零点；③当a
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