数学理卷·2017届云南省师大附中高三适应性月考（三）（2016 15页

云南师大附中2017届月考卷（三）理数 第Ⅰ卷（选择题，共60分）‎ 一、 选择题（本大题有12小题，每小题5分，共60分）‎ ‎1.设全集,集合，则 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎2．已知复数，是的共轭复数，则为 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎3.下列说法正确的是 （ ）‎ A.若命题，为真命题，则命题为真命题 ‎ B.“若，则”的否命题是“若，则”‎ C. 若命题：“”的否定：“”‎ D.若时定义在R上的函数，则“是是奇函数”的充要条件 ‎4.已知双曲线,曲线在点处的切线方程为，则该双曲线的渐近线方程为 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎5.若正整数除以正整数后的余数为，则记为，例如.如图1所示的程序框图的算法源于我国古代闻名中外的《中国剩余定理》，执行该程序框图，则输出的 （ ）‎ A. 16 B. 17 C. 19 D. 15‎ ‎6.已知公差不为0的等差数列满足成等比数列，为的前项和，则的值为 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎7.已知随机变量服从正态分布，则“”是“关于的二项式的展开式的常数项为3”的 （ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 既不充分也不必要 D. 充要条件 ‎8已知某随机变量的概率密度函数为，则随机变量落在区间（1,3）内的概率为 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎9.某四棱锥的三视图如图2所示，则该四棱锥的外接球的表面积是 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎10.某班微信群中甲、乙、丙、丁、戊五名同学同时抢4个红包，每人最多抢一个红包，且红包全被抢光，4个红包中有两个2元，两个5元（红包中金额相同视为相同的红包），则甲、乙两人都抢到红包的情况有 （ ）‎ A. 36种 B. 24种 C. 18种 D. 9种 ‎11.在锐角中，,若动点满足,则点的轨迹与直线所围成的封闭区域的面积为 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎12.若二次函数的图像与曲线存在公共切线，则实数的取值范围为 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）‎ 二、填空题（共4个小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13.某校高三某班在一次语文周测中，每位同学的考试分数都在区间内，将该班所有同学的考试分数分为七组：，绘制出如图3所示的频率分布直方图.已知分数低于112分的有18人，则分数不低于120分的人数为 ‎14.已知倾斜角为的直线与直线垂直，则=‎ ‎15.记函数的导数为，的导数为，……，的导数为.若可进行次求导，则均可近似表示为：，若取，根据这个结论，则可近似估计 （用分数表示）‎ ‎16. 设数列为等差数列，且，若，记，则数列的前21项和为 三、解答题（共70分）‎ ‎17.在中，角所对的边分别为.向量,且.‎ ‎（Ⅰ）求角的大小；‎ ‎（Ⅱ）若，求边的最小值.‎ ‎18.如图4甲，在直角梯形中，是的中点，是与的交点，将沿折起到的位置，如图乙.‎ ‎（Ⅰ）证明：；‎ ‎（Ⅱ）若平面，求与平面所成的角.‎ ‎19.2016年11月21日是附中建校76周年校庆日，为了了解在校同学们对附中的看法，学校进行了调查，从全校所有班级中任选三个班，统计同学们对附中的看法，情况如下表：‎ 对附中的看法 非常好，附中推行素质教育，身心得以全面发展 很好，我的高中生活很快乐很充实 A班人数比例 B班人数比例 C班人数比例 ‎（Ⅰ）从这三个班中各选一位同学，求恰好有2人认为附中“非常好”的概率（用比例作为相应概率）；‎ ‎（Ⅱ）若在班按所持态度分层抽样，抽取9人，再从这9人中任意选取3人，记认为附中“非常好”的人数为，求的分布列和数学期望.‎ ‎20.已知椭圆的左、右焦点分别为，椭圆上一点与椭圆右焦点的连线垂直于轴.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）与抛物线相切于第一象限的直线，与椭圆交于两点，与轴交于点，线段的垂直平分线与轴交于点，求直线斜率的最小值.‎ ‎21.设函数.‎ ‎（Ⅰ）求函数的极大值；‎ ‎（Ⅱ）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围；‎ ‎（Ⅲ）已知，试比较与的大小，并说明理由.‎ ‎22. 〖选修4—4：坐标系与参数方程〗‎ 在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为，它在点处的切线为直线.‎ ‎（Ⅰ）求直线的直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）已知点为椭圆上一点，求点到直线的距离的取值范围.‎ ‎23.〖选修4-5：不等式选讲〗‎ 已知函数 ‎（Ⅰ）当时，求不等式的解集；‎ ‎（Ⅱ）若的解集包含，求的取值范围.‎ 云南师大附中2017届高考适应性月考卷（三）‎ 理科数学参考答案 第Ⅰ卷（选择题，共60分）‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 D B C D B D A B C C A B ‎【解析】‎ ‎1．∵，∴，故选D．‎ ‎2．由，∴∴故选B．‎ ‎3．选项A中命题为假命题，选项B中命题的否命题应为“若则”，选项D中结论应为必要不充分条件，故选C．‎ ‎4．∵在点(0，2)处的切线方程为：∴，渐近线方程为，故选D．‎ ‎5．选项中被5和3除后的余数为2的数为17，故选B．‎ ‎6．由已知设公差为则故选D．‎ ‎7．由已知的展开式的常数项为故选A．‎ ‎8．由随机变量X的概率密度函数的意义得，故选B．‎ 图1‎ ‎9．由三视图知四棱锥为长方体的一部分，如图1，所以外接球的直径，所以，所以四棱锥的外接球的表面积是，故选C．‎ ‎10．甲、乙两人都抢到红包一共有三种情况：（1）都抢到2元的红包，有种；（2）都抢到5元的红包，有种；（3）一个抢到2元，一个抢到5元，有种，故总共有18种．故选C．‎ ‎11．取AB的中点D，则∴三点共线，P的轨迹为CD，∵∴由正弦定理：由B=(A+C)=故点的轨迹与直线所围成的封闭区域的面积为故选A．‎ ‎12．设公共切线与二次函数的图象切于点，与曲线切于点 ‎，则切线的斜率为得 ∴或又∵， ∴∴‎ ‎∴∴记求导，得在内递增，在内递减，，∴，故选B．‎ 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ 题号 ‎13‎ ‎14‎ ‎15‎ ‎16‎ 答案 ‎10‎ ‎21‎ ‎13．分数低于112分的人数对应的频率/组距为0.09，分数不低于120分的人数对应的频率/组距为0.05，故其人数为人.‎ ‎14．由已知．‎ ‎15．设则∴故当时，．‎ ‎16．由题意，易知关于中心对称，又数列为等差数列，故，且，故的前21项的和…．‎ 三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）‎ ‎17．（本小题满分12分）‎ 解：（Ⅰ）由可得 由正弦定理得：‎ 即 ‎∵∴∴. ………………………（6分）‎ ‎（Ⅱ） ‎ 又 当且仅当时，取等号，‎ ‎∴． …………………………………………（12分）18．（本小题满分12分）‎ ‎（Ⅰ）证明：在图2甲中，∵AB=BC=1，AD=2，E是AD的中点，∠BAD=错误！未找到引用源。，‎ ‎∴BE⊥AC，即在图乙中，BE⊥OA1，BE⊥OC，又OA1∩OC=O，‎ 图2‎ ‎∴BE⊥平面A1OC，∵BC∥DE，BC=DE，‎ ‎∴是平行四边形，‎ ‎∴CD∥BE，∴CD⊥平面A1OC． …………………………………………（6分）‎ ‎（Ⅱ）解：由已知，平面A1BE⊥平面BCDE，‎ 又由（Ⅰ）知，BE⊥OA1，BE⊥OC，‎ ‎∴平面BCDE，又OC平面BCDE，∴．‎ 如图乙，以O为原点，建立空间直角坐标系，‎ ‎∵A1B=A1E=BC=ED=1，BC∥ED，‎ ‎∴‎ 得，，．‎ 设BC与平面A1CD所成的角为θ，平面A1CD的一个法向量为， ‎ 得取，‎ 从而，‎ 即BC与平面A1CD所成的角为． ……………………………………（12分）19．（本小题满分12分）‎ 解：（Ⅰ）记这3位同学恰好有2人认为附中“非常好”的事件为A，‎ 则． ………………（6分）‎ ‎（Ⅱ）在B班按照相应比例选取9人，‎ 则认为附中“非常好”的应选取6人，认为附中“很好”的应选取3人，则，‎ 且；‎ ‎；‎ ‎；‎ ‎． ………………………………（9分）‎ 则的分布列为：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 则的期望值为：． …………………（12分）‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ 解：（Ⅰ）∵点与椭圆右焦点的连线垂直于轴，‎ ‎∴，将点坐标代入椭圆方程可得，‎ 又，联立可解得，，‎ 所以椭圆C的方程为． ………………………………（4分）‎ ‎（Ⅱ）设切点坐标为，则l：．‎ 整理，得l：‎ ‎∴设，‎ 联立直线方程和椭圆方程可得，‎ ‎∴‎ ‎∴的中点坐标为，‎ ‎∴的垂直平分线方程为令x=0，得 即∴．‎ ‎∵∴，‎ 当且仅当时取得等号． ‎ ‎∴直线MN的斜率的最小值为． ………………………………（12分）‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ 解：（Ⅰ）∵，则，‎ 当，当，‎ ‎∴在上单调递增，在上单调递减，‎ ‎∴当时，函数取得极大值1． ………………………………（4分）‎ ‎（Ⅱ）解法一：．‎ 令，则．‎ ‎∵故当在上恒成立时，使得函数在上单调递增，‎ ‎∴在上恒成立，故．‎ 经验证，当时，函数在上恒成立；当时，不满足题意．‎ ‎∴． ……………………………………………………（9分）‎ 解法二：当时，；‎ 当时，不等式．‎ 令，则．‎ 令，则．‎ 函数在上单调递减，∴，即．‎ 所以函数在上单调递减，由洛必达法则，得，‎ ‎∴． …………………………………………（9分）‎ ‎（Ⅲ）令，则．‎ ‎∵，∴，∴，‎ 故单调递增，又，‎ ‎∴当，；‎ 当，；‎ 当，． …………………………………（12分）‎ ‎22．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】‎ 解：（Ⅰ）∵曲线的极坐标方程为，‎ ‎∴，∴曲线的直角坐标方程为，‎ ‎∴，又的直角坐标为(2，2)，‎ ‎∴曲线在点 (2，2)处的切线方程为，‎ 即直线的直角坐标方程为． …………………………………（5分）‎ ‎（Ⅱ）为椭圆上一点，设，‎ 则到直线的距离，‎ 当时，有最小值0．‎ 当时，有最大值．‎ ‎∴到直线的距离的取值范围为． ……………………………（10分）‎ ‎23．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】‎ 解：（Ⅰ）当时，‎ 不等式，即，‎ 当时，由，解得；‎ 当时，由，解得，故不等式无解；‎ 当时，由，解得．‎ 综上，的解集为． ………………………（5分）‎ ‎（Ⅱ）等价于．‎ 当时，等价于，即，‎ 若的解集包含，‎ 则 即．‎ 故满足条件的的取值范围为． ……………………………（10分）‎