【数学】2019届一轮复习人教A版 集合与常用逻辑用语 学案 7页

专题一　考前教材重温 ‎(对应 生用书第58页)‎ ‎1.集合与常用逻辑用语 ‎■要点重温…………………………………………………………………………·‎ ‎1．考查集合问题，一定要弄清楚集合所研究的对象，把握集合的实质．如： {x|y＝x2＋1，x∈R}——函数的定义域；{y|y＝x2＋1，x∈R}——函数的值域；{(x，y)|y＝x2＋1}——函数图象上的点集．特别注意括号中的附加条件，如x∈Z、x∈N等．‎ ‎[应用1]　已知A＝{x|y＝，x∈R }，B＝{y|y＝lg(x2＋1)，x∈R}，C＝{(x，y)|y＝2x，x∈R}，则A∩B＝________；A∩C＝________.‎ ‎[答案]　[0,3]　∅‎ ‎2．集合的元素具有确定性、无序性和互异性，在解决有关集合的问题时，尤其要注意元素的互异性．‎ ‎[应用2]　已知集合A＝{a＋2，(a＋1)2，a2＋3a＋3}，若1∈A，则实数a＝________.‎ ‎[答案]　0‎ ‎3．在解决集合间的关系时，不能忽略空集的情况．‎ ‎[应用3]　设集合A＝{－1,1}，集合B＝{x|ax＝1，a∈R}，则使得A∩B＝B的a的所有取值构成的集合是(　　) ‎ ‎【导 号：07804156】‎ A．{0,1}　　 B．{0 ，－1}‎ C．{1，－1} D．{－1,0,1}‎ ‎[解析]　因为A∩B＝B，‎ 所以B⊆A，所以B＝∅，{－1}，{1}，‎ 因此a＝0，－1,1，选D.‎ ‎[答案]　D ‎4．进行集合运算时，注重数形结合在集合示例中的应用，列举法常借助Venn图解题，描述法常借助数轴 运算，求解时要特别注意端点值．‎ ‎[应用4]　设全集U＝R，集合A＝{x|x2－2x－3<0}，B＝{x|x－1≥0}，则图1中阴影部分所表示的集合为(　　)‎ 图1‎ A．{x|x≤－1或x≥3} B．{x|x<1或x≥3}‎ C．{x|x≤1} D．{x|x≤－1} ‎ ‎[解析]　由图象可知阴影部分对应的集合为∁U(A∪B)，‎ 由x2－2x－3<0得－10”的否定是：“∀x∈R，均有2x2－1<0”‎ C．“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题为真命题 D．命题“若cos x＝cos y，则x＝y”的逆否命题为真命题 ‎[解析]　A中的否命题是“若xy≠0，则x≠0”；B中的否定是“∀x∈R，均有2x2－1≤0”；C正确；D中当x＝0，y＝2π时，‎ 其逆否命题是假命题．‎ ‎[答案]　C ‎6．理解充分必要条件：如“A的充分不必要条件是B”是指B⇒A，且AB；而“A是B的充分不必要条件”则是指A⇒B，且BA.‎ ‎[应用6]　已知a，b∈R，下列四个条件中，使a>b成立的必要而不充分的条件是(　　) ‎ ‎【导 号：07804157】‎ A．a>b－1 B．a>b＋1‎ C．|a|>|b| D．2a>2b ‎[解析]　由a>b可得a>b－1，但由a>b－1不能得出a>b，∴a>b－1是a>b成立的必要而不充分条件；由a>b＋1可得a>b，但由a>b不能得出a>b＋1，∴a>b＋1是a>b成立的充分而不必要条件；易知a>b是|a|>|b|的既不充分也不必要条件；a>b是2a>2b成立的充分必要条件．‎ ‎[答案]　A ‎7．否定含有一个量词的命题时注意量词的改变(如命题“p或q”的否定是“﹁p且﹁q”，“p且q”的否定是“﹁p或﹁q” )；全称命题的否定是特称命题(存在性命题)，特称命题(存在性命题)的否定是全称命题．‎ ‎[应用7]　已知f(x)＝3sin x－πx，命题p：∀x∈，f(x)<0，则(　　)‎ A．p是假命题，﹁p：∀x∈，f(x)≥0‎ B．p是假命题，﹁p：∃x0∈，f(x0)≥0‎ C．p是真命题，﹁p：∃x0∈，f(x0)≥0‎ D．p是真命题，﹁p：∀x∈，f(x)>0‎ ‎[解析]　∵f′(x)＝3cos x－π，∴当x∈时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减，即对∀x∈，f(x)0成立，则实数x的取值范围是________．‎ ‎[解析]　不等式即(x2＋x)a－2x－2>0，设f(a)＝(x2＋x)a－2x－2.研究“任意a∈[1,3]，恒有f(a)≤0”．则解得x∈.‎ 则实数x的取值范围是(－∞，－1)∪.‎ ‎[答案]　(－∞，－1)∪ ‎■查缺补漏………………………………………………………………………..·‎ ‎1．已知集合A＝{x∈N|x<3}，B＝{x|x＝a－b，a∈A，b∈A}，则A∩B＝(　　)‎ A．{1,2} B．{－2，－1,1,2}‎ C．{1} D．{0,1,2} ‎ D　[因为A＝{x∈N|x<3}＝{0,1,2}，B＝{x|x＝a－b，a∈A，b∈A}＝{－2，－1,0,1,2}，所以A∩B＝{0,1,2}．]‎ ‎2．设集合A＝{x|2x＋3>0}，B＝{x|x2＋4x－5<0}，则A∪B＝(　　) ‎ ‎【导 号：07804158】‎ A. B． C. D． A　[A＝{x|2x＋3>0}＝，B＝{x|x2＋4x－5<0}＝(－5,1)，所以A∪B＝∪(－5,1)＝(－5，＋∞)，选A.]‎ ‎3．已知集合A＝{x|3x<16，x∈N}，B＝{x|x2－5x＋4<0}，A∩(∁RB)的真子集个数为(　　)‎ A．1 B．3‎ C．4 D．7‎ B　[因为A＝{x|3x<16，x∈N}＝{0,1,2}，B＝{x|x2－5x＋4<0}＝{x|10}，从而A、C错，∁RA＝{x|x≤0}，故选D.]‎ ‎6．已知命题p：若a>b，则a2>b2；q：“x≤1”是“x2＋2x－3≤0”的必要不充分条件，则下列命题是真命题的是(　　)‎ A．p∧q B．(﹁p)∧q C．(﹁p)∧(﹁q) D．p∧(﹁q)‎ B　[命题p为假命题，比如1>－2，但12<(－2)2，命题q为真命题，不等式x2＋2x－3≤0的解为－3≤x≤1，所以x≤1⇒/ －3≤x≤1，而－3≤x≤1⇒x≤1，所以“x≤1”是“x2＋2x－3≤0”的必要不充分条件，由命题p，q的真假情况，得出(﹁p)∧q为真命题，选B.]‎ ‎7．已知p：x2－2x<0，q：≤0，若p真q假，则x的取值范围是(　　)‎ A．[1,2) B．(1,2)‎ C．(－∞，－3) D．(－∞，－3]‎ A　[p真，可得x2－2x＜0，解得x∈(0,2)；q真，可得－3≤x＜1，故q假，得x＜－3或x≥1.所以，若p真q假，则x的取值范围是 [1,2)．故选A.]‎ ‎8．已知命题p：x2＋2x－3>0；命题q：x>a，且￢q的一个充分不必要条件是￢p，则a的取值范围是(　　)‎ A．[1，＋∞) B．(－∞，1]‎ C．[－1，＋∞) D．(－∞，－3]‎ A　[由x2＋2x－3>0，得x<－3或x>1，故￢p：－3≤x≤1，￢q：x≤a.由￢q的一个充分不必要条件是￢p，可知￢p是￢q的充分不必要条件，故a≥1，故选A.]‎ ‎9．命题“∃x0∈R，asin x0＋cos x0≥2”为假命题，则实数a的取值范围是________. ‎ ‎【导 号：07804159】‎ 　[由题意，命题“∀x∈R，asin x＋cos x＜2”为真命题，又asin x＋cos x＝sin(x0＋θ)<2，∴－0”；‎ ‎(3)经过两个不同的点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1) 表示；‎ ‎(4)在数列{an}中，a1＝1，Sn是其前n项和，且满足Sn＋1＝Sn＋2，则{an}是等比数列；‎ ‎(5)若函数f(x)＝x3＋ax2－bx＋a2在x＝1处有极值10，则a＝4，b＝11.‎ ‎(3)(5)　[(1)错误，命题“p∧q为真”是命题“p∨q为真”的充分不必要条件；‎ ‎(2)错误，命题“∃x∈R，使得x2＋x＋1<0”的否定是：“对∀x∈R, 均有x2＋x＋1≥0”；(3)正确；‎ ‎(4)错误，由Sn＋1＝Sn＋2得Sn＝Sn－1＋2，两式相减得an＋1＝an(n≥2)，‎ 又S2＝a1＋a2＝a1＋2⇒a2＝，‎ 不满足a2＝a1，故{an}不是等比数列；‎ ‎(5)正确，若函数f(x)＝x3＋ax2－bx＋a2在x＝1处有极值10，则f′(1)＝0，f(1)＝10，‎ 所以3＋2a－b＝0,1＋a－b＋a2＝10，解得a＝4，b＝11.]‎