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- 2021-06-11 发布
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高中数学人教A版选2-1 同步练习
已知{a,b,c}是空间向量的一个基底,则可以与向量p=a+b,q=a-b构成基底的向量是( )
A.a B.b
C.a+2b D.a+2c
解析:选D.∵a+2c,a+b,a-b为不共面向量,∴a+2c与p、q能构成一个基底.
空间四边形OABC中,=a,=b,=c,点M在OA上,且OM=2MA,N为BC中点,则为( )
A.a-b+c B.-a+b+c
C.a+b-c D.a+b-c
解析:选B.=++
=+-+(-)
=-++
=-a+b+c.
在如图所示的正方体中,各棱长为1,写出下列各向量的坐标:
(1)=_______________________________________________________,
=________________________________________________________;
(2)=_________________________________________________,
=_________________________________________________________.
答案:(1)(1,1,0) (1,1,1)
(2)(1,0,1) (0,1,1)
已知a=e1+e2,b=e2+e3,c=e1+e3,d=e1+2e2+3e3,若e1,e2,e3不共面,且d=α a+β b+γc,则α+β+γ=__________.
解析:由已知d=(α+γ)e1+(α+β)e2+(γ+β)e3.
所以故有α+β+γ=3.
答案:3
[A级 基础达标]
下列说法中正确的是( )
A.任何三个不共线的向量可构成空间向量的一个基底
B.空间的基底有且仅有一个
C.两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底
D.基底{a,b,c}中基向量与基底{e,f,g}中基向量对应相等
解析:选C.A项中应是不共面的三个向量构成空间向量的基底;B项中,空间基底有无数个;D项中因为基底不惟一,所以D错.故选C.
O、A、B、C为空间四点,且向量,、不能构成空间的一个基底,则( )
A.、、共线 B.、共线
C.、共线 D.O、A、B、C四点共面
解析:选D.由、、不能构成基底知、、三向量共面,所以O、A、B、C四点共面.
如图所示,已知A,B,C三点不共线,P为一定点,O为平面ABC外任一点,则下列能表示向量的为( )
A.+2+2
B.-3-2
C.+3-5
D.+2-3
解析:选C.连接AP(图略).
根据A、B、C、P四点共面的条件即可求得:
=x+y.
即=+x+y,由图知x=3,y=-5.
设a、b、c是三个不共面向量,现从①a+b,②a-b,③a+c,④b+c,⑤a+b-c中选出一个使其与a、b构成空间向量的一个基底,则可以选择的向量为__________.(填写代号)
解析:根据基底的定义,∵a,b,c不共面,
∴a+c,b+c,a+b-c都能与a,b构成基底.
答案:③④⑤
如图所示,直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥AC,D,E分别为AA1,B1C的中点,若记=a,=b,=c,则=__________(用a,b,c表示).
解析:连接A1E、A1C(图略).
=+
=+(+)
=+(+-)
=c+(a+b-c)
=a+b.
答案:a+b
已知ABCD-A1B1C1D1是棱长为2的正方体,E,F分别为BB1和DC的中点,建立如图所示的空间直角坐标系,试写出,,的坐标.
解:设x、y、z轴的单位向量分别为e1、e2、e3,其方向与各轴上的正方向相同,
则=++
=2e1+2e2+2e3,
∴=(2,2,2).
∵=++=2e1+2e2+e3,
∴=(2,2,1).
∵=e2,∴=(0,1,0).
[B级 能力提升]
设命题p:a、b、c是三个非零向量;命题q:{a,b,c}为空间的一个基底,则命题p是命题q的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析:选B.若{a,b,c}可以作为空间的一个基底,则a、b、c不共面,所以a、b、c必须均为非零向量,即q⇒p,但三个非零向量未必可以构成基底.
若向量,,的起点M和终点A,B,C互不重合且无三点共线,则能使向量、、成为空间一组基底的关系是( )
A.=++
B.=+
C.=++
D.=2-
解析:选C.对于选项A,由结论=x+y+z(x+y+z=1)⇔M,A,B,C四点共面知,,,共面;对于B,D选项,易知、、共面,故只有选项C中、、不共面.
在正方体ABCDA1B1C1D1中,用,,作为基向量,则=________.
解析:=++
=++
=[(+)+(+)+(+)]
=(++)
=++.
答案:++
如图,正方体ABCD-A′B′C′D′中,点E是上底面A′B′C′D′的中心,求下列各式中的x、y、z的值:
(1)=x +y +z ;
(2)=x +y +z .
解:(1)∵=+=++
=-++,
又=x +y +z ,
∴x=1,y=-1,z=1.
(2)∵=+=+
=+
=++,
又=x +y +z .
∴x=,y=,z=1.
(创新题)已知{a,b,c}是空间的一个基底,{a+b,a-b,c}为空间的另一个基底,若向量p在基底{a,b,c}下的坐标为(1,2,3),试求向量p在基底{a+b,a-b,c}下的坐标.
解:设向量p在基底{a+b,a-b,c}下的坐标为(x,y,z),则p=x(a+b)+y(a-b)+zc=(x+y)a+(x-y)b+zc.
又∵p在基底{a,b,c}下的坐标为(1,2,3),
即p=a+2b+3c,
∴(x+y)a+(x-y)b+zc=a+2b+3c,
∴解得
∴p在基底{a+b,a-b,c}下的坐标是.