福建省泉州中学数学学科联盟2020届高三考前冲刺适应性模拟卷（理）试题 Word版含解析 17页

准考证号________________ 姓名________________‎ ‎（在此卷上答题无效）‎ 保密★启用前 泉州中学数学学科联盟2020届高三考前冲刺适应性模拟卷 理 科 数 学 本试卷共23题，满分150分，共5页．考试用时120分钟．‎ 注意事项：‎ ‎1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．‎ ‎2．考生作答时，将答案答在答题卡上．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．在草稿纸、试题卷上答题无效．‎ ‎3．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案使用毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚．‎ ‎4．保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．已知，其中是实数，是虚数单位，则复平面内对应的点在 ‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎2．已知集合，，则下列结论正确的是 ‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎3．记等差数列的前项和为．若，，则 ‎ A． B． C． D． ‎ ‎4．2019年，泉州市区的房价依旧是市民关心的话题．总体来说，二手房房价有所下降；相比二手房而言，新房市场依然强劲，价格持续升高．已知销售人员主要靠售房提成领取工资．现统计泉州市某新房销售人员2019年一年的工资情况的结果如图所示，则下列说法正确的是 ‎ A．2019年该销售人员月工资的中位数为 ‎ ‎ B．2019年该销售人员8月份的工资增长率最高 ‎2020届高三数学考前冲刺适应性模拟卷（理科）试题　　第 17 页（共 17 页）‎ ‎ C．2019年该销售人员第一季度月工资的方差小于第二季度月工资的方差 D．2019年该销售人员第一季度月工资的平均数大于第四季度月工资的平均数 ‎5．若，则 ‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎6．执行如图所示的程序框图若输入，则输出的的值为 ‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎7．定义在上的函数满足，且在上单调递增．若，则不等式的解集为 ‎ A． B． C． D． ‎8．直线交椭圆于两点，若，则的值为 ‎ A． B． C． D． ‎ ‎9．法国的数学家费马（PierredeFermat）曾在一本数学书的空白处写下一个看起来很简单的猜想：当整数时，找不到满足的正整数解．该定理史称费马最后定理，也被称为费马大定理．费马只是留下这个叙述并且说他已经发现这个定理的证明妙法，只是书页的空白处不够无法写下．费马也因此为数学界留下了一个千古的难题，历经数代数学家们的努力，这个难题直到1993年才由我国的数学家毛桂成完美解决，最终证明了费马大定理的正确性．现任取，则等式成立的概率为（）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．已知函数，若，且在至少有个极值点，则的最小值为 ‎ A． B． C． D．‎ ‎11．已知双曲线的左、右焦点分别为，为坐标原点．若点在上，，‎ ‎2020届高三数学考前冲刺适应性模拟卷（理科）试题　　第 17 页（共 17 页）‎ ‎，，则的离心率为 ‎ A． B． C． D．‎ ‎12．已知函数，方程有3个不同的解，现给出下述结论：‎ ①； ②； ③的极小值．‎ 则其中正确的结论的有 ‎ A．①③ B．①②③ C． ②③ D．②‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡的相应位置．‎ ‎13．设满足约束条件则的取值范围是 ．‎ ‎14．已知向量满足，，则的最小值为 ．‎ ‎15．已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，，，过球心．若球的表面积为，则此三棱锥的体积为 ．‎ ‎16．记各项均为正数的数列的前项和为．若，（），则的最小值为 ．‎ 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．‎ ‎（一）必考题：共60分．‎ ‎17．（12分）‎ 已知四边形中，，，．‎ ‎（1）求的面积； ‎ ‎（2）若是等边三角形，求．‎ ‎ ‎ ‎2020届高三数学考前冲刺适应性模拟卷（理科）试题　　第 17 页（共 17 页）‎ ‎18．（12分）‎ 如图，在六棱锥中，底面是边长为的正六边形，．‎ ‎ （1）证明：平面平面；‎ ‎ （2）若，求二面角的余弦值．‎ ‎ ‎ ‎19．（12分）‎ 已知抛物线的焦点为，准线为，过的直线与相交于两点． ‎ ‎ （1）以为直径的圆与轴交两点，若，求；‎ ‎（2）点在上，过点且垂直于轴的直线与分别相交于两点，证明：．‎ ‎20．（12分）‎ ‎2019年泉州市农村电商发展迅猛，成为创新农产品交易方式、增加农民收入、引导农业供给侧结构性改革、促进乡村振兴的重要力量，成为乡村振兴的新引擎。2019年大学毕业的李想，选择回到家乡泉州自主创业，他在网上开了一家水果网店．‎ ‎2019年双十一期间，为了增加水果销量，李想设计了下面两种促销方案：‎ 方案一：购买金额每满120元，即可抽奖一次，中奖可获得20元，每次中奖的概率为（），假设每次抽奖相互独立．‎ 方案二：购买金额不低于180元时，即可优惠元，并在优惠后的基础上打九折． ‎ ‎（1）在促销方案一中，设每10个抽奖人次中恰有6人次中奖的概率为，求的最大值点；‎ ‎（2）若促销方案二中，李想每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的八折，求的最大值；‎ ‎（3）以（1）中确定的作为的值，且当取最大值时，若某位顾客一次性购买了360元，则该顾客应选择哪种促销方案？请说明理由．‎ ‎2020届高三数学考前冲刺适应性模拟卷（理科）试题　　第 17 页（共 17 页）‎ ‎21．（12分）‎ ‎（1）求函数在的最大值；‎ ‎（2）证明：函数在有两个极值点，且．‎ ‎ ‎ ‎（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．‎ ‎22．［选修4—4：坐标系与参数方程］（10分）‎ 直角坐标系中，曲线的方程为．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点，曲线的极坐标方程为．‎ ‎（1）求的极坐标方程与的直角坐标方程；‎ ‎（2）设直线过点交于点（异于原点），射线分别交于点，求证：为定值．‎ ‎23．［选修4—5：不等式选讲］（10分）‎ 已知函数，，．‎ ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）若正数满足，且，证明：．‎ ‎2020届高三数学考前冲刺适应性模拟卷（理科）试题　　第 17 页（共 17 页）‎ 泉州数学学科联盟2020届高三考前冲刺适应性模拟卷 理科数学试题答案及评分参考 评分说明：‎ ‎ 1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则．‎ ‎ 2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．‎ ‎3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．‎ ‎4．只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．‎ 一、单项选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．D 2．A 3．B 4．C 5．A 6．C ‎ ‎7．D 8．B 9．B 10．C 11．D 12．C ‎1．【解析】由，得，由复数相等的意义可得，所以，故选D．‎ ‎2．【解析】由，得或，所以，故选A．‎ ‎3. 【解法一】设等差数列的公差为．‎ 由已知得 解得，所以．故选B．‎ ‎【解法二】设等差数列的公差为．则，‎ 又，所以，则．故选B．‎ ‎4．【解析】2019年该销售员的月工资由少到多依次排列为1．3、1．9、2．3、2．5、3．5、4．2、4．3、4．3、5．6、8．1、9．2，中位数为，故A错；‎ 由图像得，从5月份到6月份的线段斜率最大，故6月份工资增长率最高，B错；‎ 由图像得，第一季度的月工资比第二季度的月工资波动小，故方差小，C正确；‎ 第一季度的月工资和为10．3，第四季度的月工资和为11．8， D错，故选C．‎ ‎5．【解析】选项A中，由于，所以成立．‎ ‎2020届高三数学考前冲刺适应性模拟卷（理科）试题　　第 17 页（共 17 页）‎ 选项B中，与大小不能确定，故B错误；‎ 选项C中，由于，故A错误，或构造函数在单调递增，所以；‎ 选项D中，让，则，故D错误．故选A．‎ ‎6．【解析】程序的运行过程为 当时，；时，，此时输出，故选C．‎ ‎7．【解析】由条件可得为奇函数，所以．‎ 利用如下特殊情形的图像，‎ 可得的解集为．故选D．‎ ‎8．【解法一】由于椭圆的上顶点为，直线也过，‎ 所以为直线与椭圆的一个交点．‎ 设，则=,‎ 所以，或（不合，舍去），‎ 把代入椭圆方程得：，故．故选B．‎ ‎【解法二】由得，所以，‎ 又， ‎ 所以=，‎ ‎2020届高三数学考前冲刺适应性模拟卷（理科）试题　　第 17 页（共 17 页）‎ 因为，所以，．故选B．‎ ‎9．【解析】任取，则基本事件总数为，‎ 当时，由费马大定理知等式不成立，‎ 当时，可取或，共种情况，‎ 当时，等式即为，可取，，，，，，，，，，共种情况，‎ 综上，使等式成立的基本事件个数为，故等式成立的概率为，选B．‎ ‎10．【解析】，由，‎ 可得，即或，‎ 化简得，或，‎ 由于，即，‎ 所以要使在至少有个极值点，则只需，即．‎ 若时，则，即．‎ 若时，则，．‎ 所以的最小值为．故选C．‎ ‎11．【解析】作中点，则关于原点对称，所以，‎ 由，，易得为正三角形.‎ 中，，，易得。‎ 所以的离心率．故选D．‎ ‎12．【解析】由，‎ 所以在递减，递增．‎ 若，即时，，此时不符合题意，即①错误．‎ ‎2020届高三数学考前冲刺适应性模拟卷（理科）试题　　第 17 页（共 17 页）‎ 若时，，又时，；时，，‎ 所以有两个零点，不妨，则．‎ 当时，；当时，；当时，．‎ 因为时，；；时，，‎ 所以此时有三个零点，即为，不妨设，则．‎ 因为，则，‎ 所以，从而，即②正确．‎ 由上面可知，所以③正确．‎ 故选C．‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡的相应位置．‎ ‎13． 14． 15． 16． ‎ ‎13．【解析】如图，阴影部分为可行域，解得，‎ 所以，故的取值范围为．‎ ‎14．【解析】，所以的最小值为．‎ ‎15．【解析】如图，设的外心为，外接圆半径为．‎ 中，，，所以，．‎ 中，由勾股定理得，解得．‎ ‎ 因为球的表面积为，可求得球的半径，所以．‎ ‎2020届高三数学考前冲刺适应性模拟卷（理科）试题　　第 17 页（共 17 页）‎ ‎ 又过球心，因此点到平面的距离为．‎ ‎ 因为，‎ 所以．‎ ‎16.【解析】因为，所以，即．‎ 所以数列是从第二项起，公比为的等比数列．因为，所以，．因此．‎ ‎ 令，则，‎ 所以当时，；当时，．‎ 故，即的最小值为．‎ 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．‎ ‎（一）必考题：共60分．‎ ‎17．【命题意图】本小题主要考查正弦定理、余弦定理、基本不等式等基础知识，考查运算求解能力，查函数与方程思想，考查逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性、综合性．满分12分．‎ 解：（1）中，， 1分 化简得，解得或（舍去）； 3分 所以的面积． 5分 ‎2020届高三数学考前冲刺适应性模拟卷（理科）试题　　第 17 页（共 17 页）‎ ‎（2）中，，所以， 7分 ‎． 8分 ‎ ． 10分 中，，‎ 所以． 12分 ‎ ‎ ‎18．【命题意图】本小题考查面面垂直的判定、二面角的求解等基础知识，考查空间想象能力、逻辑推理及运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想等，体现基础性、综合性与应用性，导向对发展数学抽象、逻辑推理、直观想象等核心素养的关注．满分12分．‎ 解：（1）设，连结．‎ ‎ 在正六边形中，易得，． 2分 又因为，所以． 3分 又，所以平面． 4分 又平面，所以平面平面． 5分 ‎（2）在正六边形中，，所以，．‎ 又因为，所以． 6分 因为，所以，即，‎ 所以、、两两互相垂直． 7分 以、、所在的直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系（如图所示）．‎ 则，，，，，，．...8分 设平面的一个法向量为．‎ 由得令，解得，．‎ 所以． 9分 设平面的一个法向量为．‎ ‎2020届高三数学考前冲刺适应性模拟卷（理科）试题　　第 17 页（共 17 页）‎ 由得令，解得．‎ 所以． 10分 因此． 11分 因为二面角的平面角为钝角，‎ 故二面角的余弦值为． 12分 ‎19．【命题意图】本小题主要考查抛物线的定义、标准方程及简单几何性质，直线与圆、直线与抛物线的位置关系等基础知识；考查运算求解能力，推理论证能力；考查数形结合思想，函数与方程思想，化归与转化思想等；考查直观想象，逻辑推理，数学运算等核心素养；体现基础性，综合性与创新性．满分12分．‎ 解：（1）设的中点为，在上的射影分别为，‎ 则 2分 ‎， ‎ 所以到轴的距离．‎ 故 4分 ‎． 5分 ‎（2）当直线斜率为0时，不满足题意． ‎ 设直线，，．‎ 由得， 6分 所以 7分 直线，‎ ‎2020届高三数学考前冲刺适应性模拟卷（理科）试题　　第 17 页（共 17 页）‎ 令，得，即． 8分 同理可得：． 9分 要证，即证，‎ 又，‎ 即证， 10分 即证， ‎ 即证，‎ 即证…（※）， 11分 又因为 所以（※）式显然成立，故，命题得证． 12分 ‎20．【命题意图】本小题主要考查二项分布的概率、期望等基础知识；考查抽象概括能力数据处理能力、运算求解能力、推理论证能力、创新意识；考查统计与概率思想、化归与转化思想；考查数学运算素养、数学建模素养、数据分析素养，体现基础性、综合性、创新性与应用性．满分12分．‎ 解：（1）依题意得：， 1分 则， 2分 当；当时，， 3分 故在时取得最大值，所以． 4分 ‎（2）设顾客一次购买水果的促销前总价为，‎ 当元时，有恒成立， 6分 ‎2020届高三数学考前冲刺适应性模拟卷（理科）试题　　第 17 页（共 17 页）‎ 即恒成立，所以，故的最大值为20元． 8分 ‎（3）若参加活动一，顾客可得减负金额为元． 9分 若参加活动二，顾客可抽奖三次．设X表示顾客在三次抽奖中中奖的次数，‎ 由于顾客每次抽奖的结果相互独立，则， 10分 所以．‎ 由于顾客每中一次可获得20元现金奖励，‎ 因此该顾客在三次抽奖中可获得的奖励金额的均值为元， 11分 又因为，所以顾客应该选择活动一． 12分 ‎21．【命题意图】本题以三角函数作为问题背景，考查导数与函数单调性的关系、函数的零点、函数的极值等基础知识，考查抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想等思想，考查数学抽象、逻辑推理、数学运算等核心素养，体现综合性、应用性与创新性．满分12分．‎ 解法一：（1），则在上单调递增， 1分 又，‎ 所以在有唯一的零点． 2分 当时，；时，． 3分 又，‎ 所以在的最大值为． 4分 ‎（2）证法一：，‎ 则当时，单调递增，又，‎ 所以在有唯一的零点，‎ 此时，时，；时，，‎ 所以是极小值点，不妨让． 6分 当时，，所以； 7分 ‎2020届高三数学考前冲刺适应性模拟卷（理科）试题　　第 17 页（共 17 页）‎ 当，．‎ ‎ 由（1）知， 有唯一的零点，‎ 则时，，即单调递减；时，，即单调递增 又，‎ 所以在有唯一的零点，‎ 此时时，；时，，所以是极大值点，即，‎ 所以在有两个极值点，其中，， 9分 且，由于，所以．‎ 因为，，‎ 所以，即． 10分 又，所以，同理，‎ 所以． 12分 ．……………… 12分 解法二：（1）同解法一．‎ ‎（2）前面同证法一．‎ 由 ． 10分 ‎．‎ 令，则，‎ 所以， 11分 ‎．‎ 令，‎ 则．‎ ‎2020届高三数学考前冲刺适应性模拟卷（理科）试题　　第 17 页（共 17 页）‎ 所以，‎ 所以． 12分 ‎（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．‎ ‎22．选修：坐标系与参数方程 ‎【命题意图】本小题主要考查直角坐标方程和极坐标方程，极坐标方程和直角坐标方程的互化，极径、极角以及应用极坐标下曲线方程来解决问题的方法；考查推理论证能力，运算求解能力；考查化归与转化思想，函数与方程思想，数形结合思想；体现基础性与综合性，导向对发展逻辑推理，直观想象，数学运算核心素养的关注．满分10分．‎ 解：（1）由，得， 1分 整理得的极坐标方程为， 3分 由两边同时乘以，得，‎ 故的直角坐标方程为． 5分 ‎（2）依题意可知点为圆的圆心，故为圆的直径，故， 6分 不妨设点的极坐标为，点的极坐标为， 7分 则，， 8分 所以为定值． 10分 ‎23．选修：不等式选讲 ‎【命题意图】本小题主要考查绝对值不等式、基本不等式等基础知识，考查运算求解能力，推理论证能力；考查分类与整合思想、数形结合思想、函数与方程思想、转化化归思想；体现基础性和综合性；导向对发展数学运算、逻辑推理、直观想象等核心素养的关注．满分10分．‎ 解：（1）由题意得，原不等式等价于， ‎ 当时，原不等式可化为，即， 1分 ‎2020届高三数学考前冲刺适应性模拟卷（理科）试题　　第 17 页（共 17 页）‎ 解得或，故； 2分 当时，原不等式可化为，即， 3分 ‎ 解得或，故； 4分 综上所述不等式的解集为． 5分 ‎（2）因为， 6分 由题意，可得， 7分 ‎ 8分 又因为，，， 9分 故． 10分 ‎2020届高三数学考前冲刺适应性模拟卷（理科）试题　　第 17 页（共 17 页）‎