山西省朔州市怀仁某校2018-2019学年高二上学期期末考试数学（理）试卷 8页

‎ ‎ 理科数学试题 ‎ ‎ 一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1．若命题“p∧q”为假，且“¬p”为假，则(　)‎ A．p或q为假　　　　 B．q为假 C．q为真 D．不能判断q的真假 ‎2．已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则k的值是(　)‎ A．1　　　　　B． C． D． ‎3．设P是椭圆＋＝1上一点，F1，F2是椭圆的焦点，若|PF1|＝4，则|PF2|等于(　)‎ A．22 B．21 C．20 D．13‎ ‎4．设l为直线，α，β是两个不同的平面．下列命题中正确的是(　) ‎ A．若l∥α，l∥β，则α∥β B．若l⊥α，l⊥β，则α∥β C．若l⊥α，l∥β，则α∥β D．若α⊥β，l∥α，则l⊥β ‎5．双曲线方程为x2－2y2＝1，则它的右焦点坐标为(　)‎ A. B. C. D．(，0)‎ ‎6．函数的单调递增区间是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎7.“a＜0”是“方程ax2＋1＝0至少有一个负根”的(　)‎ A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎8．函数f(x)＝x3－2x＋3的图象在x＝1处的切线与圆x2＋y2＝8的位置关系是( )．‎ A．相切 B．相交且过圆心 C．相交但不过圆心 D．相离 ‎9.如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1,M,N分别为A1D1和AA1的中点,则下列四种说法中正确的个数为(　)‎ ‎①C1M∥AC; ‎ ‎②BD1⊥AC; ‎ ‎③BC1与AC所成的角为60°; ‎ ‎④CD与BN为异面直线.‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ ‎10．已知点P在曲线上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是( )．‎ A． B． C． D．‎ ‎11.某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如图所示.圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A,圆柱表面上的点N在侧视图上的对应点为B,则在此圆柱侧面上,从M到N的路径中,最短路径的长度为(　)‎ A. B. C.3 D.2‎ ‎12．已知函数在上可导，其导函数为，若满足：，，则下列判断一定正确的是（ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ 二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分．将正确答案填在题中横线上) ‎ ‎13．命题“若|x|>1，则x>1”的否命题是 命题.(填“真”或“假”)‎ ‎14．若抛物线y2＝2px(p>0)的准线经过双曲线x2－y2＝1的一个焦点，则p＝ ‎ ‎15．已知函数 ， 则 ‎ ‎16．已知矩形ABCD中，AB＝1，BC＝，将矩形ABCD沿对角线AC折起，使平面ABC与平面ACD垂直，则B与D之间的距离为 ‎ 三、解答题(本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎17．(本小题满分10分)写出下列命题的否定，并判断其真假：‎ ‎(1)p：∀m∈R，方程x2＋x－m＝0必有实数根；‎ ‎(2)q：∃x∈R，使得x2＋x＋1≤0．‎ ‎18．(本小题满分12分)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝，D是棱AC的中点，且AB＝BC＝BB1＝2. ‎ ‎(1)求证：AB1∥平面BC1D；‎ ‎(2)求异面直线AB1与BC1所成的角．‎ ‎ 19．(本小题满分12分)设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F且斜率为k(k>0)的直 ‎ 线l与C交于A，B两点，|AB|＝8.‎ ‎(1)求l的方程；‎ ‎(2)求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．‎ ‎20.(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c在 与x＝1时都取得 ‎ 极值．‎ ‎(1)求a，b的值及函数f(x)的单调区间；‎ ‎(2)若对x∈[－1,2]，不等式f(x)＜c2恒成立，求c的取值范围．‎ ‎21．(本小题满分12分)在四棱锥P－ABCD中，△ABC，△ACD都为等腰直角三角形，‎ ‎ ∠ABC＝∠ACD＝90°，△PAC 是边长为2的等边三角形，PB＝，E为PA的中点. ‎ ‎(1)求证：BE⊥平面PAD；‎ ‎(2)求二面角C－PA－D的余弦值．‎ ‎22．(本小题满分12分)设，其中 ‎（1）当时，求的极值点；‎ ‎（2）若为R上的单调函数，求a的取值范围。‎ 高二理科数学期末试卷答案 一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)‎ ‎ BDABC BCCCD BC 二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分．将正确答案填在题中横线上) ‎ ‎ 13。真 14。 2 15 16。 .‎ 三、解答题(本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎17．(本小题满分10分)‎ ‎(1)¬p：∃m∈R，使方程x2＋x－m＝0无实数根． 2分 若方程x2＋x－m＝0无实数根，则 Δ＝1＋4m<0，∴m<－，‎ ‎∴¬p为真． 5分 ‎(2)¬q：∀x∈R，使得x2＋x＋1>0． 7分 ‎∵x2＋x＋1＝(x＋)2＋>0，‎ ‎∴¬q为真． 10分 ‎18．(本小题满分12分)‎ ‎(1)如图，连接B1C交BC1于点O，连接OD．‎ ‎∵O为B1C的中点，D为AC的中点，∴OD∥AB1．‎ ‎∵AB1⊄平面BC1D，OD⊂平面BC1D，‎ ‎∴AB1∥平面BC1D． 5分 ‎(2)建立如图所示的空间直角坐标系B－xy ．‎ 则B(0,0,0)、A(0,2,0)、C1(2,0,2)、B1(0,0,2)．‎ ‎∴＝(0，－2,2)、＝(2,0,2)．‎ cos〈，〉＝ ‎＝＝，‎ 设异面直线AB1与BC1所成的角为θ，则cosθ＝，‎ ‎∵θ∈(0，)，∴θ＝． 12分 ‎19．(本小题满分12分)‎ ‎(1)由题意得F(1,0)，l的方程为y＝k(x－1)(k>0)．‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 由，得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0．‎ Δ＝16k2＋16>0，故x1＋x2＝．‎ 所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝(x1＋1)＋(x2＋1)＝．‎ 由题设知＝8，解得k＝－1(舍去)或k＝1．‎ 因此l的方程为y＝x－1． 6分 ‎(2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2)，所以AB的垂直平分线方程为y－2＝－(x－3)，即y＝－x＋5．‎ 设所求圆的圆心坐标为(x0，y0)，则 解得或 因此所求圆的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝16或(x－11)2＋(y＋6)2＝144． 12分 ‎20.(本小题满分12分)‎ 解：(1)f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，f′(x)＝3x2＋2ax＋b，由，f′(1)＝3＋2a＋b＝0，得，b＝－2.f′(x)＝3x2－x－2＝(3x＋2)(x－1)，当x变化时，f′(x)，f(x)变化状态如下表：‎ x ‎1‎ ‎(1，＋∞)‎ f′(x)‎ ‎＋‎ ‎0‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎＋‎ f(x)‎  极大值  极小值  所以函数f(x)的增区间为和(1，＋∞)，减区间为. 6分 ‎(2)f(x)＝x3－x2－2x＋c，x[－1,2]，当时，为极大值，而f(2)＝2＋c，则f(2)＝2＋c为最大值，要使f(x)＜c2(x[－1,2])恒成立．只需c2＞f(2)＝2＋c，解得c＜－1或c＞2.‎ 所以c的取值范围是c＜－1或c＞2. 12分 ‎ ‎ ‎21．(本小题满分12分)‎ ‎(1)证明：△ABC与△ACD都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ACD＝90°，‎ ‎∴∠ACB＝∠DAC＝45°，AC＝BC， ∴BC∥AD，AB＝BC＝，‎ ‎∵E为PA的中点，且AB＝PB＝，∴BE⊥PA，‎ 在△PBC中，PC2＝PB2＋BC2，∴BC⊥PB．又∵BC⊥AB，且PB∩AB＝B，∴BC⊥平面PAB．‎ ‎∵BC⊂平面PAB，∴BE⊥BC， 又∵BC∥AD，∴BE⊥AD，‎ ‎ 又∵PA∩AD＝A，∴BE⊥平面PAD． 5分 ‎(2)由(1)可知BC，AB，BP两两垂直，以B为原点，BC，AB，BP分别为x，y， 轴，建立空间直角坐标系，则A(0，，0)，B(0,0,0)，C(，0,0)，P(0,0，)，则＝(，－，0)，＝(0，－，)．‎ ‎ 设平面PAC的一个法向量为m＝(x，y， )，则 ‎∴ ∴取m＝(1,1,1)‎ 又由(1)知BE⊥平面PAD，故＝(0，，)为平面PAD的一个法向量，‎ ‎∴cos〈m，〉＝＝，故二面角C－PA－D的余弦值为． 12分 ‎22．(本小题满分12分)‎ 解：对求导得 ①……………2分 ‎（1）当时，若 解得……………4分 ‎ 综合①,可知 ‎ ‎ 所以, 是极小值点, 是极大值点. ……………8分 ‎（2）若为R上的单调函数，则在R上不变号， ‎ 结合①与条件a>0，知在R上恒成立，……………10分 因此由此并结合，知。‎ 所以a的取值范围为……………12分