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- 2021-06-11 发布
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吉安市重点高中2020届高二年级联考
数学(文)试卷
命题人:
一、 选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.设全集为R,集合,,则(CRB)=( )
A. B. C. D.
2.已知复数,则( )
A. B. C. D.1
3.命题“存在R,使得”的否定是( )
A.对任意R,都有 B.不存在R,使得
C. 对任意R,都有 D.存在R,使得
4.在中,若,则B等于( )
A. 或 B. 或 C. 或 D. 或
5.执行如下图的程序框图,如果输入的的值是6,那么输出的的值是( )
A.15 B.105 C.120 D.720
6.用反证法证明命题:“三角形三个内角至少有一个大于或等于60°”时,应假设( )
A.三个内角都小于60° B.三个内角都大于或等于60°
C.三个内角至多有一个小于60° D.三个内角至多有两个大于或等于60°
7.甲、乙两人参加一次考试,他们合格的概率分别为,,那么两人中恰有1人合格的概率是( )
A. B. C. D.
8.已知等比数列的首项,公比为,前项和为,则“”是“”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
9.曲线作线性变换后得到的回归方程为,则函数的单调递增区间为( )
A. B. C. D.
10.已知是定义域为R的奇函数,当时,.若函数有2个不同的零点,则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
11.已知椭圆的右焦点为,短轴的一个端点为,直线交椭圆于,两点,若,点到直线的距离不小于,则椭圆的离心率的取值范围是( )
A、 B、 C、 D、
12.已知函数是定义域为,是函数的导函数,若,且,则不等式的解集为( )
A. B. C. D.
二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分)
13.已知点,则它的极坐标是 .()
14.若, , 且函数在处有极值,则的最小值等于__________.
15.三棱锥中, 平面,,,则三棱锥的外接球的表面积为__________
16.《聊斋志异》中有这样一首诗:“挑水砍柴不堪苦,请归但求穿墙术,得诀自诩无所阻,额上纹起终不悟。”在这里,我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”: ,……则按照以上规律,若具有“穿墙术”,则 .
三、解答题(本大题共6个小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分12分)
已知公差不为0的等差数列中,且成等比数列.
(1)求数列的通项公式;
(2)设,数列的前项和为,求使的的最大值.
18.(本小题满分12分)
如图,在边长为2的菱形中,,现将沿边折到
的位置.
(1)求证:;
(2)求三棱锥体积的最大值.
19.(本小题满分12分)
某校高三课外兴趣小组为了解高三同学高考结束后是否打算观看2019年足球世界杯比赛的情况,从全校高三年级1500名男生、1000名女生中按分层抽样的方式抽取125名学生进行问卷调查,情况如下表:
打算观看
不打算观看
女生
20
b
男生
c
25
(1)求出表中数据b,c;
(2)判断是否有99%的把握认为观看2019年足球世界杯比赛与性别有关;
(3)为了计算“从10人中选出9人参加比赛”的情况有多少种,我们可以发现它与“从10人中选出1人不参加比赛”的情况有多少种是一致的.现有问题:在打算观看2019年足球世界杯比赛的同学中有5名男生、2名女生来自高三(5)班,现从中推选5人接受校园电视台采访,请根据上述方法,求被推选出的5人中恰有四名男生、一名女生的概率.
P(K2≥k0)
0.10
0.05
0.025
0.01
0.005
K0
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
附:
20.(本小题满分12分)
在平面直角坐标系中,直线过点且与直线垂直,直线与轴交于点M,点M与点N关于轴对称,动点P满足.
(1)求动点P的轨迹C的方程;
(2)过点不平行轴的直线与轨迹C相交于A,B两点,设点,直线AE,BE,AB的斜率分别为,问是否为定值?若是,求出该定值;若不是,请说明理由.
21.(本小题满分12分)
已知函数.
(1)当时,求函数的单调区间;
(2)当时,不等式恒成立,求实数的取值范围.
请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号.
22.(本题满分10分)选修4-4:参数方程与极坐标系
在极坐标系中,曲线的方程为,点.以极点为原点,极轴为轴的正半轴建立直角坐标系.
(1)求直线的参数方程的标准式和曲线的直角坐标方程;
(2)若直线与曲线交于、两点,求的值.
23.(本题满分10分)选修4-5:不等式选讲
已知函数,不等式的解集为.
(Ⅰ)求实数a的值;
(Ⅱ)若对一切实数x恒成立,求实数m的取值范围.
吉安市重点高中2020届高二年级联考
数学(文)参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
D
C
C
D
B
A
B
A
D
D
A
C
13. 14. 15. 16.
17. (1)设公差为d,成等比
(舍)或
(2)
18.证明:取的中点,连 平面
面
(2)当平面平面时,体积最大
19.(12分)(1)根据分层抽样方法抽得女生50人,男生75人,所以b=50-20=30(人),c=75-25=50(人) ……………………………………2分
(2)因为,所以有99%的把握认为观看2018年足球世界杯比赛与性别有关.………………………7分
(说明:数值代入公式1分,计算结果3分,判断1分)
(3) 设5名男生分别为A、B、C、D、E,2名女生分别为a、b,由题意可知从7人中选出5人接受电视台采访,相当于从7人中挑选2人不接受采访,其中一男一女,所有可能的结果有{A,B}{A,C}{A,D}{A,E}{A,a}{A,b}{B,C}{B,D}{B,E}
{B,a}{B,b}{C,D}{C,E}{C,a}{C,b}{D,E}{D,a}{D,b}{E,a}{E,b}{a,b}共21种 ……………………………………………………9分
其中恰为一男一女的有{A,a}{A,b}{B,a}{B,b}{C,a}{C,b}{D,a}{D,b}{E,a}{E,b}共10种.……………………………………………………10分
因此所求概率为……………………………………12分
20. (1)
(2)设,
,
21.(1)当时,令 或(舍)
当时,,单调递增
当时,,单调递减
的增区间为,减区间为
(2)设,只需
①当时,
当时,在上单调递减,故成立
②当时,由
若即时,在区间上,,则函数在上单调递增,在上无最大值.
若即上单调递增,在上无最大值,不满足条件
③当时,由
在上单调递减,
综上所述,的取值范围为
22.(10分)解:(1)∵化为直角坐标可得,,
∴直线的参数方程为:
∵,
∴曲线的直角坐标方程:,………………5分
将直线参数方程代入圆方程
得:, ∴,,
∴.………………10分
23. (10分)解:(1)由,得,∴,
又的解集为.解得:;…………………………5分
(2).
又对一切实数x恒成立, ……………10分